精品解析：四川省成都市温江中学实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年四川省成都市温江中学实验学校九年级（上） 期中数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 2. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 3. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形若，且四边形的面积是，则四边形的面积是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝9：49，则DE：DC＝（　　） A. 2：5 B. 2：3 C. 3：7 D. 3：4 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段________． 10. 方程的解是__________． 11. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为__________． 12. 学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为___________． 13. 如图中，，高，正方形如图所示，则正方形边长_________． 三、解答题（共48分） 14. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 15. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 16. 某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题． （1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 人，在扇形统计图中，m的值为 ；并补全条形统计图； （2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有 人？ （3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率． 17. 如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， （1）求的长； （2）求点E到地面的高度． 18. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知是方程的两个根，则____． 20. C为线段的黄金分割点，长度为，则的长度________．（结果保留根号） 21. 如图，在中，，，则________． 22. 现有6张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有解的概率为______． 23. 如图，在矩形中，，．点E是上的动点，点F是线段上的点，且，，相交于点P，则的最大值为_______，最小值为_______． 二、解答题（共30分） 24. 商场某种商品平均每天可销售80件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加　 　件，每件商品盈利　 　元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到4950元？ 25. 阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数、满足、，求的值. （2）已知实数、、满足、，且，求的最大值. 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求直线的函数解析式； （2）在直线上是否存在一点P，使得与相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）现定义：平面内一点到三角形三边所在的直线距离之和等于该三角形周长的一半时，这个点称为此三角形的和谐点．在直线上是否存在的和谐点，若存在请求出和谐点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市温江中学实验学校九年级（上） 期中数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、中，当时不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：D ． 3. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得y＝x，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴y＝x， ∴＝＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、比例的性质等知识点，将y用x表示成为解答本题的关键． 4. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根． 故选C． 5. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故选：B． 6. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先将化为，化为，再将代入，求出算式的值即可得出答案． 【详解】解： 故选D． 【点睛】本题考查了代数式求值问题，求代数式的值可以直接代入、计算，如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 7. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形若，且四边形的面积是，则四边形的面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 以点为位似中心，作四边形的位似图形， ． 又四边形的面积是， 四边形面积为9． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出面积比等于位似比的平方是解题关键． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝9：49，则DE：DC＝（　　） A. 2：5 B. 2：3 C. 3：7 D. 3：4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出，再根据即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 的值，由即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例，则可以列出比例式，代入数值求解即可得到答案； 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：2． 10. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解． 【详解】解： 或 故答案为： ． 11. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则总面积为9，其中阴影部分面积为5， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 12. 学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为___________． 【答案】x（16-2x）=30 【解析】 【分析】先根据篱笆的总长求出生物园的长，再根据长方形的面积公式即可得． 【详解】由题意得：生物园的长为 则由长方形的面积公式得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确求出生物园的长是解题关键． 13. 如图中，，高，正方形如图所示，则正方形边长_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题关键．设正方形的边长为，然后表示出的长度，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，计算即可得解． 【详解】解：如下图，设与交于点，设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵为的高，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即 解得， ∴正方形边长． 故答案为：． 三、解答题（共48分） 14. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【解析】 【分析】（1）先把方程变成的形式，从而把问题转化为求的平方根，直接开方即可求解； （2）利用提公因式法求解即可； （3）利用因式分解求解即可； （4）利用公式法求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，； （2）∵ ∴ ∴，； （3）∵ ∴ ∴，； （4）∵ ∴ ∴ ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟悉相关解法是解题的关键． 15. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设． （1）代入计算即可； （2）构建方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：设， 则， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， 16. 某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题． （1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 人，在扇形统计图中，m的值为 ；并补全条形统计图； （2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有 人？ （3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率． 【答案】（1）40、30， 补全图形如下： （2）800； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图、用样本估计整体等知识点，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． （1）用总人数乘以A对应的百分比即可求出“演讲比赛”的人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C方案人数，再用C方案人数除以总人数即可得出m的值； （2）总人数乘以样本中B方案人数所占比例即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为（人）， 则C方案人数为（人）， ，即． 故答案为：40、30． 【小问2详解】 解：估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约（人）． 故答案为：800． 【小问3详解】 解：根据题意列表如下： a b c d a (b，a) (c，a) (d，a) b (a，b) (c，b) (d，b) c (a，c) (b，c) (d，c) d (a，d) (b，d) (c，d) 由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果， 所以a同学参加的概率为． 17. 如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， （1）求的长； （2）求点E到地面的高度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出，代入数据求出的长即可； （2）由题意知，得出，由相似三角形的性质得出，代入数值求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 即的长为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即点E到地面的高度为． 18. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 【答案】 （1）设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）（3） 【解析】 【分析】（1）设与的交点为G，利用证明，得； （2）利用两个角相等证明，得； （3）过点C作交的延长线于点H，可得四边形为矩形，再证明，得，利用已知条件即可求出的长，然后利用勾股定理求出的长，进而即可得解． 【详解】（1）略 （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知是方程的两个根，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据是一元二次方程根与系数的关系，得出，再整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 20. C为线段的黄金分割点，长度为，则的长度________．（结果保留根号） 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义，熟记黄金分割的定义以及分类讨论思想是解题关键． 分和两种情况，分别根据黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，， ∴当时，； 当时，， ∴． 故答案为：或． 21. 如图，在中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查平行线分线段成比例定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 过点D作交于点G，利用平行线分线段成比例定理求出，，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点D作交于点G． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 22. 现有6张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有解的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，再根据分式方程有解，求出a的取值范围，综合两个结果即可得出答案． 【详解】一元二次方程有实数根， ∴. ∴， ∴，1，2， 关于的分式方程的解为：， 且且， 解得：且， ∴， ∴使得关于的一元二次方程， 有实数根，且关于的分式方程有解的概率为：. 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程有实数根、分式方程有解和概率的计算公式，掌握一元二次方程有实数根和分式方程有解是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，．点E是上的动点，点F是线段上的点，且，，相交于点P，则的最大值为_______，最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，可得，，由矩形性质可得，推出，求得，由勾股定理可得 ，推出 ，令，则，得出，即可求得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， ，即， ∴， 在中，， ∴， 令，则， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴当时，即时，取得最大值， 最大值为：； 当时，即时，取得最小值， 最小值为：； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等，熟练运用相似三角形性质和二次函数的性质是解题关键． 二、解答题（共30分） 24. 商场某种商品平均每天可销售80件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加　 　件，每件商品盈利　 　元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到4950元？ 【答案】（1）（2x）；（60﹣x）；（2）每件商品降价15元时，商场日盈利可达到4950元． 【解析】 【分析】（1）由题意得：降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利-降低的钱数； （2）根据：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=盈利的等量关系，把列方程解答即可. 【详解】（1）由题意，可得商场日销售量增加（2x）件，每件商品盈利（60﹣x）元． 故答案为（2x）；（60﹣x）； （2）由题意得：（60﹣x）（80+2x）＝4950 化简得：x2﹣20x+75＝0， 解得x1＝5，x2＝15． ∵该商场为了尽快减少库存， ∴x＝5舍去， ∴x＝15． 答：每件商品降价15元时，商场日盈利可达到4950元． 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，确定等量关系并正确列式是解答本题的关键. 25. 阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数、满足、，求的值. （2）已知实数、、满足、，且，求的最大值. 【答案】（1） 或 2； （2）1； 【解析】 【分析】（1）当 时，、 是方程 的两根，利用根与系数的关系可求得 和 的值， 然后利用整体代入的方法计算原式的值；当 时，易得原式 ； （2）将 、 看作是方程 的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得 ，从而得到 的最大值； 【小问1详解】 解：当 时， ∵实数 、 满足 ，， ∴、 可看作方程 的两根， 原式， 当 ， 则原式 ； 综上所述，原式的值为 或 2 ； 【小问2详解】 ∵， ∴将 、 看作是方程得两实数根； 而 即 c的最大值为1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求直线的函数解析式； （2）在直线上是否存在一点P，使得与相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）现定义：平面内一点到三角形三边所在的直线距离之和等于该三角形周长的一半时，这个点称为此三角形的和谐点．在直线上是否存在的和谐点，若存在请求出和谐点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点P坐标为或或或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与相似综合运用求点坐标问题、新定义求点坐标问题． （1）要求直线解析式，只需要求出点C坐标； （2）分类讨论相似，由相似对应边成比例求出边长，进一步求出点P坐标； （3）先借助“和谐点”概念求出点到直线距离，再进一步求点坐标． 【小问1详解】 当时，，当时，， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 存在，点P坐标为或或或； ∵点P在直线上， ∴设， ∴， 由折叠得 ∴①若，则， 即， 解得， ∴， 解得 或 ， ∴点P的坐标为或； ②若， 同理可得或；， 综上所述，点P坐标为或或或； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴“和谐点”到三边所在直线距离之和为12， ∵， 设直线的解析式为，则有， ， 解得，， ∴直线解析式为， ∵“和谐点”在直线上 ∴设“和谐点”坐标为， 则 过点Q作交于点M， 由折叠得， ∴， ∴， 即，解得 ∴“和谐点”到三边所在直线距离之和为， ①若，则，解得， 此时， ②若， 则，无解，舍去， ③若， 则，解得， 此时， 综上所述，“和谐点”坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $