精品解析： 广西壮族自治区钦州市灵山县青云中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试题

2024年秋季学期期中考试试题 八年级数学 （考试时间：120分钟：满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点A（－1，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是( ) A. （－1，－3） B. （－1，3） C. （1，3） D. （1，－3） 3. 如图，某学校大门口的伸缩门，这种设计利用的是（　　） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 长方形的四个角都是直角 4. 一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 5. 如图，在中，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 正多边形的每个内角为，则它的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 5 9. 如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等腰三角形的其中两边长分别为，，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且，若的长度为，则此时两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 如图，已知，，，则的长为___________． 14. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是．此时对应的虚像的坐标是，则______． 15. 如图，点，，，在一条直线上，，，只需添加一个条件______，即可证明． 16. “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素，如图是窗棂中的部分图案．若，则的度数是______． 17. 某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，则此时轮船与小岛P的距离_____海里． 18. 如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数． 20. 如图，点D、B、C在同一直线上，，，，求和的度数． 21. 如图，点在一条直线上，，求证：． 22. 如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画，使它与关于直线成轴对称；并求出面积； （2）在直线上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； （3）在直线上找一点Q，使点Q到边的距离相等． 23. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 24. 如图，在四边形中，已知．求证： （1）； （2）． 25. 综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，． (1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线； (2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 26. 等腰，，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，求B点的坐标； （3）如图3，点，Q、A两点均在x轴上，且．分别以、为腰，第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期期中考试试题 八年级数学 （考试时间：120分钟：满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 在平面直角坐标系中，点A（－1，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是( ) A. （－1，－3） B. （－1，3） C. （1，3） D. （1，－3） 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用关于轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案． 【详解】解：点的坐标是，点与点关于轴对称， 点的坐标是：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的性质，解题的关键是正确把握横纵坐标的关系． 3. 如图，某学校大门口的伸缩门，这种设计利用的是（　　） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 长方形的四个角都是直角 【答案】B 【解析】 【分析】利用四边形的不稳定性特点进行解答即可． 【详解】解：学校大门口的电动伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性． 故选：B． 【点睛】此题考查的是四边形的特点，掌握四边形具有不稳定性这一特点是解决此题关键． 4. 一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和8， 设第三边长c为奇数 ∴，即， ∴． 故选：C． 5. 如图，在中，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边对等角，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线，且的面积为， ∴， 又∵是的的中线， ∴ 故选：A． 7. 如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 8. 正多边形的每个内角为，则它的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解． 【详解】解：∵正多边形的每个内角等于108°， ∴每一个外角的度数为180°-108°=72°， ∴边数=360°÷72°=5， 故选D． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便． 9. 如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵直线为线段的垂直平分线， ∴ 故选：B 10. 已知等腰三角形的其中两边长分别为，，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，分类解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长为，一边的长为， ∴等腰三角形的三边长为4，4，9或4，9，9， 当三边为4，4，9时，，三角形不存在，无法计算周长； 当三边为4，9，9时，，三角形存在， 故周长为； 故选：D． 11. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且，若的长度为，则此时两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据等边三角形的性质可得到结论． 本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 12. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴ 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 如图，已知，，，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键． 14. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是．此时对应的虚像的坐标是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识点，掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相等成为解题的关键． 根据点S和关于y轴对称得出、，然后代入进行计算即可． 【详解】解：∵点S和关于y轴对称， ，， ∴、， ． 故答案为：． 15. 如图，点，，，在一条直线上，，，只需添加一个条件______，即可证明． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察题干条件，已知，，若添加一个条件，则通过证明，即可作答． 【详解】解：添加一个条件， ∵ ∴ 即 ∵， 则 故答案为：（答案不唯一） 16. “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素，如图是窗棂中的部分图案．若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形外角和，熟练掌握多边形外角和等于是解题的关键． 根据多边形外角和等于求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 17. 某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，则此时轮船与小岛P的距离_____海里． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等角对等边，三角形外角的性质定理，解决本题的关键是找出相等的角． 利用直角三角形求出相关角的度数，然后利用三角形的外角求出，得出，利用等角对等边即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， 由图可得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 18. 如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，结合图形，灵活运用所学知识求解，是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【详解】平分，平分， ， 又， 由， 得 ， ， 同理可求，，， 以此类推，可得，， 当时，，又， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数． 【答案】这个多边形的边数为9；内角和度数为1260°． 【解析】 【分析】设多边形边数有n条，由题意可得方程180（n-2）=3×360+180，解出n的值，再根据内角和公式计算出内角和即可． 【详解】解：设多边形边数有n条，由题意得： 180（n-2）=3×360+180， 解得：n=9， 内角和度数：180°×（9-2）=1260°． 答：这个多边形的边数为9；内角和度数为1260°． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形的外角和等于360度；多边形内角和180°（n-2）． 20. 如图，点D、B、C在同一直线上，，，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质；根据三角形内角和定理求出的度数，由补角性质可求出的度数，由三角形的外角性质即可求出的度数．熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据证明，得出，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画，使它与关于直线成轴对称；并求出面积； （2）在直线上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； （3）在直线上找一点Q，使点Q到边的距离相等． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、两点之间线段最短、角平分线的知识． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，顺次连接即可，再利用割补法求得； （2）连接交直线l于点P，点P即为所求； （3）连接，则是的角平分线，与直线l的交点Q即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作． ； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求作． 理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和的交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短； 【小问3详解】 解：如图，点Q即为所求作． 连接， 根据题意得：， ∴点Q是直线l和的交点时，点Q到边的距离相等． 23. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法，进行作图即可； （2）连接，易得，根据等边对等角，推出，，进而得到，利用含度角的直角三角形的性质，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查尺规作垂线，中垂线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 24. 如图，在四边形中，已知．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）运用直接证明即可； （2）由得，则，再证四边形是平行四边形，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：在与中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 25. 综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，． (1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线； (2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 【答案】 （1）证明：在和中， ， ， ， 是的平分线； （2）解：实践小组的判断对，理由如下： 是等腰三角形，， 由（1）知：平分， ， 是铅锤线， 是水平的． 门框是水平的． 实践小组的判断对． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）证明，得，即可解决问题； （2）根据等腰三角形的三线合一可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 26. 等腰，，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，求B点的坐标； （3）如图3，点，Q、A两点均在x轴上，且．分别以、为腰，第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3）不变，9 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等得出结论即可； （2）先过点作轴于，再判定，求得，，进而得出，即可得到点的坐标； （3）先过作，交轴于，再，得出，，然后判定，得出，即可求得（定值）． 【小问1详解】 解：如图1，，， ， ； 【小问2详解】 如图2，过点作轴于，则， 在和中， ， ， ，， ， 又点在第三象限， ； 【小问3详解】 的长度不会发生改变． 理由：如图3，过作，交轴于，则， 等腰、等腰， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， （定值）， 即的长度始终是9． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $