微点10 幂函数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学同步微点进阶

专题三 函数的概念与性质 微点10  幂函数 幂函数是高中学习的第一个函数，对后面指数函数、对数函数、三角函数等其他函数的学习具有示范作用.研究函数的具体套路：定义域、值域、对应关系（解析式或图象）、单调性、奇偶性、对称性、定点等.通过对以上方面的研究，从具体到抽象、从特殊到一般，利用观察、归纳、抽象、概括、类比的思维方法得出一般幂函数的图象与性质，从函数图象和代数运算两方面发展数学素养． 我们从以下三个角度一一探究： 1、三要素相关问题； 2、图象相关问题； 3、性质相关问题. 探究一　三要素相关问题 【典例1】若幂函数的图象过点，则的值域为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】由求出的值，再令，将用含的二次函数表示，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【详细解析】由题意可得，可得，则， 令，可得，则， 令，其中，则， 当且仅当时，等号成立，故函数的值域为. 故选：A. 【题后反思】幂函数y＝xα(α∈R)只有一个参数α，因此只需一个条件可确定解析式，再结合换元法求值域． 【举一反三】 1．已知幂函数，则（    ） A． B．定义域为 C． D． 【典例2】已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______． 【思路引导】根据定义域范围结合幂函数的性质分类讨论即可. 【详细解析】令，． 由幂函数的性质，可知的图像关于原点对称或者关于y轴对称． 又因为函数在区间上的最大值为5，最小值为2， 所以，当的图像关于原点对称时， 在区间上的最大值为7，最小值为4， 在区间上的最大值为，最小值为， 于是在区间上的最大值为，最小值为． 所以在区间上的最大值与最小值的和为； 同理可得，当的图像关于y轴对称时， 在区间上的最大值为5，最小值为2． 所以在区间上的最大值与最小值的和为； 因此，在区间上的最大值与最小值的和为7或． 故答案为：7或． 【题后反思】幂函数形式众多，含参问题可依据幂函数的对称性及单调性等性质讨论求解. 【举一反三】 2．（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 探究二　图象相关问题 【典例3】已知幂函数y＝x(p，q∈N*，q＞1且p，q互质)的图象如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且＞1                 B．q为偶数，p为奇数，且＞1 C．q为奇数，p为偶数，且＞1        D．q为奇数，p为偶数，且0＜＜1 【思路引导】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数. 【详细解析】由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数， 所以p为偶数，则q为奇数． 因为幂函数y＝x的图象在第一象限内向上凸起， 且在(0，＋∞)上单调递增， 所以0＜＜1. 【题后反思】在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． 【举一反三】 3．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【典例4】已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中可能成立的关系式有（ ） A．1个    B．2个    C．3个    D．5个 【思路引导】在同一坐标系中画出函数和的图像，结合图像即可判断出正确结论. 【详细解析】在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示： 数形结合可知，在（1）处；在（2）处；在（3）处； 在（4）处；在或也满足，故①②⑤对 故选：C. 【题后反思】本题考查了幂函数的图像，正确画出幂函数和的图像是解题的关键，考查学生的推理能力，数形结合思想. 【举一反三】 4．方程的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数a可能取值是（    ）. A． B． C． D． 探究三　性质相关问题 【典例5】已知是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则的大小关系为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】由已知得函数是减函数，然后比较，和大小后可得结论． 【详细解析】， 又，∴，即时，， ∴函数在上是减函数， 又，，即， ∴． 故选：D． 【题后反思】关于函数单调性的结论：在的定义区间内，对任意不等的两个实数，若，或，则函数在此区间上是增函数，若，或，则函数在此区间上是减函数． 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 【举一反三】 5．已知为奇函数，当时，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【典例6】已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 E．m，n是奇数时，幂函数的定义域为 【思路引导】将函数还原成根式形式：，分别讨论m，n是奇数偶数的时候辨析函数的奇偶性和单调性. 【详细解析】， 当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确； 当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误 当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确； 时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误； 当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确. 故选：ACE. 【题后反思】此题考查幂函数的奇偶性和单调性的辨析，关键在于准确掌握幂函数的指数变化对第一象限的图象的影响，利用m，n是奇数偶数的变化讨论函数的奇偶性. 【举一反三】 （2015·湖北·高考真题） 6．设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6 （23-24高一上·天津·期中） 7．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 9．下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．幂函数（）始终经过点和 D．若函数，则对于任意的，有 10．若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则不存在区间M使为“弱增函数” B．若，则存在区间M使为“弱增函数” C．若，则为R上的“弱增函数” D．若在区间上是“弱增函数”，则 （24-25高一上·上海·随堂练习） 11．若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个． （23-24高一上·江苏南通·期末） 12．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 13．若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 函数的概念与性质 微点10  幂函数 幂函数是高中学习的第一个函数，对后面指数函数、对数函数、三角函数等其他函数的学习具有示范作用.研究函数的具体套路：定义域、值域、对应关系（解析式或图象）、单调性、奇偶性、对称性、定点等.通过对以上方面的研究，从具体到抽象、从特殊到一般，利用观察、归纳、抽象、概括、类比的思维方法得出一般幂函数的图象与性质，从函数图象和代数运算两方面发展数学素养． 我们从以下三个角度一一探究： 1、三要素相关问题； 2、图象相关问题； 3、性质相关问题. 探究一　三要素相关问题 【典例1】若幂函数的图象过点，则的值域为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】由求出的值，再令，将用含的二次函数表示，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【详细解析】由题意可得，可得，则， 令，可得，则， 令，其中，则， 当且仅当时，等号成立，故函数的值域为. 故选：A. 【题后反思】幂函数y＝xα(α∈R)只有一个参数α，因此只需一个条件可确定解析式，再结合换元法求值域． 【举一反三】 1．已知幂函数，则（    ） A． B．定义域为 C． D． 【答案】AC 【分析】根据为幂函数得可判断A；根据幂函数的解析式可判断B；利用单调性可判断C； 计算可判断D. 【详解】为幂函数，，得，A对； 函数的定义域为，B错误； 由于在上为增函数，，C对； ，，D错误， 故选：AC. 【典例2】已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______． 【思路引导】根据定义域范围结合幂函数的性质分类讨论即可. 【详细解析】令，． 由幂函数的性质，可知的图像关于原点对称或者关于y轴对称． 又因为函数在区间上的最大值为5，最小值为2， 所以，当的图像关于原点对称时， 在区间上的最大值为7，最小值为4， 在区间上的最大值为，最小值为， 于是在区间上的最大值为，最小值为． 所以在区间上的最大值与最小值的和为； 同理可得，当的图像关于y轴对称时， 在区间上的最大值为5，最小值为2． 所以在区间上的最大值与最小值的和为； 因此，在区间上的最大值与最小值的和为7或． 故答案为：7或． 【题后反思】幂函数形式众多，含参问题可依据幂函数的对称性及单调性等性质讨论求解. 【举一反三】 2．（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【答案】（1）作图见解析，定义域为；（2）. 【分析】（1）根据函数解析式，求出图象上的五个点坐标，描点即可画出图象，观察解析式即可得出定义域； （2）设，从而有，即可得出的值域. 【详解】解：（1）由于， 则，，， 所以过点， 故的图象，如图所示，函数的定义域为； （2）由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 探究二　图象相关问题 【典例3】已知幂函数y＝x(p，q∈N*，q＞1且p，q互质)的图象如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且＞1                 B．q为偶数，p为奇数，且＞1 C．q为奇数，p为偶数，且＞1        D．q为奇数，p为偶数，且0＜＜1 【思路引导】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数. 【详细解析】由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数， 所以p为偶数，则q为奇数． 因为幂函数y＝x的图象在第一象限内向上凸起， 且在(0，＋∞)上单调递增， 所以0＜＜1. 【题后反思】在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． 【举一反三】 3．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 【典例4】已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中可能成立的关系式有（ ） A．1个    B．2个    C．3个    D．5个 【思路引导】在同一坐标系中画出函数和的图像，结合图像即可判断出正确结论. 【详细解析】在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示： 数形结合可知，在（1）处；在（2）处；在（3）处； 在（4）处；在或也满足，故①②⑤对 故选：C. 【题后反思】本题考查了幂函数的图像，正确画出幂函数和的图像是解题的关键，考查学生的推理能力，数形结合思想. 【举一反三】 4．方程的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数a可能取值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】原方程等价于,分别作出和的图象,分和讨论,利用数形结合即可得到结论. 【详解】显然不是方程的根，故方程可等价于, 所以原方程的实根是 与曲线的交点的横坐标, 曲线可看作是由曲线向上或向下平移个单位而得到, 若交点均在直线的同侧,因与的交点为, 所以结合图象可得:或恒成立, 所以在上恒成立,或在上恒成立, 所以,或, 即实数的取值范围是. 故选：AD. 探究三　性质相关问题 【典例5】已知是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则的大小关系为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】由已知得函数是减函数，然后比较，和大小后可得结论． 【详细解析】， 又，∴，即时，， ∴函数在上是减函数， 又，，即， ∴． 故选：D． 【题后反思】关于函数单调性的结论：在的定义区间内，对任意不等的两个实数，若，或，则函数在此区间上是增函数，若，或，则函数在此区间上是减函数． 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 【举一反三】 5．已知为奇函数，当时，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题给条件求得在上单调性，利用为奇函数求得的大小关系，再利用幂函数性质比较的大小关系，进而得到三者间的大小关系. 【详解】因为当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 且，所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 因为，， 则 所以.    