精品解析：四川省成都市金牛区四川天府新区十一学校2023-2024学年八年级下学期期中综合素养评价数学试题

2023-2024学年度（下）期 初二数学综合素养自主评价（I） 注意事项： 1．全卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，时间120分钟． 2．在作答前，学生务必将自己的姓名等信息写在试卷和答题卡规定的地方． 3．必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，选择题部分用2B铅笔填涂． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得污染、破损等． A卷 （共100分） 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列数学符号中是中心对称图形的（ ） A. B. C. D. 2. 若分式无意义，则x等于( ) A. ﹣ B. 0 C. D. 3. 若a＞b，则下列各式不成立的是( ) A. a﹣1＞b﹣2 B. 5a＞5b C. ﹣a＞﹣b D. a﹣b＞0 4. 若因式分解，则a的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. AB∥CD,AB＝CD B. AB＝BC,AD＝CD C. AC＝BD,AB＝CD D. AB∥CD,AD＝CB 6. 如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E是中点，且，则平行四边形的周长为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 7. 数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 方程的解是 C. 当时， D. 不等式的解集是 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 因式分解：_____． 10. 若，则分式的值为 ________． 11. 已知在一次函数中，y值随x值的增大而减少，则常数k的取值范围是 ____________________． 12. 如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝____度． 13. 如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，连接，交于点D，连接，若，则的长度为______． 三、解答题（共48分） 14. 计算： （1）解不等式组 （2）先化简，再从、0、2中选一个合适的x的值代入求值． 15. △ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示． （1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1， （2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2， （3）在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果） 16. 如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 17. 近年来，辽宁省以建设“口袋公园”为重点，有效利用城市的边边角角，为市民打造更多的绿地空间和休闲去处，某市政府准备购买甲、乙两种观花树苗，用来美化“口袋公园”，在购买时发现，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了，用1800元购买甲种树苗的棵数比用1800元购买乙种树苗的棵数少10棵． （1）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元． （2）现需要购买甲、乙两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过元，至少需要购买多少棵乙种树苗？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点．过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求直线的解析式； （2）在直线上找一点，使得，求出点的坐标； （3）若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 已知，则的值为______． 20. 若关于的分式方程无解，则_________． 21. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“十一优数”．例如： ，，143就是一个十一优数．若将十一优数从小到大排列，则第3个十一优数是_________；第251个十一优数是 ___________． 22. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，延长交于点F．若，且，则的长是 _______． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___． 二、解答题（30分） 24. 近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元． （1）A，B两种花的单价各为多少元？ （2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？ 25. 【阅读理解】 在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点． （1）请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标； （2）点Q为直线上一动点． ①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标； ②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值． 26. 综合与实践； 【问题情境】为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，． 【探究实践】 老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”，请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度（下）期 初二数学综合素养自主评价（I） 注意事项： 1．全卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，时间120分钟． 2．在作答前，学生务必将自己的姓名等信息写在试卷和答题卡规定的地方． 3．必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，选择题部分用2B铅笔填涂． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得污染、破损等． A卷 （共100分） 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列数学符号中是中心对称图形的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D中的数学符号都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的数学符号能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 2. 若分式无意义，则x等于( ) A. ﹣ B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式无意义则分母为零进而得出答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴2x−3＝0， 解得：x＝． 故选D． 【点睛】此题主要考查了分式无意义的条件，正确把握定义是解题关键． 3. 若a＞b，则下列各式不成立的是( ) A. a﹣1＞b﹣2 B. 5a＞5b C. ﹣a＞﹣b D. a﹣b＞0 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【详解】解：A、a−1＞a−2＞b−2，故A成立，故A不符合题意； B、5a＞5b，故B成立，故B不符合题意； C、两边都乘，不等号的方向改变，﹣a﹣b, 故C不成立，故C符合题意， D、两边都减b，a﹣b＞0,故D成立，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键． 4. 若因式分解，则a的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义可直接进行求解． 【详解】解：由可得：， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解是解题的关键． 5. 能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. AB∥CD,AB＝CD B. AB＝BC,AD＝CD C. AC＝BD,AB＝CD D. AB∥CD,AD＝CB 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，结合举反例即可判断． 【详解】解：A.∵AB//CD，AB＝CD， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故A能判定四边形ABCD是平行四边形； B.如图1，筝形ABCD中，满足AB＝BC，AD＝CD，但四边形ABCD不是平行四边形； C.如图2，等腰梯形ABCD中，满足AC＝BD，AB＝CD，但四边形ABCD不是平行四边形； D.如图3，等腰梯形ABCD中，满足AB∥CD，AD＝CB，但四边形ABCD不是平行四边形； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 6. 如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E是中点，且，则平行四边形的周长为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明，再由，推出即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点 ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形ABCD的周长， 故选：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理． 7. 数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系． 设第一次分钱的人数为x人，根据两次分钱的钱数相等列出方程即可． 【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得， ， 故选：C． 8. 在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 方程的解是 C. 当时， D. 不等式的解集是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象与轴，轴的交点为，， 当时，，故错误，不符合题意； 方程的解是，故正确，符合题意； 当时，，故错误，不符合题意； 不等式的解集是，故错误，不符合题意； 故选：． 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 10. 若，则分式的值为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得，代入解答即可． 本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 已知在一次函数中，y值随x值的增大而减少，则常数k的取值范围是 ____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数的增减性，求参数，由一次函数中，y值随x值的增大而减少，列出不等式，即可求得． 【详解】解：∵一次函数中，y值随x值的增大而减少， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝____度． 【答案】36 【解析】 【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD＝CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可． 【详解】解：∵正五边形的外角为360°÷5＝72°， ∴∠C＝180°﹣72°＝108°， ∵CD＝CB， ∴∠CDB＝36°， ∵AF∥CD， ∴∠DFA＝∠CDB＝36°， 故答案为36． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角． 13. 如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，连接，交于点D，连接，若，则的长度为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的定义和含角的直角三角形性质，根据题意知为的中垂线，得到，结合题干给定的角度可求得，进而求得，即可求得答案． 【详解】解：由题意得为的中垂线，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 则， 故答案为：20． 三、解答题（共48分） 14. 计算： （1）解不等式组 （2）先化简，再从、0、2中选一个合适的x的值代入求值． 【答案】（1） （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分式的混合运算，分式有意义的条件，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）首先根据分式的混合运算法则化简，然后由分式有意义的条件得到，，，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 15. △ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示． （1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1， （2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2， （3）在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】 （1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求； （3）如图所示：点P即为所求， （，0） 【解析】 【分析】（1）直接利用关于点对称图形的性质得出答案； （2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）结合待定系数法求一次函数解析式得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）作关于轴对称的点， 可得A（2，－1），， 设直线y＝kx＋b， 则， 解得：， 故直线A1C2的解析式为：y＝x－4； 当y＝0时，解得：x＝， 故P（，0）． 【点睛】本题主要考查了旋转变换以及平移变换、利用轴对称求最短路线，解题的关键是正确得出对应点位置． 16. 如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，从而可证，可得，再根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）由题意求得，根据平行四边形的性质可得，，从而求得，再利用勾股定理求得，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 17. 近年来，辽宁省以建设“口袋公园”为重点，有效利用城市的边边角角，为市民打造更多的绿地空间和休闲去处，某市政府准备购买甲、乙两种观花树苗，用来美化“口袋公园”，在购买时发现，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了，用1800元购买甲种树苗的棵数比用1800元购买乙种树苗的棵数少10棵． （1）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元． （2）现需要购买甲、乙两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过元，至少需要购买多少棵乙种树苗？ 【答案】（1）甲树苗的单价是元，乙树苗的单价是元 （2）至少需要购买棵乙树苗 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙树苗的单价是元，则甲树苗的单价是元，由题意：用元购买甲树苗的棵数比用元购买乙树苗的棵数少棵．列出分式方程，解方程即可； （2）设需要购买棵乙树苗，则购买棵甲树苗，由题意：购买的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 设乙树苗的单价是元，则甲树苗的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲树苗的单价是元，乙树苗的单价是元； 【小问2详解】 设需要购买棵乙树苗，则购买棵甲树苗， 由题意得： ， 解得：， 答：至少需要购买棵乙树苗． 18. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点．过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求直线的解析式； （2）在直线上找一点，使得，求出点的坐标； （3）若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x+9 （2）（-27，-18）或（9，18） （3）存在，（-9，-9）,（-9，9）或（9，27） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点M为线段OB的中点可得出点M的坐标，根据点A，M的坐标，利用得定系数法即可求出直线AM的函数解析式； （2）设点P的坐标为（x，x+9），利用三角形的面积公式结合，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出点P的坐标； （3）设点H的坐标为（m，n），分别以△ABM的三边为对角线，利用平行四边形的性质（对角线互相平分），即可得出关于m，n的方程组，解之即可得出点H的坐标． 【小问1详解】 解：当x=0时，y=2x+18=18， ∴点B的坐标为（0，18）； 当y=0时，2x+18=0，解得：x=-9， ∴点A的坐标为（-9，0） ∵点M为线段OB的中点， ∴点M的坐标为（0，9）. 设直线AM的函数解析式为y=kx+b（k0）， 将A（-9，0），M（0，9）代入y=kx+b，得： 解得： ∴直线AM的函数解析式为y=x+9; 【小问2详解】 设点P的坐标为（x，x+9）， ∵， ∴， 即，解得：x1=-27，x2=9， ∴点P的坐标为（-27，-18）或（9，18） 【小问3详解】 设点H的坐标为（m，n）, 分三种情况考虑（如图所示）： ①当AM为对角线时，, 解得：, ∴点H1的坐标为（-9，-9）； ②当AB为对角线时， 解得： ∴点H2的坐标为（-9，9）； ③当BM为对角线时， 解得： ∴点H3的坐标为（9，27）． 综上所述：在坐标平面内存在点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为（-9，-9），（-9，9）或（（9，27）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、解含绝对值符号的一元一次方程以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用平行四边形的性质，求出点H的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 已知，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】将先因式分解，后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：9． 【点睛】本题考查因式分解的应用、求代数式的值，用整体代入求解是解题的关键． 20. 若关于的分式方程无解，则_________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 21. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“十一优数”．例如： ，，143就是一个十一优数．若将十一优数从小到大排列，则第3个十一优数是_________；第251个十一优数是 ___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索、平方差公式，理解“十一优数”的定义，正确归纳类推出一般规律是解题关键．设满足“十一优数”的定义的两个正整数分别为和，则“十一优数”可表示为，再分别求出、和时的“十一优数”，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：设满足“十一优数”的定义的两个正整数分别为和， 则“十一优数”可表示为， ∵为正整数， 当时，第1个“十一优数”为； 当时，第2个“十一优数”为； 当时，第3个“十一优数”为； 归纳类推得：第个“十一优数”可表示为（为正整数）． 当时，，即第150个“十一优数”为． 故答案为：，． 22. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，延长交于点F．若，且，则的长是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键：根据旋转，得到，进而推出，，，作于点，作交的延长线于点，得到均为等腰直角三角形，进而得到，证明，得到，勾股定理得到，再根据线段的和差进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴，，， 作于点，作交的延长线于点， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴； 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，利用SAS证得△BOC△BMD，再证明M、D、A三点共线，推出四边形AMBO是正方形，当且仅当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，连接DM，AD， ∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴令，则；令，则； ∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)， ∴OA=OB=BM=2， ∵BM⊥轴， ∴∠OBM=90°， ∴点M的坐标为(2，2)， ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BC=BD，∠CBD=90°， ∴∠CBD=∠OBM=90°， ∴∠CBD-∠OBD=∠OBM-∠OBD， ∴∠CBO=∠DBM， 在△BOC和△BMD， ， ∴△BOC△BMD(SAS)， ∴∠BOC=∠BMD=90°， ∴BM⊥DM， ∴DM∥OB， ∵M、D、A三点的横坐标相同，都为2， ∴M、D、A三点共线， ∴四边形AMBO是正方形， ∴∠BAM=45°， ∵AB=， 点P是线段AB的三等分点（AP＞BP）， ∴AP=AB=， 当且当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值， 此时，△PAD为等腰直角三角形， ∴PD=AP=， ∴线段DP长度最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点问题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，证得四边形AMBO是正方形，以及当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值是解题的关键． 二、解答题（30分） 24. 近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元． （1）A，B两种花的单价各为多少元？ （2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？ 【答案】（1）A种花的单价为4元，B种花的单价为5元； （2）当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元． 【解析】 【分析】（1）设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式；根据自变量的范围结合一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元， 依题意得， 解得：， 答：A种花的单价为4元，B种花的单价为5元； 【小问2详解】 解：由题意可得，， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， 此时，， 即当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函数关系式是解题的关键． 25. 【阅读理解】 在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点． （1）请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标； （2）点Q为直线上一动点． ①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标； ②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）①；②的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据新定义的含义结合网格特点逐步画图即可，再根据点的位置可得其坐标； （2）①如图，设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，则，延长与交于点，则，，而，，，，结合新定义可得；，从而可得答案；②证明，即在直线上运动，如图，连接，，作关于直线的对称点，则，由分别为的中点，则，当三点共线时，，此时最小；记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，都是等腰直角三角形，而，则，再利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图，∵点Q为直线上一动点． 设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点， 则，延长与交于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴， 结合新定义可得；，而， ∴的中点坐标为：， ∴直线经过定点； ②∵， ∴， ∴，即在直线上运动， 如图，连接，，作关于直线的对称点，则， 由分别为的中点，则， ∴当三点共线时，，此时最小； 记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接， ∴都是等腰直角三角形，而， ∴， ∴． 即的最小值为． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 26. 综合与实践； 【问题情境】为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，． 【探究实践】 老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”，请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长． 【答案】 （1）结论正确； 理由如下： 由折叠得：， ， 折痕与夹角为， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）结论正确； 理由如下： 如图，连接， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， N是的中点； （3）6 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质及已知条件得，由平行四边形的定义即可求证； （2）连接，由折叠的性质得，，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得，由对顶角性质及等腰三角形的性质得，由余角的性质可得，从而可得，即可求证； （3）由两角对应相等的三角形相似可得，由相似三角形的性质得，设，则有，，由勾股定理得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ， 由（2）得：， ， ， 设，则有， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故的长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质，能结合折叠的性质将已知条件转化到直角三角形中，用勾股定理求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $