精品解析：河北省廊坊市香河县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

香河县2024~2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试卷 考试说明： 1．本场考试时间为120分钟． 2．分值为120分，其中书写占3分，试题占117分． 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，合计36分．下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的．请将最符合题意的选项前面的字母涂在答题卡上．） 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 3. 某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 4 16 15 9 6 则他们捐款金额的中位数和众数分别是（ ） A. 10，20.6 B. 20，16 C. 10，30.6 D. 20，10 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 新龟兔赛跑故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，函数()和()图象相交于点A，则不等式＞的解集为（ ） A. ＞ B. ＜ C. ＞ D. ＜ 8. 在平面直角坐标系中，矩形边在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线交于H，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 已知点（-4，），（2，）都在直线上，则，大小关系是（ ） A. ＞ B. ＝ C. ＜ D. 不能比较 10. 如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（ ）． A. B. C. D. 11. 已知．则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 且 卷Ⅱ（非选择题，共81分） 二、填空题（13-16题每小题3分，共12分） 13. 若直线向下平移2个单位长度后经过点，则m的值为______． 14. 阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是______． 15. 如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏， 一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放， 把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为_________ ． 16. 如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为______． 三、解答题（17-24题共69分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原长方形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 19. 嘉嘉发现某种形状的纸片通过裁剪，可拼接为其他形状（拼接不重叠、无缝隙、无剩余）． 情境：嘉嘉将图1的正方形对折确定点E，沿、剪开后拼接得到图2所示的钻石型五边形． （1）直接写出 ； 操作：图3是边长为1的正方形网格，网格上画有两个正方形，嘉嘉发现将其中较大正方形沿三条线剪开，即可与较小正方形一起拼接成一个更大的正方形． （2）请你在图3较大正方形中画出三条裁剪线，并在右侧空白网格处画出所拼成的大正方形和拼接线；（均画实线即可）并求出接拼后图形的周长． 20. 如图，矩形中，点为边上任意一点，连接，点为线段的中点，过点作，与、分别相交于点、， 连接、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 21. 某交警大队为了解一路口的某个时段来往车辆的车速情况，随机调查了辆车的车速（单位：），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组车辆速度数据的众数和中位数分别是 和 ． （2）求统计的这组车辆速度数据的平均数： （3）已知该路口限速，即车速超过超速．若该路口此时段每天来往车辆约500辆，请根据样本数据估计每天会有多少辆车超速？ 22. 近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式． （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ 23. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出的面积； （3）当与面积相等时，求实数的值． 24. 四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 香河县2024~2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试卷 考试说明： 1．本场考试时间为120分钟． 2．分值为120分，其中书写占3分，试题占117分． 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，合计36分．下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的．请将最符合题意的选项前面的字母涂在答题卡上．） 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案，正确把握相关定义是解题关键． 【详解】解：由题意可得：，且， ∴且， 故选：D． 2. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ） A. B. C ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，根据边之间的等量关系，结合勾股定理逆定理来判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴能判定直角三角形； B．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形； C．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形； D．∵， ∴， ∴不能判定为直角三角形． 故选：D． 3. 某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 4 16 15 9 6 则他们捐款金额的中位数和众数分别是（ ） A. 10，20.6 B. 20，16 C. 10，30.6 D. 20，10 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了中位数与众数，解题时注意：中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)．根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，进行判断即可． 【详解】解：共有50名学生的捐款， 中位数是第25、26个数的平均数，第25、26个数分别为20，20，, 中位数是； 金额10元出现的次数最多， 众数为10， 故选：D． 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．根据矩形的性质和菱形的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分； 菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据平方根的定义，二次根式的加法，乘法公式，二次根式的性质，逐一进行判断即可． 详解】解：，故选项A错误，不符合题意； 与不是同类项，不能合并，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C正确，符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选C． 6. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化．问题便可解答． 【详解】对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；最后同时到达终点，可排除B，D选项 对于兔子，其运动过程可分为三段：据此可排除A选项 开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快． 故选：C 【点睛】本题考查了函数图象的性质进行简单的合情推理，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 7. 如图，函数()和()的图象相交于点A，则不等式＞的解集为（ ） A. ＞ B. ＜ C. ＞ D. ＜ 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图象可以看出当 时，的图象在 图象的上方， 所以 的解集为. 故选：A. 8. 在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线交于H，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点H作于T，根据矩形的性质和点D的坐标可得 ，利用勾股定理可得，由作图方法可得平分，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点H作于T， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵O为线段的中点， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可知平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 已知点（-4，），（2，）都在直线上，则，大小关系是（ ） A. ＞ B. ＝ C. ＜ D. 不能比较 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论． 【详解】解：∵k=-＜0， ∴y随x的增大而减小． ∵-4＜2， ∴＞． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键． 10. 如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键． 由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 11. 已知．则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意得，，，再利用二次根式的性质进行化简即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ，，， ， ， 故选A． 12. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】解：， 直线经过点，如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则的取值范围是且， 故选：D． 卷Ⅱ（非选择题，共81分） 二、填空题（13-16题每小题3分，共12分） 13. 若直线向下平移2个单位长度后经过点，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向下平移2个单位长度， 平移后的直线解析式为：． 平移后经过， ． 故答案为：． 14. 阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根，仿照阅读材料利用完全平方公式将写成，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 15. 如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏， 一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放， 把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；结合图形建立关系式是解题的关键；设小矩形的长为a，宽为b，根据阴影部分面积为大矩形面积减去5个小矩形面积等于40，化简得的值，由勾股定理即可求得小矩形的对角线长． 【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，则大矩形长为，宽为， 由题意得：， 化简得， ； 即小矩形对角线的长为. 故答案为：． 16. 如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先求出，则为等腰直角三角形，则，可得，则，然后分两种情况讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵直线分别与x轴交于A，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当时，如图： ∴， ∴， ∴； 当时，如图： ∴，， ∴， ∴， 综上：点D的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题（17-24题共69分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先提取，再进行分母有理化化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解； （2）利用平方差公式和完全平方公式就算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原长方形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的应用；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和的近似数，再根据题意解答． 【小问1详解】 解： 两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原矩形木板的面积为； 【小问2详解】 解：最多能裁出4块这样的木条．理由如下： ，， （块），（块）， （块）． 从剩余的木块（阴影部分）中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 19. 嘉嘉发现某种形状的纸片通过裁剪，可拼接为其他形状（拼接不重叠、无缝隙、无剩余）． 情境：嘉嘉将图1的正方形对折确定点E，沿、剪开后拼接得到图2所示的钻石型五边形． （1）直接写出 ； 操作：图3是边长为1的正方形网格，网格上画有两个正方形，嘉嘉发现将其中较大正方形沿三条线剪开，即可与较小正方形一起拼接成一个更大的正方形． （2）请你在图3较大正方形中画出三条裁剪线，并在右侧空白网格处画出所拼成的大正方形和拼接线；（均画实线即可）并求出接拼后图形的周长． 【答案】（1）1；（2）图见解析，周长为 【解析】 【分析】本题考查折叠与拼图，正方形的性质； （1）根据折叠得到； （2）根据拼成大正方形面积为得到新拼成大正方形边长为，再在图1的基础上继续裁剪大正方形即可． 【详解】解：（1）折叠得到， 故答案为：； （2）拼成大正方形面积为，则新拼成大正方形边长为，接拼后图形的周长为． 如图所示，按照图形中的虚线裁剪大正方形，然后按照最右边的图形拼成新的正方形即可． 20. 如图，矩形中，点为边上任意一点，连接，点为线段的中点，过点作，与、分别相交于点、， 连接、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟记矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知证明，得，结合，点为线段的中点，即可证得结论； （2），，则，设，则，利用勾股定理求出即可解答． 【小问1详解】 证明：矩形中，， ，， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形为菱形； 【小问2详解】 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 21. 某交警大队为了解一路口的某个时段来往车辆的车速情况，随机调查了辆车的车速（单位：），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组车辆速度数据的众数和中位数分别是 和 ． （2）求统计的这组车辆速度数据的平均数： （3）已知该路口限速，即车速超过为超速．若该路口此时段每天来往车辆约500辆，请根据样本数据估计每天会有多少辆车超速？ 【答案】（1）40，12.5， （2） （3）辆 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由样本所占百分比估计总体的数量，求中位数，众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据条形统计图得车辆总数为，再结合速度为的车辆有10辆，且为最多，得出众数，根据一共调查的车辆数为，中位数排在第20和21位之间，即可作答． （2）根据平均数的公式列式计算，即可作答． （3）结合样本估计总体的公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， ， 则速度为的车辆有10辆，且为最多， ∴这组车辆速度数据的众数为， ∵一共调查的车辆数为， ∴中位数排在第20和21位之间， 则 ∴ ∴这组车辆速度数据的中位数为； 故答案为：40，12.5， 【小问2详解】 解：由（1）得一共调查的车辆数为， ∴， ∴统计的这组车辆速度数据的平均数为； 【小问3详解】 解：依题意，（辆）， ∴根据样本数据估计每天会有辆车超速． 22. 近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式． （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键． （1）若购进甲系列汉服套，则购进乙系列汉服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可； （2）根据题意首先表示出购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲系列汉服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：∵购进甲系列汉服套， ∴购进乙系列汉服套， 根据题意得，， 化简得：， 即与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元， ∴， 解得：， ∴至少要购进甲系列汉服套． 又，其中， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时最大值为：， ∴若售完全部的甲、乙系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元， 答：至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元． 23. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出的面积； （3）当与面积相等时，求实数的值． 【答案】（1） （2）； （3）实数的值为或． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）将点、的坐标代入一次函数表达式：，即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，则； （3）分点在第一象限、点在第四象限两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 设直线所在的表达式为：， 则，解得：， 故直线的表达式为：； 【小问2详解】 点、点， ， 在中，由勾股定理得： 为等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 连接，，，则： ①若点在第一象限时，如图 ，，， ， 即，解得； ②若点在第四象限时，如图 ，，， ， 即，解得； 故：当与面积相等时，实数的值为或． 24. 四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3）∠EFC＝130°或40° 【解析】 【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可； （2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题； （3）分两种情形：①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，求得∠DEC＝45°＋40°＝85°，得到∠CEF＝5°，根据角的和差得到∠EFC＝130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED， 在△EQF和△EPD中， ， ∴△EQF≌△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4， ∵CE＝2， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形， ∴四边形DECG是正方形， ∴CG＝CE＝2； （3）①如图3，当DE与AD夹角为40°时， ∠DEC＝45°＋40°＝85°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝5°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠EFC＝130°， ②如图4，当DE与DC的夹角为40°时， ∵∠DEF＝∠DCF＝90°， ∴∠EFC＝∠EDC＝40°， 综上所述，∠EFC＝130°或40°． 【点睛】此题考查了正方形的判定以及性质，涉及了全等三角形的证明、等腰直角三角形等性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$