精品解析：甘肃省兰州市海亮实验学校2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷

海亮2023-2024第二学期期中七年级数学 一、选择题 1. 下列说法错误的是（ ） A. 不相交的两条直线叫做平行线 B. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年8月29日华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟9000s处理器，这款处理器是华为采用5nm制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，相交于点，如果，那么是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，下列条件中能判定是（　　） A. B. C. D. 7. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小李计划把河中的水引到水池C进行蓄水，结果发现沿线段挖渠，即，能使水渠最短，其中蕴含的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 经过一点有无数条直线 C. 过两点有且仅有一条直线 D. 两点之间，线段最短 9. 下列关系式中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. a=b B. a>b C. a<b D. a≤b 11. 若，，则的值为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 15 12. 如图①，在长方形中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 13. 计算：______． 14. 函数的自变量的取值范围是______． 15. 如图是一探照灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的1两束光线经灯碗反射以后平行射出．若，则的度数为_______ 16. 请你根据图写出一个乘法公式：___________ 17. 计算： （1）； （2）．（用乘法公式计算） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图：，试说明：（请按图填空，并补充理由） 证明：（已知） ，（_________________） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ______（________________） ______________（内错角相等，两直线平行） 20. 如图，已知，用直尺和圆规在射线的右侧作，使得．（不写作法，只需保留作图痕迹） 21. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量问有如表关系（其中）： 0 1 2 3 4 5 … 10 11 12 … （1）直接写出y与x之间的关系式， （2）当所挂物体质量为时，弹簧的长度为多少厘米？ （3）当弹簧的长度为时，所挂物体的重量是多少千克？ 22. 如图，点D在三角形的边上，交于点F，若，试说明． 23. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （2）求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （3）当时，求绿化部分的面积． 24. 如图，已知，，求证：． 25. 已知．求的值． 26. 欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错为，得到的结果为；乐乐抄错为，得到的结果为． 式子中的a、b的值各是多少？ 请计算出原题的正确答案． 27. 为了体验大学校园文化，小华周末骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要帮在交大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过的书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）小华家里西安交大的距离是多少？书店离家多远？ （2）小华在书店停留了多长时间？ （3）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？其中小华买到书后从书店前往西安交大的速度为多少？ 28. 探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点P不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点P作，……． （1）填空：过点P作． ∴， ∵，， ∴ ( )， ∴， ∴， 即． （2）在图2中，猜测与之间的数量关系，并完成证明． （3）善思小组提出： ①如图3，已知，则角之间的数量关系为 　　　　　　．(直接填空) ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为 　　　　　　．(直接填空) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海亮2023-2024第二学期期中七年级数学 一、选择题 1. 下列说法错误的是（ ） A. 不相交的两条直线叫做平行线 B. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的定义、垂线段最短的性质、平行公理及推论、垂直的基本事实，根据平行线的定义、垂线段最短的性质、平行公理及推论、垂直的基本事实逐一判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、平行线的定义是“在同一平面内，不相交的两条直线”，故原说法错误，符合题意； B、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质，故原说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，属于平行公理的推论，故原说法正确，不符合题意； D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂直的基本事实，故原说法正确，不符合题意； 故选：A． 2. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法直接得到答案． 【详解】解：原式= =． 故选：A． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 3. 2023年8月29日华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟9000s处理器，这款处理器是华为采用5nm制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中是正整数，等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数点前面的0)． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，直线，相交于点，如果，那么是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解． 【详解】解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等）， ∴∠1＝30°， ∵∠1与∠3互为邻补角， ∴∠3＝180°−∠1＝180°−30°＝150°． 故选：A． 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键． 5. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则进行运算即可． 本题主要考查了积的乘方：，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 6. 如图所示，下列条件中能判定是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的判定定理逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； B、由无法得到，故此选项不符合题意； C、∵ ∴（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意； D、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 7. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据非零数的零次幂的运算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，解得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查整式乘除法非零数的零次幂有意义的条件，不等式的解法等知识，掌握非零数的零次幂有意义的条件是解题的关键． 8. 如图，小李计划把河中的水引到水池C进行蓄水，结果发现沿线段挖渠，即，能使水渠最短，其中蕴含的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 经过一点有无数条直线 C. 过两点有且仅有一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：把河中的水引到水池C进行蓄水，结果发现沿线段挖渠，能使水渠最短，其中蕴含的数学原理是垂线段最短，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短，是解题的关键． 9. 下列关系式中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义，自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，即可得出答案． 【详解】解：自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数， B、C、D选项均满足取一个的值，有唯一确定的值和它对应，是的函数， 而A选项中，对一个的值，与之对应的可能有两个的值，故不是的函数， 故选：A． 【点睛】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数． 10. 已知，则（ ） A. a=b B. a>b C. a<b D. a≤b 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式把b进行变形，然后再进行比较即可. 【详解】b=2017×2019=（2018-1）×（2018+1）=-1， ∴a>b, 故选B. 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，利用平方差公式求出b=-1是解题的关键. 11. 若，，则的值为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，将两式作差运算后即可求得答案． 【详解】解：∵， ， 即， 则， 那么， 故选：A． 12. 如图①，在长方形中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象得：当时，点P到达点C；当时，点P到达点D，然后求出和的长即可． 【详解】解：由函数图象得：当时，点P到达点C；当时，点P到达点D； ∴，， ∴长方形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽是解决本题的关键． 二、填空题 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，分式的分母不能为．该函数由分式组成，故分母不等于，即可求出的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 故答案为：． 15. 如图是一探照灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的1两束光线经灯碗反射以后平行射出．若，则的度数为_______ 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理． 过点O作，得到，根据，推出，得到，即可求出． 【详解】解：如图，过点O作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 请你根据图写出一个乘法公式：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．根据图形分别求出面积即可． 【详解】解：， 故答案为：； 17. 计算： （1）； （2）．（用乘法公式计算） 【答案】（1）6 （2）400 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）根据零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，整式的化简求值，根据整式的混合运算法则化简，再代入计算即可作答． 【详解】 ， 当时，原式． 19. 已知：如图：，试说明：（请按图填空，并补充理由） 证明：（已知） ，（_________________） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ______（________________） ______________（内错角相等，两直线平行） 【答案】内错角相等，两直线平行；；等量代换；；； 【解析】 【分析】本题主要考查平行的判定和性质，熟练掌握平行的判定和性质是解题的关键．根据平行的性质和判定进行补充即可． 【详解】证明：（已知）， ，（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， ． 20. 如图，已知，用直尺和圆规在射线的右侧作，使得．（不写作法，只需保留作图痕迹） 【答案】 画图如下： ． 【解析】 【分析】本题考查画一个角等于已知角．根据题意利用画已知角的方法即可作出图形． 【详解】解：以点为圆心，任意长为半径作弧，交于两点， 再以点为圆心，同样的长为半径作弧，交于，再以点为圆心长为半径作弧，两弧相交点即为，连接，即 21. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量问有如表关系（其中）： 0 1 2 3 4 5 … 10 11 12 … （1）直接写出y与x之间的关系式， （2）当所挂物体质量为时，弹簧的长度为多少厘米？ （3）当弹簧的长度为时，所挂物体的重量是多少千克？ 【答案】（1） （2）15厘米 （3）16千克 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，可以得到y与x之间的关系式； （2）把代入直接计算即可； （3）把代入直接计算即可． 【小问1详解】 由表格可得，y与x之间的关系式为； 【小问2详解】 当时，， ∴当所挂物体质量为时，弹簧的长度为15厘米； 【小问3详解】 当时，，解得，， ∴当弹簧的长度为时，所挂物体的重量是16千克． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 22. 如图，点D在三角形的边上，交于点F，若，试说明． 【答案】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”可知，再结合，易得，由“内错角相等，两直线平行”可推导，然后根据“两直线平行，内错角相等”即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 23. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （2）求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （3）当时，求绿化部分的面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 （3）平方米． 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则． （1）利用长方形面积公式直接计算即可； （2）利用长方形面积公式直接计算即可； （3）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解． 【小问1详解】 ∵平方米， ∴长方形地块的面积为平方米； 【小问2详解】 ∵平方米， ∴修建雕像的小长方形地块的面积为平方米； 【小问3详解】 ∵绿化部分的面积为平方米； ∴当时， （平方米）， ∴绿化部分的面积为平方米． 24. 如图，已知，，求证：． 【答案】 证明：， 【解析】 【分析】先根据∠1=∠3得出AE∥DB，再由∠2=∠E可知∠4=∠2,故BE∥CD 【详解】略 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 25. 已知．求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题关键．根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ，． 26. 欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错为，得到的结果为；乐乐抄错为，得到的结果为． 式子中的a、b的值各是多少？ 请计算出原题的正确答案． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为，可知，于是；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为，可知常数项是，可知，可得到，解关于的方程组即可求出a、b的值； 把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为， 那么， 可得 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为， 可知 即， 可得， 解关于的方程组，可得，； 正确的式子： 【点睛】本题主要是考查多项式的乘法，正确利用法则是正确解决问题的关键． 27. 为了体验大学校园文化，小华周末骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要帮在交大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过的书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）小华家里西安交大的距离是多少？书店离家多远？ （2）小华在书店停留了多长时间？ （3）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？其中小华买到书后从书店前往西安交大的速度为多少？ 【答案】（1）小华家离西安交大的距离是4800米；书店离家3000米； （2）小华在书店停留了8分钟； （3）小华一共行驶了6800米，小华买到书后从书店前往西安交大的速度为450米/分钟． 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的读图能力. （1）根据函数图象作答即可； （2）由函数图象可知，16～24分钟的路程没变，所以小华在新华书店停留了了8分钟； （3）根据函数图象，可知本次去西安交大途中，小华一共行驶的路程．另外根据书店到西安交大的距离与小华所用的时间可求出小华买到书后从书店前往西安交大的速度． 【小问1详解】 解：根据图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米；书店离家3000米； 【小问2详解】 解：（分钟）． 答：小华在书店停留了8分钟； 【小问3详解】 解：根据函数图象，小华一共行驶了（米）． 根据函数图象，小华买到书后从书店前往西安交大的速度为（米/分钟）． 答：小华一共行驶了6800米，小华买到书后从书店前往西安交大的速度为450米/分钟． 28. 探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点P不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点P作，……． （1）填空：过点P作． ∴， ∵，， ∴ ( )， ∴， ∴， 即． （2）在图2中，猜测与之间的数量关系，并完成证明． （3）善思小组提出： ①如图3，已知，则角之间的数量关系为 　　　　　　．(直接填空) ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为 　　　　　　．(直接填空) 【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行 （2） ； 证明：过点P作，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）发现由平行线的性质得出，由，，推出，得出，推出，即可得出结论； （2）过点P作，由平行线的性质得出，由，，推出，得出，则； （3）①过点M作，由平行线的性质得出，由，推出，得出，即可得出结果； ②过点P作，过点F作，由平行线的性质得出，，由角平分线的性质得出，即，由，，推出，得出，，由角平分线的性质得出，即，推出，，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 )①；理由如下： 过点M作，如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②； 证明：过点P作，过点F作，如图4所示： ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线有关的计算，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．注意此类问题(拐点问题)过拐点作平行线是解决此类问题的技巧． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $