精品解析： 广西壮族自治区钦州市灵山县青云中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试题

2024年秋季学期期中考试试题 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2，10 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点旋转后得到，则旋转方式是（ ） A. 顺时针旋转 B. 逆时针旋转 C. 顺时针旋转 D. 逆时针旋转 6. 把化成（其中是常数）形式的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 将二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 10. 若在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点的坐标为 C. 函数的最小值为 D. 当时，随的增大而减小 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 已知是一元二次方程的两根，且_________． 14. 将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______． 15. 点关于原点对称的点的坐标为________． 16. 正方形ABCD内一点P，AB=5，BP=2，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′，则PP′的长为 ． 17. 是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为_______________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于点A和点B，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 21. 如图网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，． （1）绕点顺时针旋转后得到，请画出； （2）选择点为对称中心，画出与关于点对称的； （3）在轴上画出点，使得最小． 22. 如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接． （1）若，求的长； （2）若D为的中点，求证：是等边三角形． 23. 掷实心球是钦州市中考体育科选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，实心球抛出时起点A处的高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据钦州市中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.11m，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 24. 如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，…… （1）第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ； （2）探究发现，120是前 行的点数和； （3）三角点阵中前行的点数和能是600吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由． 25. 如图1，正方形和正方形三点共线，，．将正方形绕点逆时针旋转，连接． （1）如图2，求证：； （2）如图3，在旋转的过程中，当三点共线时，试求的长； 26. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期期中考试试题 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形； B选项不是轴对称图形是中心对称图形； C选项既是轴对称图形又是中心对称图形； D选项是轴对称图形而不是中心对称图形； 故选C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A． 方程中含有分式，不是整式方程，不符合定义． B． 方程中未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合定义． C． 方程中含有两个未知数和，属于二元二次方程，不符合定义． D． 方程是仅含未知数的整式方程，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 故选：D． 3. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的顶点式解析式，如果，那么函数图象的顶点坐标为，需要熟记并灵活运用． 根据二次函数的顶点式即可得出顶点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：A． 5. 如图，将绕点旋转后得到，则旋转方式是（ ） A. 顺时针旋转 B. 逆时针旋转 C. 顺时针旋转 D. 逆时针旋转 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，找到旋转中心、旋转角和旋转方向是解题的关键．观察图形，找到旋转中心、旋转角和旋转方向即可解题． 【详解】解：观察图形可知，旋转角为， ∴将绕点逆时针旋转后得到， 故选：D． 6. 把化成（其中是常数）形式的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 7. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 8. 将二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的翻折问题．将原二次函数图象沿y轴翻折后，顶点坐标的横坐标变为相反数，纵坐标不变，对称轴也随之改变． 【详解】解：原二次函数为顶点式，其顶点为，对称轴为直线． 沿y轴翻折后，顶点变为，故新抛物线的对称轴为直线． 故选：A． 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得， ， 故选：B． 10. 若在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，通过代入各点横坐标计算对应的函数值，比较大小即可． 【详解】解：将各点的横坐标代入二次函数中： 当时，； 当时，； 当时，． 比较得：， 故选：D． 11. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由题意设每个支干长出个小分支，因为主干长出个（同样数目）支干，则又长出个小分支，则共有个分支，即可列方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设每个支干长出个小分支， 根据题意列方程得：． 故选：A． 12. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点的坐标为 C. 函数的最小值为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据所给函数图象，可得出的的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：A．根据函数图象可知，函数图象开口向下，故，说法错误，不符合题意； B．图象与轴交于，关于对称，所以，说法正确，符合题意； C．由抛物线的解析式可知对称轴，故当时，取得最大值，说法错误，不符合题意； D．当时，随的增大而增大，说法错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 已知是一元二次方程的两根，且_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．直接利用根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为： 14. 将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟知抛物线的平移规律是解题关键．抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 15. 点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点关于原点对称的特点，掌握关于原点对称点的特点求解是关键． 根据点关于原点对称点的特点“点的坐标与对称点的坐标中：横、纵坐标均为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为： ． 16. 正方形ABCD内一点P，AB=5，BP=2，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′，则PP′的长为 ． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得到BP=BP′，且∠PBP′=90°，即三角形BPP′为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PP′的长即可． 【详解】解：由旋转的性质得到BP=BP′=2，且∠PBP′=90°， ∴△BPP′为等腰直角三角形， 则PP′==2， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，以及正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 17. 是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可；本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金比是解题的关键． 【详解】解：设的长度为x，则， 由题意可得，， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴（） 故答案为： 18. 如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于点A和点B，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得． 【详解】解：设，则， ∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法可得，再进一步解方程即可求解； （2）利用因式分解法可得，再进一步解方程即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 解得：. 20. 已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 【答案】(1) m≥﹣9;(2)3 【解析】 【分析】（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m，结合x1+x2﹣2x1x2=0，得到关于m的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）根据题意得：△=36+4m≥0，解得：m≥﹣9，即m的取值范围为：m≥﹣9； （2）根据题意得：x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m． ∵x1+x2﹣2x1x2=0，∴﹣6﹣2×（﹣m）=0，解得：m=3（符合题意），即m的值为3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． 21. 如图网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，． （1）绕点顺时针旋转后得到，请画出； （2）选择点为对称中心，画出与关于点对称的； （3）在轴上画出点，使得最小． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求； （3） 如图，点P即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握旋转，轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）分别确定关于点对称的对称点，再顺次连接即可； （3）作关于轴对称的对称点，连接与轴交于点点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接． （1）若，求的长； （2）若D为的中点，求证：是等边三角形． 【答案】（1）； （2） 证明：由旋转的性质得，， ∵D为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定． （1）由勾股定理求得，由旋转的性质得，，求得，再根据勾股定理即可求解； （2）由旋转的性质推出是线段的垂直平分线，得到，即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 23. 掷实心球是钦州市中考体育科选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，实心球抛出时起点A处的高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据钦州市中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.11m，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为 （2） 该女生在此项考试中得满分． 理由如下： ∵对于二次函数， 当时，有． ∴． 解得，． ∵ ∴该女生在此项考试中得满分． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是求出函数解析式． （1）根据题意设y关于x的函数表达式为，把代入，求出a即可； （2）根据该同学投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【小问1详解】 由题意，得该抛物线的顶点坐标为． ∴设函数表达式为． ∵经过点， ∴． 解得． ∴． ∴y关于x的函数表达式为． 【小问2详解】 略 24. 如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，…… （1）第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ； （2）探究发现，120是前 行的点数和； （3）三角点阵中前行的点数和能是600吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由． 【答案】（1）10； （2）15 （3）三角形点阵中前行的点数和不能是600，理由： 根据题意可得：， 整理得，． ， 而，即． 不是一个完全平方数，即方程的两根均为无理数． 三角形点阵中前行的点数和不能是600． 【解析】 【分析】本题考查了与实数相关的规律题，一元二次方程，用代数式表示数；通过所给图形列出正确代数式是解决问题的关键． （1）由于第一行有个点，第二行有个点…第行有个点， 则前四行共有个点， 前行共有＝个点． （2）令=，的值即为所求． （3）令，整理为， 通过判别式判断值是否为整数，进而判断点数能不能为． 【小问1详解】 由于第一行有个点，第二行有个点…第行有个点， 则前四行共有 个点， 前行共有个点， 可以把第一行和最后一行点加起来是， 第二行和倒数第二行加起来是， 以此类推，一共有行， 所以前行共有=个点． 故前四行点数和为；前行点数和为． 【小问2详解】 根据题意可得：， 整理得， 求得． 【小问3详解】 略 25. 如图1，正方形和正方形三点共线，，．将正方形绕点逆时针旋转，连接． （1）如图2，求证：； （2）如图3，在旋转的过程中，当三点共线时，试求的长； 【答案】（1） 证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）过点作于，根据正方形的性质与勾股定理得，从而求得，再在在中，由勾股定理，求得，即可由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于，     ∵在正方形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴． 26. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $