微点进阶 函数最值问题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题三 函数的概念与性质 微点8  函数最值问题 函数的最值与函数的单调性紧密相连，是函数中重要的研究对象．在研究基本初等函数的基础上，可以进一步了解描述函数最值的常见数学符号语言，掌握具有特殊结构的函数最值的求法，能熟练运用数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想解决问题，提升逻辑推理、直观想象以及数学运算素养． 下面我们从以下三个方面进行探究： 1.求值域问题； 2.由值域求定义域问题； 3.由值域求参数问题. 探究一　求值域问题 【典例1】已知函数满足对恒成立，且的图象过点，． （1）求的解析式； （2）令，求的值域． 【思路引导】解决第（1）问的关键是利用方程组思想求出参数；解决第（2）问的关键是利用换元法将问题转化成二次函数的最值问题． 【详细解析】（1）因为函数满足对恒成立，则对恒成立，所以，．因为的图象过点，，所以即解得故． （2）． ①当时，在上单调递减，所以，，此时； ②当时，，设，，可得，，此时． 综上所述，的值域为． 【题后反思】求根式结构的函数的最值或值域，如果能判断函数的单调性，可根据单调性求最值或值域；如果无法判断其单调性，可以通过换元法，将原函数转化成二次函数等函数模型再求最值或值域． 【举一反三】 （23-24高一上·安徽六安·期中） 1．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ） A．函数不存在跟随区间 B．若为的跟随区间，则 C．二次函数存在“3倍跟随区间” D．若函数存在跟随区间，则 【答案】BC 【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案. 【详解】对于A选项，由题，因为函数在区间与上均为增函数， 若存在跟随区间则有，即为的两根． 即的根，故，故A错误． 对于B选项，若为的跟随区间， 因为在区间为增函数，故其值域为， 根据题意有，解得或，因为故，故B正确． 对于C选项，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为，当时，易得在区间上单调递增， 此时易得为方程的两根， 求解得或.故定义域，则值域为．故C正确． 对于D选项，若函数存在跟随区间， 因为为减函数， 故由跟随区间的定义可知， 即， 因为，所以． 易得． 所以， 令代入化简可得， 同理也满足， 即在区间上有两不相等的实数根． 故，解得，故D错误． 故选：BC 【典例2】（2024·浙江·模拟预测）对于，满足，且对于，恒有．则（ ） A．    B．     C．    D． 【思路引导】赋值法求得，由，求的值判断选项A，由，求得，结合恒有，对BCD中的函数值进行判断. 【详细解析】令代入及， 得，所以， ，A选项正确； 令代入，得； 令代入由，得， ，， ，， 对于．恒有， ，，B选项正确； ，C选项错误； ，则有，即，D选项正确. 故选：ABD 【题后反思】抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论，常用的方法有： (1)令等特殊值求抽象函数的函数值； (2)令或，且，判断抽象函数的单调性； (3)令，判断抽象函数的奇偶性； (4)换为，确定抽象函数的周期； (5)用，或换为等来解答抽象函数的其它一些问题. 【举一反三】 （23-24高三上·北京·阶段练习） 2．已知为定义在上的非常数函数，且， 设，，若，给出下列四个结论： ①；②；③；④有最小值. 其中所有正确结论的序号为 . 【答案】①③④ 【分析】由题设先得到，再就、分类讨论后可得正确结论的序号. 【详解】当时，， 当时，， 当时，，结合， 故的值域为. 由题设可得在上的值域和在上的函数值取值范围一致. 故，， 若，则为的真子集，故在上的函数值取值范围不是值域， 与题设矛盾，故. 若，则， 它们均为函数的值域. 而，且为的真子集， 故在上的函数值取值范围不是值域，与题设矛盾. 若，则， 而，故在的函数值的取值范围不是值域， 与题设矛盾， 故，. 综上，正确结论的序号为：①③④ 故答案为：①③④ 探究二　由值域求定义域问题 【典例3】已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为 . 【思路引导】画出函数图像，分析要使函数在闭区间上的值域为，必有，，或，再根据求的最大值最好是正值，可得， ，即的最大值为. 【详细解析】 画出函数的图像可知，要使其在闭区间上的值域为， 由于有且仅有，所以， 而，所以有，或， 又∵，的最大值为正值时，， ∴， 所以，当取最小值时，，有最大值. 又∵， ∴的最大值为； 故答案为：3. 【题后反思】本题考查了二次函数的图像和定义域与值域之间的关系，分析双变量的最值时，可先确定正负，再看是否有办法将其中一值取到定值，以此消元. 【举一反三】 3．已知函数的值域是，求函数的定义域和值域． 【答案】函数的定义域为R，值域是． 【分析】先将函数变形，利用判别式法可得，再与等价，比较系数得的值，从而可得函数的解析式，再求定义域和值域即可. 【详解】的定义域为R，令，有，由，得，即，它与等价，比较系数得． 由此得． 根据，解得，又，所以函数的定义域为R，值域是． 【典例4】（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)当且时，求的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的值域是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【思路引导】（1）讨论符号，应用分段函数形式写出，即可判断单调性； （2）由题设可得且，则，令并结合二次函数性质求范围； （3）讨论、、分别研究是否存在使题设条件成立即可. 【详细解析】（1）由，，令，令， 所以，故的递减区间为，递增区间为. （2）由（1）知：在上，在上， 所以有，即， 故，且，所以， 令，则， 所以，又，则， 所以. （3）若，则上最小值为0，即，与前提矛盾； 所以，若存在实数使在上值域是，情况如下， 当时，此时递减，则，与前提矛盾； 当时，此时递增，则； 故存在使函数在上的值域是. 【题后反思】通过函数的单调性结合图象分类讨论即可解决问题. 【举一反三】 4．设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（    ） A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 【答案】D 【分析】代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出b的值唯一，则A项错误；代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出a的值唯一，则B项错误；分、、三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出的范围，即可判断C、D项. 【详解】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误； 对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误； 对于C、D项， ①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或. 当时，即，此时有； 当时，即，则，此时有. 综上所述，. 故C项错误，D项正确. 故选：D. 类型三　由值域求参数问题 【典例5】函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据给定条件分段求出解析式及对应函数值集合，再利用数形结合，可求得结果 【详细解析】因为，且时，， 所以当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以当时，，解得或， 作出函数的大致图象，如图所示， 由图可知，，恒有，必有， 即的取值范围是， 故选：B 【题后反思】函数不等式恒成立问题，考查二次函数的性质，考查分段函数的性质，解题的关键是根据已知条件求出函数的解析式，再根据解析式画出图象，利用数形结合思想求解即可. 【举一反三】 5．已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于 . 【答案】 【分析】首先等式转化为，并构造函数，分别求和在上的值域，转化为值域的包含关系，列不等式求解. 【详解】由可得，令，则.而，所以对任意的，存在，使得成立.因为，所以在上的值域为，在上的值域为，依题意有，故，可得，得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是将进行转化，通过构造函数，并借助域之间的包含关系建立不等式进行求解. 【典例6】集合A是由具备下列性质的函数组成的：①函数的值域是.②，且，都有. (1)判断函数及是否属于集合A？并简要说明理由； (2)对于（1）中你认为属于A的函数，试判断是否存在正数m，使函数在区间上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【思路引导】（1）根据函数解析式，判断是否符合给定的函数性质，即知及是否属于集合A. （2）由题设且在上的最大值为5，根据二次函数的性质可得，即可求m，进而判断存在性. 【详细解析】（1）对于，即的值域为， 当时，，则，且，有， ∴不属于集合A. 对于，即的值域为， 当时，任意有成立， ∴属于集合A. （2）由（1）知：，又， ∴开口向下且对称轴为，，， ∵在上的最大值为5， ∴，且，即， ∴，整理得，可得或，又， ∴存在，使在上的最大值为5. 【题后反思】第二问，利用二次函数的性质研究在上的最大值为5的情况求参数值. 【举一反三】 6．已知，． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）3；（2）. 【分析】（1）化为分段函数，画出图象，根据图象可求出最大值， （2）化为分段函数，画出图象，即对任意的，，都有成立转化为成立，分类讨论即可求出a的范围 【详解】解：（1）当a＝2时，， 作出图像如图： 结合图象可知， 函数f（x）在[−1，1]上是增函数，在（1，2]为减函数，在（2，3]上为增函数， ∵f（1）＝1，f（3）＝3， ∴函数f（x）在[−1，3]上的最大值为f（3）＝3； （2），（a＞0）， 作出图像如图： 由题意可得成立， ①当，即a≥2时，函数f（x）在[−1，1]上为增函数， ∴＝f（1）＝a−1，＝f（−1）＝−a−1， 从而（a−1）＋a＋1＝2a≤4，解得a≤2， 故a＝2； ②，由得， 解得，或（舍去）， 当，即时， 此时，， 从而成立， 故； 当，即时， 此时，， 从而1−a＋a＋1＝2＜4成立， 故， 综上所述a的取值范围是. 【点睛】本题考查了函数恒成立的问题，以及分段函数的问题，考查了转化能力和运算能力以及分类讨论的能力，属于难题 7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，可得出原函数为，利用二次函数的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】令，则，， 当且仅当时，等号成立. 因此，函数的值域为. 故选：A. 8．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据函数的定义确定．，只要在定义域中，中至少有一个，中至少有一个即可． 【详解】值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1，2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9种情况. 故选：C． （23-24高一上·辽宁丹东·期末） 9．如图所示，现有一个直角三角形材料，，想要截得矩形CDEF，点E在边AB上，记矩形CDEF的面积为S，的面积为T.已知，设，，则（    ） A． B． C．当S取最大值时， D．当S取最大值时， 【答案】BC 【分析】由，利用对应边成比例，表示出的关系式判断选项A；由的关系式，把表示为关于的函数，验证选项B；由二次函数的性质，求S取最大值时的值，计算验证选项C；通过三角形形状验证判断选项D． 【详解】，为矩形，则，，， 可得，有，，得，A选项错误； 由，得，，B选项正确； 由二次函数的性质可知，时，单调递增；时，单调递减， 则当时，S取最大值，此时，C选项正确； 当S取最大值时，，此时分别为的中点， ，所以与不垂直，D选项错误． 故选：BC 10．函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，且，则或，再对各个选项进行运算求解，即可判断该函数是否存在“和谐区间”. 【详解】解：由题得，若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”， 可知，，则或， A：，若，解得：， 所以存在“和谐区间”； B：，若存在和谐区间， 则，故在为增函数， 故，解得：， 所以存在“和谐区间”； C：，若存在和谐区间，则， 若，则，故在上为增函数， 故，得，故无解； 若，则，故在上为增函数， 同上，无解. 所以不存在“和谐区间”； D：，函数在 单调递减， 则 ， 不妨令， 所以存在“和谐区间”； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想. （2024高二·全国·竞赛） 11．设，函数满足对任意都成立，则的最大值为 ． 【答案】## 【分析】利用二次函数的性质可求最大值. 【详解】由题设有， 故， 当且仅当或时取最大值， 故的最大值为， 故答案为： （23-24高一上·北京·期中） 12．已知函数，，.设集合，若中的所有点围成的平面区域的面积为，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】设,则面积为，再分情况讨论二次函数的对称轴与区间的关系，求出的值域，并表示出S，即可求出S的最小值. 【详解】显然， 当，即时，在上单调递减，， 而，， 即有，此时， ； 当时，即时，在上单调递增，则有， 此时, ； 当时, 在上单调递减, 在上单调递增， 且，，则有， 此时, ； 当时, 在上单调递减，在上单调递增， 且，，则有， 此时, ， 综上所述，，所以S的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解决问题的关键在于讨论二次函数的对称轴与所给的区间的关系，得出二次函数在该区间上的值域求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 函数的概念与性质 微点8  函数最值问题 函数的最值与函数的单调性紧密相连，是函数中重要的研究对象．在研究基本初等函数的基础上，可以进一步了解描述函数最值的常见数学符号语言，掌握具有特殊结构的函数最值的求法，能熟练运用数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想解决问题，提升逻辑推理、直观想象以及数学运算素养． 下面我们从以下三个方面进行探究： 1.求值域问题； 2.由值域求定义域问题； 3.由值域求参数问题. 探究一　求值域问题 【典例1】已知函数满足对恒成立，且的图象过点，． （1）求的解析式； （2）令，求的值域． 【思路引导】解决第（1）问的关键是利用方程组思想求出参数；解决第（2）问的关键是利用换元法将问题转化成二次函数的最值问题． 【详细解析】（1）因为函数满足对恒成立，则对恒成立，所以，．因为的图象过点，，所以即解得故． （2）． ①当时，在上单调递减，所以，，此时； ②当时，，设，，可得，，此时． 综上所述，的值域为． 【题后反思】求根式结构的函数的最值或值域，如果能判断函数的单调性，可根据单调性求最值或值域；如果无法判断其单调性，可以通过换元法，将原函数转化成二次函数等函数模型再求最值或值域． 【举一反三】 （23-24高一上·安徽六安·期中） 1．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ） A．函数不存在跟随区间 B．若为的跟随区间，则 C．二次函数存在“3倍跟随区间” D．若函数存在跟随区间，则 【典例2】（2024·浙江·模拟预测）对于，满足，且对于，恒有．则（ ） A．    B．     C．    D． 【思路引导】赋值法求得，由，求的值判断选项A，由，求得，结合恒有，对BCD中的函数值进行判断. 【详细解析】令代入及， 得，所以， ，A选项正确； 令代入，得； 令代入由，得， ，， ，， 对于．