微点7 函数性质“三剑客” 讲义-2025-2026学年高一上学期数学同步微点进阶

专题三 函数的概念与性质 微点7 函数性质“三剑客” 函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质，也是高中数学的核心内容，它们是函数概念的拓展和深化，充分体现了函数图象在研究函数性质中的重要性，渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．下面我们从以下三个方面研究函数性质“三剑客”： 1.与单调性有关的问题； 2.与奇偶性、对称性有关的问题； 3.性质的综合问题． 与函数单调性有关的问题主要有：利用函数单调性定义判断或证明某一函数在一个区间内的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理去分析函数单调性；证明不等式；比较数或式的大小；探讨函数的最值；等等．可以利用单调性的定义进一步探究函数的其他性质，如渐近线等． 奇函数、偶函数图象所具有的对称性在解题中有着广泛的应用，要深刻理解函数奇偶性的定义，运用对称思想方法不仅可以处理解题中经常碰到的基本对称问题，还可以处理与此相关联或拓展的对称问题． 探究一　单调性有关问题 【典例1】利用函数单调性的定义，研究函数在上的单调性． 【思路引导】判断并证明函数的单调性，即判断当任意且时，与的大小关系，需要严谨的数学逻辑推理． 【详细解析】设为内的任意两个数，且， 则． 因为且，所以，，．所以． 当时，，即，在上单调递减． 当时，，即，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增． 【题后反思】利用定义法证明或判断函数单调性的步骤： 【举一反三】（24-25高二上·四川南充·开学考试） 1．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据以及求出，再根据函数的单调性以及定义域即可求解. 【详解】解： ， 即， ， ，可转化为：， 即， 即， 满足，且，有， 在上单调递增， 即 ， 解得：， 即不等式的解集为：. 故选：C. 【典例2】（1）若函数在区间上是减函数，则下列关系式中一定成立的是（ ） A．    B． C．    D． （2）已知定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围是______． （3）已知，函数是区间上的单调函数，则实数的取值范围是______． 【思路引导】已知函数单调性的前提下，可以将函数值的大小关系转化为比较自变量的大小关系，从而可以将问题转化为解不等式问题． 【详细解析】（1）与的大小无法判定，所以A不正确；同理B不正确；当时，，所以C不正确；因为等价于，且函数在上单调递减，所以，所以D正确． （2）由题意可知在上是增函数，且，故，解得．故的取值范围是． （3）任取，且， 则． 由，得，根据题意的符号恒正或恒负， 故，所以实数的取值范围是． 【题后反思】（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小，在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．运用函数单调性的定义也可以建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求出参数的取值范围． （2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． （3）单调递增的定义还可以用或者来表示；单调递减的定义还可以用或者来表示．在解题时注意结构之间的转化关系． 【举一反三】 2．已知不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用函数是单调递减的，由得到，再由恒成立得参数的不等式． 【详解】二次函数的对称轴是直线，所以该函数在上单调递减， 所以，同样可知函数在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以由得到， 即在上恒成立，所以，所以， 所以实数的取值范围是． 类型二　奇偶性与对称性有关问题 【典例3】我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为如下结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数函数为偶函数”的一个推广结论． 【思路引导】（1）利用题意假设中心后，化简计算；（2）从数形结合的角度去理解函数图象的对称性（对称中心与对称轴）． 【详细解析】（1）的定义域为， 假设函数的图象关于点成中心对称图形， 因为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数， 则，即， 即， 整理得对于恒成立，则所以，， 故为奇函数，所以函数图象的对称中心为点． （2）命题：已知函数的定义域为，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数． 【题后反思】与奇偶性相关的抽象函数的自身对称性有如下结论： ①若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称． ②若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称． ③若，则函数的图象关于直线对称． ④若，则函数的图象关于点对称． 【举一反三】（23-24高一上·江苏常州·期中） 3．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．值域为 C．当时，恒有成立 D．若，且，则 【答案】ACD 【分析】先判断的奇偶性，再在上，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断AB；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断C；特殊值法，将代入判断D. 【详解】对于AB，因为，则由解析式知的定义域为， 又，所以为奇函数， 当时，由对勾函数性质知：在上单调递减，在上单调递增，且值域为， 而在上递增，所以在上单调递减，在上单调递增，且， 由奇函数的对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且， 所以值域为，故A正确，B错误； 对于C，当时， 恒成立， 所以恒有成立，故C正确； 对于D，由， 因为，且， 所以，故，当且仅当时等号成立， 而时，，故等号不成立，所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：对于D 选项，根据解析式推导出，进而得到为关键. 【典例4】关于函数对称性的问题，有如下事实： ①证明函数图象的对称性就是证明图象上点的对称性．例如，证明函数图象关于y轴对称，就是证明图象上的任一点关于y轴的对称点也在图象上． ②点的坐标能满足函数关系式就说明点在函数图象上． ③偶函数图象关于y轴对称这个结论可以推广．例如，函数图象关于直线x＝1对称的充要条件是函数是偶函数． 请根据上述信息完成以下问题： （1）从偶函数定义出发，证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称； （2）求函数的对称轴； （3）已知函数为偶函数，且在(2，＋∞)上单调递减，若函数h(x)图象上两点满足，求实数m的取值范围． 【思路引导】（1）①先证充分性，设函数y＝f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(－x，f(－x))．由点的坐标可得证．②再证必要性，设y＝f(x)是偶函数，要证明图象关于y轴对称，即证明图象上任意一点关于y轴的对称点还在自身图象上，设点的坐标可得证． （2）g(x)＝(x＋1)4－1，设x＝a为g(x)的对称轴，由g(x＋a)＝g(－x＋a)，可求得a，从而得g(x)的对称轴． （3）因为函数y＝h(x＋2)的奇偶性和y＝h(x)在(2，＋∞)上单调性，得出不等式│m－2│＜│1－2m－2│，解之可得答案． 【详细解析】 （1）①先证充分性（如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数．） 设函数y＝f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(－x，f(－x))． 因为函数的图象关于y轴对称，所以横坐标互为相反数的两个点的纵坐标应该相等，即f(x)＝f(－x)， 所以函数y＝f(x)为偶函数． ②再证必要性（如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于y轴对称．） 设y＝f(x)是偶函数，要证明图象关于y轴对称， 即证明图象上任意一点关于y轴的对称点还在自身图象上， 设P(x，y)为f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)， 此时P关于y轴的对称点P′(x'，y')，则x'＝－x，y'＝y， 又函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即y＝f(x)＝f(－x)＝y′，所以点P′(x'，y′)在函数f(x)图象上． 所以函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称． （2）g(x)＝(x＋1)4－1，设x＝a为g(x)的对称轴，由题意，g(x＋a)＝(x＋1＋a)4－1为偶函数． 任取x∈R，g(x＋a)＝g(－x＋a)，所以(x＋1＋a)4－1＝(－x＋1＋a)4－1， 所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2][ (x＋1＋a)2－(x－1－a)2]＝0， 所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2]4(1＋a)x＝0恒成立，故1＋a＝0，则a＝－1， 所以g(x)的对称轴为直线x＝－1． （3）因为函数y＝h(x＋2)为偶函数，且y＝h(x)在(2，＋∞)上单调递减， 所以│m－2│＜│1－2m－2│， 解得m＜－3或， 所以m的取值范围(－∞，－3)∪(，＋∞)． 【题后反思】函数对称性的常用结论： ①函数与的图象关于直线对称； ②函数与的图象关于直线对称； ③函数与的图象关于直线对称． 【举一反三】 4．设函数的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意的，都有，且恒成立，则称函数为D上的“k型增函数”.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，若为R上的“2021型增函数”，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】分与，先做出函数在的图象，再根据函数为奇函数由对称性得到的图象，利用与图象的关系求解. 【详解】若，则当时，，由函数为奇函数，故的图像如图所示： 此时的图像始终在图像的上方，故满足. 若，时，，时，， 由函数为奇函数，则的图像如图所示： 若恒成立， 由图象可知， 所以. 综上， . 故答案为： 【点睛】根据分类讨论，去绝对值号得函数解析式，做出函数在时的图象，再由对称性得到函数在定义域上的图象，根据图象之间的平移关系，数形结合求解，属于难题. 类型三　性质综合问题 【典例5】（1）已知为奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（ ） A．或    B．或 C．或        D．或 （2）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则的取值范围是______． （3）已知为偶函数，若对任意，总有成立，则不等式的解集为______． 【思路引导】根据题中信息，合理构造函数，综合利用奇偶性、单调性和对称性解题，培养创新思维． 【详细解析】（1）因为是奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，又因为，所以，因为，所以当时，原不等式可化为，又在上单调递增，所以；当时，原不等式可化为，又在区间上单调递增，所以；当时，，与矛盾，所以不是不等式的解．综上，的解集是或．故选B． （2）因为是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 由得，得得 得得 得．故的取值范围为． （3）由题意可得，即， 有．当时，；当时，． 故函数在上单调递增， 又因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以在上单调递减， 且，由，得，解得， 故解集为． 【题后反思】函数的单调性、奇偶性与对称性的综合问题解题思路： （1）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． （2）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据函数的奇偶性、单调性与对称性，列出不等式（组）．要注意函数定义域对参数的影响． 【举一反三】（23-24高一上·四川乐山·期中） 5．定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A．为奇函数 B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可. 【详解】对于A，由题，，于是，令，则， 即，所以为奇函数，A正确； 对于B，设，则有，即， 即有，所以在上单调递增， 由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确； 对于C，由，得， 又为奇函数，则，C错误； 对于D，由题意得，， 则等价于， 则有，即，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题是利用抽象函数作为探究创新情境，主要考查函数奇偶性、对称性等基础知识；解题的关键是利用赋值法求解. 【典例6】（23-24高一上·吉林长春·期末）若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有．则称函数具有性质P．已知函数具有性质P，则不等式的解集为 ． 【思路引导】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解． 【详细解析】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为． 故答案为：． 【题后反思】对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题： 1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； 2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解； 3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力； 4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决． 【举一反三】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末） 6．定义在上的函数，对，均有，当时，，令，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据对，均有，且，令，即可得的值，从而判断A；令得，则，于是可化简的式子，从而可判断B；令，结合当时，，可得，则可得的大小关系，从而可判断C；利用归纳法推出，从而可判断D. 【详解】对，均有，令可得，所以，则，故A正确； ，可令得，所以， 则，故B不正确； 令，可得， 因为当时，， 又，所以， 故，所以， 所以，则，故C不正确； 令，得，则，， 以此类推可得：， 所以，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用合理赋值、作差法并结合其所给性质逐项分析即可. （23-24高一上·北京·期中） 7．下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数解析式直接判断各选项中的函数单调性即得. 【详解】函数、在R上单调递增，AB不是； 函数在上单调递增，C不是； 函数在上单调递减，D是. 故选：D 8．设函数与的定义域为，且单调递增，，，若对任意，恒成立，则（   ） A．都是减函数 B．都是增函数 C．是增函数，是减函数 D．是减函数，是增函数 【答案】B 【分析】根据单调递增，不妨设，可得，结合已知可得且，由此利用函数单调性定义判断，的正负，可得答案. 【详解】不妨设,，因为单调递增，所以， 由于， 所以且， 即且， 则，所以是增函数， 同理 ,故也是增函数． 故选：B． 9．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】时，所以，单调递增，是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．由得，即，解得． 10．已知定义在上的奇函数满足，且时，，则下列结论中正确的有（    ） A． B．函数在上是单调递减 C．函数的图象关于直线成轴对称 D．函数的图象关于直线成轴对称 【答案】ABD 【分析】对A，对进行赋值，再根据奇函数的性质即可求解；对B，根据函数的性质画出图象即可判断；对C，根据函数图象即可判断；对D，根据函数图象即可判断. 【详解】对A，，令，则， 又时，，，即， 是奇函数，，故A对； 对B， 可以根据题中条件，画出的图象， 时，，且是奇函数， 故可画出在区间上的图象， ， 故是周期为的函数， 故图象如图所示： 故在上是单调递减，故B对； 对C，由图可知：的图象关于直线成中心对称，故C错； 对D，由图可知：的图象关于直线成轴对称，故D对. 故选：ABD. 11．设函数在区间上的最大值为，在区间上的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】注意到，由题可得在与上单调性，即可得答案. 【详解】解：因为，则在，上单调. 因在区间上存在最大值，则在，上递减. 则，，则. 故答案为： 12．已知定义在上的偶函数,当时,单调递减,若成立,求m的取值范围. 【答案】 【解析】根据题意可得，再根据函数的单调性可得 ，解不等式组即可. 【详解】解:∵为定义在上的偶函数, ∴. 又∵当时,单调递减,, ∴, ∴m的取值范围是. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，解题的关键是列出不等式组，属于基础题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 函数的概念与性质 微点7 函数性质“三剑客” 函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质，也是高中数学的核心内容，它们是函数概念的拓展和深化，充分体现了函数图象在研究函数性质中的重要性，渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．下面我们从以下三个方面研究函数性质“三剑客”： 1.与单调性有关的问题； 2.与奇偶性、对称性有关的问题； 3.性质的综合问题． 与函数单调性有关的问题主要有：利用函数单调性定义判断或证明某一函数在一个区间内的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理去分析函数单调性；证明不等式；比较数或式的大小；探讨函数的最值；等等．可以利用单调性的定义进一步探究函数的其他性质，如渐近线等． 奇函数、偶函数图象所具有的对称性在解题中有着广泛的应用，要深刻理解函数奇偶性的定义，运用对称思想方法不仅可以处理解题中经常碰到的基本对称问题，还可以处理与此相关联或拓展的对称问题． 探究一　单调性有关问题 【典例1】利用函数单调性的定义，研究函数在上的单调性． 【思路引导】判断并证明函数的单调性，即判断当任意且时，与的大小关系，需要严谨的数学逻辑推理． 【详细解析】设为内的任意两个数，且， 则． 因为且，所以，，．所以． 当时，，即，在上单调递减． 当时，，即，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增． 【题后反思】利用定义法证明或判断函数单调性的步骤： 【举一反三】（24-25高二上·四川南充·开学考试） 1．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【典例2】（1）若函数在区间上是减函数，则下列关系式中一定成立的是（ ） A．    B． C．    D． （2）已知定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围是______． （3）已知，函数是区间上的单调函数，则实数的取值范围是______． 【思路引导】已知函数单调性的前提下，可以将函数值的大小关系转化为比较自变量的大小关系，从而可以将问题转化为解不等式问题． 【详细解析】（1）与的大小无法判定，所以A不正确；同理B不正确；当时，，所以C不正确；因为等价于，且函数在上单调递减，所以，所以D正确． （2）由题意可知在上是增函数，且，故，解得．故的取值范围是． （3）任取，且， 则． 由，得，根据题意的符号恒正或恒负， 故，所以实数的取值范围是． 【题后反思】（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小，在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．运用函数单调性的定义也可以建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求出参数的取值范围． （2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． （3）单调递增的定义还可以用或者来表示；单调递减的定义还可以用或者来表示．在解题时注意结构之间的转化关系． 【举一反三】 2．已知不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 类型二　奇偶性与对称性有关问题 【典例3】我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为如下结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数函数为偶函数”的一个推广结论． 【思路引导】（1）利用题意假设中心后，化简计算；（2）从数形结合的角度去理解函数图象的对称性（对称中心与对称轴）． 【详细解析】（1）的定义域为， 假设函数的图象关于点成中心对称图形， 因为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数， 则，即， 即， 整理得对于恒成立，则所以，， 故为奇函数，所以函数图象的对称中心为点． （2）命题：已知函数的定义域为，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数． 【题后反思】与奇偶性相关的抽象函数的自身对称性有如下结论： ①若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称． ②若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称． ③若，则函数的图象关于直线对称． ④若，则函数的图象关于点对称． 【举一反三】（23-24高一上·江苏常州·期中） 3．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．值域为 C．当时，恒有成立 D．若，且，则 【典例4】关于函数对称性的问题，有如下事实： ①证明函数图象的对称性就是证明图象上点的对称性．例如，证明函数图象关于y轴对称，就是证明图象上的任一点关于y轴的对称点也在图象上． ②点的坐标能满足函数关系式就说明点在函数图象上． ③偶函数图象关于y轴对称这个结论可以推广．例如，函数图象关于直线x＝1对称的充要条件是函数是偶函数． 请根据上述信息完成以下问题： （1）从偶函数定义出发，证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称； （2）求函数的对称轴； （3）已知函数为偶函数，且在(2，＋∞)上单调递减，若函数h(x)图象上两点满足，求实数m的取值范围． 【思路引导】（1）①先证充分性，设函数y＝f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(－x，f(－x))．由点的坐标可得证．②再证必要性，设y＝f(x)是偶函数，要证明图象关于y轴对称，即证明图象上任意一点关于y轴的对称点还在自身图象上，设点的坐标可得证． （2）g(x)＝(x＋1)4－1，设x＝a为g(x)的对称轴，由g(x＋a)＝g(－x＋a)，可求得a，从而得g(x)的对称轴． （3）因为函数y＝h(x＋2)的奇偶性和y＝h(x)在(2，＋∞)上单调性，得出不等式│m－2│＜│1－2m－2│，解之可得答案． 【详细解析】 （1）①先证充分性（如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数．） 设函数y＝f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(－x，f(－x))． 因为函数的图象关于y轴对称，所以横坐标互为相反数的两个点的纵坐标应该相等，即f(x)＝f(－x)， 所以函数y＝f(x)为偶函数． ②再证必要性（如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于y轴对称．） 设y＝f(x)是偶函数，要证明图象关于y轴对称， 即证明图象上任意一点关于y轴的对称点还在自身图象上， 设P(x，y)为f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)， 此时P关于y轴的对称点P′(x'，y')，则x'＝－x，y'＝y， 又函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即y＝f(x)＝f(－x)＝y′，所以点P′(x'，y′)在函数f(x)图象上． 所以函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称． （2）g(x)＝(x＋1)4－1，设x＝a为g(x)的对称轴，由题意，g(x＋a)＝(x＋1＋a)4－1为偶函数． 任取x∈R，g(x＋a)＝g(－x＋a)，所以(x＋1＋a)4－1＝(－x＋1＋a)4－1， 所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2][ (x＋1＋a)2－(x－1－a)2]＝0， 所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2]4(1＋a)x＝0恒成立，故1＋a＝0，则a＝－1， 所以g(x)的对称轴为直线x＝－1． （3）因为函数y＝h(x＋2)为偶函数，且y＝h(x)在(2，＋∞)上单调递减， 所以│m－2│＜│1－2m－2│， 解得m＜－3或， 所以m的取值范围(－∞，－3)∪(，＋∞)． 【题后反思】函数对称性的常用结论： ①函数与的图象关于直线对称； ②函数与的图象关于直线对称； ③函数与的图象关于直线对称． 【举一反三】 4．设函数的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意的，都有，且恒成立，则称函数为D上的“k型增函数”.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，若为R上的“2021型增函数”，则实数a的取值范围是 . 类型三　性质综合问题 【典例5】（1）已知为奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（ ） A．或    B．或 C．或        D．或 （2）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则的取值范围是______． （3）已知为偶函数，若对任意，总有成立，则不等式的解集为______． 【思路引导】根据题中信息，合理构造函数，综合利用奇偶性、单调性和对称性解题，培养创新思维． 【详细解析】（1）因为是奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，又因为，所以，因为，所以当时，原不等式可化为，又在上单调递增，所以；当时，原不等式可化为，又在区间上单调递增，所以；当时，，与矛盾，所以不是不等式的解．综上，的解集是或．故选B． （2）因为是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 由得，得得 得得 得．故的取值范围为． （3）由题意可得，即， 有．当时，；当时，． 故函数在上单调递增， 又因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以在上单调递减， 且，由，得，解得， 故解集为． 【题后反思】函数的单调性、奇偶性与对称性的综合问题解题思路： （1）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． （2）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据函数的奇偶性、单调性与对称性，列出不等式（组）．要注意函数定义域对参数的影响． 【举一反三】（23-24高一上·四川乐山·期中） 5．定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A．为奇函数 B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 【典例6】（23-24高一上·吉林长春·期末）若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有．则称函数具有性质P．已知函数具有性质P，则不等式的解集为 ． 【思路引导】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解． 【详细解析】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为． 故答案为：． 【题后反思】对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题： 1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； 2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解； 3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力； 4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决． 【举一反三】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末） 6．定义在上的函数，对，均有，当时，，令，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． （23-24高一上·北京·期中） 7．下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 8．设函数与的定义域为，且单调递增，，，若对任意，恒成立，则（   ） A．都是减函数 B．都是增函数 C．是增函数，是减函数 D．是减函数，是增函数 9．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 10．已知定义在上的奇函数满足，且时，，则下列结论中正确的有（    ） A． B．函数在上是单调递减 C．函数的图象关于直线成轴对称 D．函数的图象关于直线成轴对称 11．设函数在区间上的最大值为，在区间上的最小值为，则 ． 12．已知定义在上的偶函数,当时,单调递减,若成立,求m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$