07-3.1.2 第2课时 分段函数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

第2课时 分段函数 新知学习 探究 一 分段函数 某市公共汽车的票价按下列规则实施:（1）5千米以内（包含5千米）,票价2元;（2）5千米以上,每增加5千米,票价增加1元（不足5千米的按5千米计算）,已知每两个相邻的公共汽车站之间相距1千米,沿途（包括起点站和终点站）共有11个汽车站. 思考1．从起点站出发,公共汽车的行程（单位：千米）与票价（单位：元）是函数关系吗？ 思考2．与之间有什么特点？ 【答案】思考1 提示：是函数关系. 思考2 提示：当 在不同区间内取值时,与 的对应关系不同. ［知识梳理］ 1．如果函数,，根据自变量在中不同的取值范围，有着_ _ 的对应关系，则称这样的函数为分段函数. 【答案】不同 2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集，各段函数定义域的交集是空集. ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 分段函数由几个函数构成.（ ） （2） 函数是分段函数.（ ） （3） 分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数.（ ） （4） 分段函数各段上的函数值集合的交集为 .（ ） 【答案】（1） × （2） √ （3） √ （4） × 2．设函数则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】选.因为 所以， 所以. 3．若函数且，则_ _ _ _ . 【答案】9 【解析】因为 且， 则（舍去）或 解得. 4．已知函数则函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】当 时，，图象的对称轴为直线， 当 时，取最小值0；当 时，取最大值1， 所以； 当 或 时，， 综上，，则函数 的值域为. （1）分段函数求函数值的方法 先确定要求值的自变量属于哪一区间段，然后代入该段的解析式求值.当出现的形式时，应从内到外依次求值. （2）已知函数值求参数的步骤 ①对参数的取值范围作相应分类；②根据不同范围代入不同的解析式中；③通过解方程求出参数的值；④检验所求的值是否在所讨论的区间内. 二 分段函数的图象及应用 ［例1］ （对接教材例6）已知函数，，令，，即和中的较小者. （1） 分别用图象法和解析法表示； （2） 求函数的定义域，值域. 【答案】 （1） 【解】在同一平面直角坐标系中作出函数，的图象如图1. 由图1中函数取值的情况，结合函数 的定义，可得函数 的图象如图2. 令，解得 或. 结合图2，得出 （2） 由（1）中图2知，的定义域为，的最大值为，所以 的值域为. 母题探究．在本例中，令，，即和中的较大者. （1） 分别用图象法和解析法表示； （2） 求函数的定义域，值域. 【答案】 （1） 解：由例1解析图1中函数取值的情况，结合函数 的定义，可得函数 的图象如图. 得出 的解析式为 （2） 由（1）中图象知，的定义域为，值域为. 分段函数图象的画法 （1）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏. （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. ［跟踪训练1］．已知函数. （1） 用分段函数的形式表示函数； （2） 画出函数的图象，并写出函数的值域. 【答案】 （1） 解：当 时，； 当 时，； 所以 （2） 由（1）得 由此画出 的图象如图所示， 由图象知，的值域为. 三 分段函数的实际应用 ［例2］ （对接教材例8）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满199元的不予优惠；一次购物总额满199元，但不满299元的，减28元；一次购物总额满299元，不满499元的，减48元；一次购物总额满499元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. （1） 试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； （2） 若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 【答案】 （1） 【解】由题知， 即 所以在 上， 在 上 随 的增大而减小，此时， 在 上 随 的增大而减小，此时， 在 上，而 综上，该函数的最大值为. （2） 由（1）知， 则令，解得， 所以此时； 令，解得， 综上，的取值范围为. 分段函数应用问题的两个关注点 （1）应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数. （2）注意问题：求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理. ［跟踪训练2］．下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）. 阶梯 每户年用水量/立方米 水价 包含费用 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 5.00 2.07 1.57 1.36 第二阶梯 （含） 7.00 4.07 第三阶梯 260以上 9.00 6.07 若某户居民一年交水费1 040元，则其中水资源费为_ _ 元；污水处理费为_ _ 元. 【答案】314； 272 【解析】设年用水量为 立方米，对应水费为 元.依题意得， 即 依题意得,若，则，解得,不合题意，舍去；若，则，解得,符合题意；若,则，解得,不合题意,舍去.故该用户当年用水量为200立方米.因此，水资源费为（元）,污水处理费为（元）. 课堂巩固 自测 1．（教材P69T2改编）函数的图象是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.易知 因此 的图象为选项. 2．（多选）下列给出的函数是分段函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.对于 中的函数 当 时，有两个函数值与之对应，不满足函数的概念，不是分段函数;对于 中的函数 当 时，有两个函数值与之对应，不满足函数的概念，不是分段函数；只有，中的函数满足分段函数的定义，是分段函数. 3．设函数则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ；若，则_ _ _ _ . 【答案】0； ； 【解析】； . 由（舍去）或（舍去）或 解得. 4．（教材P69 T1改编）如图，动点从边长为4的正方形的顶点开始，顺次经过顶点，，绕边界运动，用表示点的行程，表示的面积，求函数的解析式. 解：当点 在 上运动， 即 时，; 当点 在 上运动， 即 时，； 当点 在 上运动， 即 时， . 综上可知， 课堂小结 1.已学习：分段函数的概念、图象及应用. 2.须贯通：（1）分段函数求值（范围）应先确定求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.常用到分类讨论思想. （2）明确研究分段函数的值域并利用分段函数的图象求解. 3.应注意：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数. （2）作分段函数图象时要注意衔接点的虚实. 学科网（北京）股份有限公司 $