精品解析：黑龙江省绥化市海伦市第三中学 2023—2024学年上学期期中测试 九年级 数学试卷

海伦市第九中学 2023-2024学年度第一学期期中测试 九年级数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 3．请把答案写在答题卡上． 一、填空题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 直角三角形 2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 3. 某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是81元，设平均每次降价的百率为x，可列方程为（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是由绕点旋转得到的．若，，，则的度数为（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 10° 6. 如图，为的直径，弦于，已知，，则的直径为（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 20 7. 关于二次函数y=-(x+2)2-1，下列说法错误的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象顶点坐标是(-2，-1) C. 当x＞0时，y随x增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 8. 如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线ACCB方向运动到点B.设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与坐标轴交于，两点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连结，则线段的最小值是（　　） A. B. C. 2 D. 二、选择题（每小题3分，满30分） 11. 若是方程的一个根，则的值为_________． 12. 函数是二次函数，则m＝_____． 13. 一个扇形的半径为5，圆心角是，该扇形的弧长是________． 14. 如图，两条直线m、n被直线所截，已知．求证：m与n不平行．用反证法证明时，假设为________________________． 15. 点绕着原点逆时针方向旋转与点重合，则的坐标为__________． 16. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________． 17. 用一个圆心角为、半径为2的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ___________________． 18. 如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一块矩形的花圃，使花圃四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽．设花圃四周绿地的宽为xm，可列方程为_____(不需要化简)． 19. 已知半径为的中，弦，则弦所对的圆周角______． 20. 如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是___________． 三、解答题（满分60分） 21. 解下列方程： （1） （2） （3） 22. 已知：点是外一点． （1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 23. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中： （1）画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； （2）计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 24. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 25. 已知关于x的一元二次方程有实数根． 求m的取值范围； 当时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径． 26. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （3）若物价部门规定每箱售价不得高于55元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？ 27. 在中，，是边上的高线，将一块三角板的直角顶点放在点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线、于D、E两点．图1和图2是旋转三角板得到的图形中的两种情况． （1）求证：； （2）猜想线段与之间的数量关系，并结合图1证明你的结论； （3）在三角板绕点P旋转的整个过程中，当为等腰三角形时，求的长． 28. 已知，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，点P为x轴下方的抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，求四边形面积的最大值； （3）是否存在这样的点P，使得点P到和两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海伦市第九中学 2023-2024学年度第一学期期中测试 九年级数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 3．请把答案写在答题卡上． 一、填空题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，掌握是集中常见几何图形的特征是解决问题的关键． 2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的整式方程，根据定义即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不属于一元二次方程，故不符合题意； B、二次项系数如果为，则不属于一元二次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，不属于一元二次方程，故不符合题意； D、属于一元二次方程，故符合题意． 故答案为：D． 3. 某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是81元，设平均每次降价的百率为x，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该商品平均每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要找到等量关系：降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率）． 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变化，熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：． 故选：B． 5. 如图，是由绕点旋转得到的．若，，，则的度数为（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 10° 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】解： 是由绕点旋转得到的， 和为旋转角， 旋转角的度数为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角． 6. 如图，为的直径，弦于，已知，，则的直径为（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由垂径定理及勾股定理即可求得圆的半径，从而可得直径的长． 【详解】连接， ∵为的直径，弦于， ∴， ∴， ∴的直径， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，连接OC得到直角三角形是关键． 7. 关于二次函数y=-(x+2)2-1，下列说法错误的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象顶点坐标是(-2，-1) C. 当x＞0时，y随x增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的图像和性质直接判断即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数图像开口向下，故选项A说法正确，不符合题意； 由函数解析式可知顶点坐标是，故选项B说法正确，不符合题意； 由函数性质可知当时，y随x的增大而减小，故选项C的说法正确，不符合题意； ∵方程 无实数解， ∴图像与x轴无交点，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8. 如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解． 【详解】连接AC、GE、EC，如图所示： 则四边形ACEG为正方形， ∴∠EAG=45°， 故选C． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线ACCB方向运动到点B.设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB=，∠A=∠B=45°，分当0＜x≤3（点Q在AC上运动，点P在AB上运动）和当3≤x≤6时（点P与点B重合，点Q在CB上运动）两种情况求出y与x的函数关系式，再结合图象即可解答. 【详解】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB=，∠A=∠B=45°，当0＜x≤3时，点Q在AC上运动，点P在AB上运动（如图1）， 由题意可得AP=x，AQ=x，过点Q作QN⊥AB于点N，在等腰直角三角形AQN中，求得QN=x，所以y==（0＜x≤3），即当0＜x≤3时，y随x的变化关系是二次函数关系，且当x=3时，y=4.5；当3≤x≤6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动（如图2），由题意可得PQ=6-x，AP=3，过点Q作QN⊥BC于点N，在等腰直角三角形PQN中，求得QN=(6-x)，所以y==（3≤x≤6），即当3≤x≤6时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故选D. 【点睛】本题考查了动点函数图象，解决本题要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的函数解析式，由函数的解析式对应其图象，由此即可解答． 10. 如图，直线与坐标轴交于，两点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连结，则线段的最小值是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同圆的半径相等可知：点在半径为2的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图，直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，解得：，令，得， ，， ， 点为坐标平面内一点，， 在上，且半径为2， 取，连接， ，， 是的中位线， ， 当最小时，即最小，而，，三点共线时，当在线段上时，最小， ，， ， ． ． 即的最小值为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点的位置是关键，也是难点． 二、选择题（每小题3分，满30分） 11. 若是方程的一个根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解代数式的值，一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，再代入求值即可. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 12. 函数是二次函数，则m＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义可得m-4=2，再解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 13. 