恒有， ，，B选项正确； ，C选项错误； ，则有，即，D选项正确. 故选：ABD 【题后反思】抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论，常用的方法有： (1)令等特殊值求抽象函数的函数值； (2)令或，且，判断抽象函数的单调性； (3)令，判断抽象函数的奇偶性； (4)换为，确定抽象函数的周期； (5)用，或换为等来解答抽象函数的其它一些问题. 【举一反三】 （23-24高三上·北京·阶段练习） 2．已知为定义在上的非常数函数，且， 设，，若，给出下列四个结论： ①；②；③；④有最小值. 其中所有正确结论的序号为 . 探究二　由值域求定义域问题 【典例3】已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为 . 【思路引导】画出函数图像，分析要使函数在闭区间上的值域为，必有，，或，再根据求的最大值最好是正值，可得， ，即的最大值为. 【详细解析】 画出函数的图像可知，要使其在闭区间上的值域为， 由于有且仅有，所以， 而，所以有，或， 又∵，的最大值为正值时，， ∴， 所以，当取最小值时，，有最大值. 又∵， ∴的最大值为； 故答案为：3. 【题后反思】本题考查了二次函数的图像和定义域与值域之间的关系，分析双变量的最值时，可先确定正负，再看是否有办法将其中一值取到定值，以此消元. 【举一反三】 3．已知函数的值域是，求函数的定义域和值域． 【典例4】（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)当且时，求的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的值域是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【思路引导】（1）讨论符号，应用分段函数形式写出，即可判断单调性； （2）由题设可得且，则，令并结合二次函数性质求范围； （3）讨论、、分别研究是否存在使题设条件成立即可. 【详细解析】（1）由，，令，令， 所以，故的递减区间为，递增区间为. （2）由（1）知：在上，在上， 所以有，即， 故，且，所以， 令，则， 所以，又，则， 所以. （3）若，则上最小值为0，即，与前提矛盾； 所以，若存在实数使在上值域是，情况如下， 当时，此时递减，则，与前提矛盾； 当时，此时递增，则； 故存在使函数在上的值域是. 【题后反思】通过函数的单调性结合图象分类讨论即可解决问题. 【举一反三】 4．设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（    ） A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 类型三　由值域求参数问题 【典例5】函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据给定条件分段求出解析式及对应函数值集合，再利用数形结合，可求得结果 【详细解析】因为，且时，， 所以当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以当时，，解得或， 作出函数的大致图象，如图所示， 由图可知，，恒有，必有， 即的取值范围是， 故选：B 【题后反思】函数不等式恒成立问题，考查二次函数的性质，考查分段函数的性质，解题的关键是根据已知条件求出函数的解析式，再根据解析式画出图象，利用数形结合思想求解即可. 【举一反三】 5．已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于 . 【典例6】集合A是由具备下列性质的函数组成的：①函数的值域是.②，且，都有. (1)判断函数及是否属于集合A？并简要说明理由； (2)对于（1）中你认为属于A的函数，试判断是否存在正数m，使函数在区间上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【思路引导】（1）根据函数解析式，判断是否符合给定的函数性质，即知及是否属于集合A. （2）由题设且在上的最大值为5，根据二次函数的性质可得，即可求m，进而判断存在性. 【详细解析】（1）对于，即的值域为， 当时，，则，且，有， ∴不属于集合A. 对于，即的值域为， 当时，任意有成立， ∴属于集合A. （2）由（1）知：，又， ∴开口向下且对称轴为，，， ∵在上的最大值为5， ∴，且，即， ∴，整理得，可得或，又， ∴存在，使在上的最大值为5. 【题后反思】第二问，利用二次函数的性质研究在上的最大值为5的情况求参数值. 【举一反三】 6．已知，． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个 （23-24高一上·辽宁丹东·期末） 9．如图所示，现有一个直角三角形材料，，想要截得矩形CDEF，点E在边AB上，记矩形CDEF的面积为S，的面积为T.已知，设，，则（    ） A． B． C．当S取最大值时， D．当S取最大值时， 10．函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（    ） A． B． C． D． （2024高二·全国·竞赛） 11．设，函数满足对任意都成立，则的最大值为 ． （23-24高一上·北京·期中） 12．已知函数，，.设集合，若中的所有点围成的平面区域的面积为，则的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$