故选：A 【典例6】已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 E．m，n是奇数时，幂函数的定义域为 【思路引导】将函数还原成根式形式：，分别讨论m，n是奇数偶数的时候辨析函数的奇偶性和单调性. 【详细解析】， 当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确； 当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误 当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确； 时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误； 当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确. 故选：ACE. 【题后反思】此题考查幂函数的奇偶性和单调性的辨析，关键在于准确掌握幂函数的指数变化对第一象限的图象的影响，利用m，n是奇数偶数的变化讨论函数的奇偶性. 【举一反三】 （2015·湖北·高考真题） 6．设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】因为表示不超过的最大整数．由得， 由得， 由得，所以， 所以， 由得， 所以， 由得，与矛盾， 故正整数的最大值是4． 考点：函数的值域，不等式的性质． （23-24高一上·天津·期中） 7．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应的幂函数单调性进行求解. 【详解】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确. 故选：A. 8．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【解析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 【详解】∵函数是幂函数， ∴，解得：m= -2或m=3． ∵对任意，，且，满足， ∴函数为增函数， ∴， ∴m=3（m= -2舍去） ∴为增函数． 对任意，，且， 则，∴ ∴． 故选：A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用． 9．下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．幂函数（）始终经过点和 D．若函数，则对于任意的，有 【答案】CD 【解析】根据幂函数的解析式，单调性依次判断每个选项得到答案. 【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，故错误； 函数是偶函数且在上单调递减，故在单调递增，错误； 幂函数（）始终经过点和，正确； 任意的，，要证，即， 即，即，易知成立，故正确； 故选：. 【点睛】本题考查了幂函数，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用. 10．若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则不存在区间M使为“弱增函数” B．若，则存在区间M使为“弱增函数” C．若，则为R上的“弱增函数” D．若在区间上是“弱增函数”，则 【答案】ABD 【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案. 【详解】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确； 对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确； 对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误； 对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确． 故选：ABD． （24-25高一上·上海·随堂练习） 11．若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个． 【答案】 （答案不唯一） 4 【分析】作出五个函数图象，根据图象即可得解. 【详解】作出五个函数图象，如图： 由图可知： 图像与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点； 图像与、、的图像有1个、1个，1个交点； 图像与、的图像有2个、2个交点； 图像与的图像有3个交点. 综上可得，函数与的图象若有1个交点， 则，，，，； 满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个： ，，，． 故答案为：（答案不唯一）；4. （23-24高一上·江苏南通·期末） 12．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 【答案】 且， 【分析】根据的单调性，结合2次方膨胀区间的定义即可列方程求解空1，根据二次函数的单调性，分类讨论，结合4次方膨胀区间的定义，由二次方程根的分布即可求解空2. 【详解】设函数的2次方膨胀区间为， 由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根， 记， 所以，解得且， 故答案为：，且， 【点睛】思路点睛：主要是利用函数满足的两个条件①和②，利用条件①，根据函数的单调性即可求解函数的值域，根据条件②列出满足的方程，结合二次方程根的分布，即可找到求解途径. 13．若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值. （2）结合函数的定义以及反证法进行判断. （3）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值，从而确定正确答案. 【详解】（1）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 若函数为函数，则， 所以，解得. （2）函数不是P函数，理由如下： 在上递减， 因为m，n为整数，由题意可知，即， 令，即，解得， 假设函数为P函数， 则，即，与已知矛盾，所以不存在这样的m，n， 所以函数不是P函数； （3）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 因为关于x的不等式的解集恰为 所以，即 将①代入③得，， 又m，n为整数，，所以，解得，此时，满足题意， 综上所述，存在实数使得函数为P函数. 【点睛】对于函数新定义的题目，解题的关键点在于将“新定义”的问题转化为所学过的知识进行求解.本题中，第（1）（3）两问是二次函数，函数图象有对称性；第（2）问是单调函数.这两种情况列式不一样，但也是围绕 “新定义”去列式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$