一个扇形的半径为5，圆心角是，该扇形的弧长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 14. 如图，两条直线m、n被直线所截，已知．求证：m与n不平行．用反证法证明时，假设为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反证法的解题要求，写出结论的否命题即可． 【详解】解：∵m与n不平行， ∴假设m与n不平行不成立即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握反证法的要领是解题的关键． 15. 点绕着原点逆时针方向旋转与点重合，则的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过点作于，过点作于，利用证明，得出，，即可得答案． 【详解】解：如下图，过点作于，过点作于， ∵， ∴，， ∵点绕着原点逆时针方向旋转与点重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为： 16. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴联立二次函数及一次函数解析式可得，即， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 17. 用一个圆心角为、半径为2的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为R， 由题意：， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的计算、扇形的弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是理解扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 18. 如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一块矩形的花圃，使花圃四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽．设花圃四周绿地的宽为xm，可列方程为_____(不需要化简)． 【答案】(8-2x)(6-2x)= ×8×6 【解析】 【分析】根据题意，即可得到矩形花圃的面积为矩形的一半，根据题意表示出矩形花圃的宽和长，根据矩形的面积列出等式即可． 【详解】解：矩形花圃的宽为6-2x，矩形花圃的长为8-2x， ∵绿地的面积与花圃面积相等， ∴（6-2x）（8-2x）=×8×6， 故答案为：（6-2x）（8-2x）=×8×6. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 已知半径为的中，弦，则弦所对的圆周角______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，在上取点，连接，，，，，， 由，得是等边三角形，则，根据圆周角定理得，再由圆内接四边形得性质得出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上取点，连接，，，，，， ∵半径为的中，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角或， 故答案为：或． 20. 如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．①由点在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在轴右侧以及与轴交于负半轴，可得出，进而可得出，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及，可得出，进而可得出，结论③正确；④由二次函数的图象经过点和，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，结论④正确．综上，此题得解． 【详解】解：①点在二次函数图象上， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴， ， ， ∴，结论②错误； ③ ∴， ∴，结论③正确； ④二次函数的图象经过点和， ∴， ∴，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（满分60分） 21. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方方法、因式分解法、求根公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方方法解方程即可． （2）利用因式分解法进行求解一元二次方程即可． （3）计算时，再利用求根公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， 或 解得：，． 【小问3详解】 解：在方程式中，，， ， ， 解得：，． 22. 已知：点是外一点． （1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 【答案】（1）如图所示， （2）或 【解析】 【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线， （2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，点在上（点不与，两点重合），且， ∵是的切线， ∴， ∴， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， ∴或． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中： （1）画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； （2）计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，其中，； （2） 【解析】 【分析】（1）分别作出点、绕点顺时针旋转所得对应点，再与点首尾顺次连接即可得； （2）利用弧长的公式求解可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 弧的长度． 【点睛】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式． 24. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）6 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由与相切于点，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证； （2）设的半径为，则，由勾股定理得，，即，可求，则，，由（1）知，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为6． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 25. 已知关于x的一元二次方程有实数根． 求m的取值范围； 当时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径． 【答案】；该矩形外接圆的直径是 【解析】 【分析】由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围； 由根与系数的关系可得、，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，根据勾股定理可得结论． 【详解】方程有实数根， ， ， 当时，原方程有实数根； 当时，原方程可化为：， 设方程的两个根分别为、，则，， 该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，如图所示， ， 该矩形外接圆的直径是 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、矩形与圆的关系，熟练掌握根与系数的关系和利用完全平方公式变形求值是解题的关键． 26. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （3）若物价部门规定每箱售价不得高于55元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？ 【答案】（1） （2） （3）每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润 【解析】 【分析】（1）根据平均每天销售量y＝原来的销售量﹣3×相对于50元的单价提高的价格列式即可； （2）根据销售利润＝每箱苹果的利润×平均每天销售量列式即可； （3）结合（2）得到的关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得：， ∴该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 由（2）知， ∵， ∴抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x增大而增大， ∵物价部门规定每箱售价不得高于55元， ∴当元时，利润w最大， 答：每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润． 【点睛】本题考查二次函数的应用，正确列出函数关系式，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 27. 在中，，是边上的高线，将一块三角板的直角顶点放在点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线、于D、E两点．图1和图2是旋转三角板得到的图形中的两种情况． （1）求证：； （2）猜想线段与之间的数量关系，并结合图1证明你的结论； （3）在三角板绕点P旋转的整个过程中，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，是边上的高线， ∴，， ∴， ∴； （2） ，理由： ∵是边上的高线， ∴， ∴，又，， ∴， ∴； （3）0或1或或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得到，再利用等腰三角形的判定可得结论； （2）利用旋转性质得到，再证明即可得出结论； （3）根据等腰三角形的定义分类讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，是边上的高线， ∴，则， 当为等腰三角形时，有三种情况： 当时，点E与点B重合，此时； 当时， ∵， ∴，则； 当时，点E在线段上时，；点E在的延长线上时，， 综上，当为等腰三角形时，的长为0或1或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键 28. 已知，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，点P为x轴下方的抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，求四边形面积的最大值； （3）是否存在这样的点P，使得点P到和两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）51 （3）存在这样的点，使得点P到和两边的距离相等 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，过点P作轴交于D，先求出直线的解析式，设，则，则，求出的最大值，再由可知当最大时，最大，由此即可得到答案； （3）如图所示，取点E使其坐标为，连接，取中点F，连接，先证明，进而得到平分，则直线上的点到的距离相等，由此即可知点P即为直线与抛物线的交点，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴可设抛物线解析式为， 又∵当时，，即， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点P作轴交于D，设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大为27， ∵，， ∴， ∴当最大时，最大，最大为； 【小问3详解】 解：如图所示，取点E使其坐标为，连接，取中点F，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴平分， ∴直线上的点到的距离相等， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $