精品解析：重庆市秀山县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024年秋期学生期末考试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列4个数中最大的数是（　　） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，牢记正数大于0，0大于负数，是解本题的关键． 根据正数大于0，0大于负数，可确定最大的数． 【详解】解：根据正数大于0，0大于负数，可知这4个数中，最大的数为． 故选：D． 2. 2025年10月31日23时44分，搭载神舟“十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选A． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 班主任调查班里学生的视力情况适合用全面调查； B. 某小区出现新冠疫情，对小区居民进行核酸检测适合用抽样调查； C. 抛掷一枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上； D. 任意打开九年级下册数学教科书是38页，属于确定事件． 【答案】A 【解析】 【分析】根据全面调查和抽样调查的特征，随机事件的定义判断即可； 【详解】解：A．班主任调查班里学生的视力情况适合用全面调查；选项正确，符合题意； B．某小区出现新冠疫情，对小区居民进行核酸检测适合用全面调查；选项错误，不符合题意； C．抛掷一枚质地均匀的硬币20次，可能有10次正面向上；选项错误，不符合题意； D．任意打开九年级下册数学教科书是38页，属于随机事件；选项错误，不符合题意； 故选： A． 【点睛】本题考查了调查方式的选择：根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；掌握相关定义是解题关键． 4. 用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程转化为完全平方形式，需根据一次项系数确定配方的常数项，并保持等式成立，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 5. 在抛物线y＝x2－4x－4上的一个点是（ ） A. （4，4） B. （3，－1） C. （－2，－8） D. （－1，1） 【答案】D 【解析】 【分析】先分别计算当自变量为4、3、-2、-1时，所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式进行判断即可； 【详解】解：选项A中，当x=4时，y＝x2－4x－4＝−4，点（4，4）不在抛物线上，故选项A错误； 选项B中，当x=3时，y＝x2－4x－4=−7，点（3，-1）不在抛物线上，故选项B错误； 选项C中，当x=−2时，y＝x2－4x－4=8，点（-2，-8）不在抛物线上，故选项C错误； 选项D中，当x=−1时，y＝x2－4x－4=1，点（-1，1）在抛物线上，故选项D正确； 故选D. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键. 6. 如图，将一张等边三角形纸片沿三边中点连线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到85个小三角形，则需要操作的次数是（　　） A. 25 B. 28 C. 33 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的规律探究，根据图形规律转化为数字规律是解题的关键． 按照同样的操作，依次剪出的三角形的个数为4，7，10，13……，由此数据可知，第n次操作后三角形共有个，根据题意得，求得n的值即可． 【详解】解：由题意， 第一次操作，小三角形的个数为4个； 第二次操作，小三角形的个数为7个； 第三次操作，小三角形的个数为10个； …… 第n次操作，小三角形的个数为个； 由， 解得， 故选：B． 7. 为促进消费，重庆市政府发放政府补贴“消费券”．某超市的月销售额逐步增加，据统计，4月份的销售额为300万元，接下来5月、6月的月增长率相同，6月份的销售额为600万元，若设5月、6月每月的增长率为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决． 【详解】由题知，， 故选：C． 8. 如图，是的切线，切点是点，直线交于点、，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理和切线的性质．根据切线的性质知，再根据圆周角定理得到，然后利用直角三角形的两锐角互余得到的度数． 【详解】解：， ， 是的切线， ， ． 故选：B． 9. 如图，在正方形中，点 、点 分别是和 边的中点，连接 、 交于点，连接 和，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质及应用,全等三角形判定与性质；延长，交于，证明，可得，再证，可得为斜边上的中线，故，即得，． 【详解】解：延长，交于，如图： 四边形是正方形， ，， ，是，的中点， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ； 故选：A． 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立 其中正确结论的个数有（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题中规定发现并总结出一般规律是解题的关键． 根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法①； 根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法②； 根据题中规定，分别算出，，比较二者的结果，即可判断说法③； 综上，即可得出所有正确的说法． 【详解】， ，， ，， 由此，，……，这列数每4个循环一次，即． ①，，故①正确； ②，，， ，， 又，……，这列数每4个循环一次，即， ，……，这列数也是每4个循环一次，即． 又， ， ，故②不正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，故③正确； 综上，正确结论为①③，共2个， 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和绝对值化简，先化简各数，再进行加减运算即可．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为： 12. 关于的一元二次方程有一个根是，则的值是___________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：2024 13. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为， 即， 故答案为：． 14. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明同学对甲骨文很感兴趣，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，解答本题的关键是掌握概率公式．通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： P（文明）． 故答案为： 15. 某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，若，且平分，，则图中阴影部分面积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，平行四边形的性质，直角三角形的性质． 连接，由平行四边形的性质推出是等边三角形，是等腰三角形，由直角三角形的性质求出的长，得到的长，求出扇形的面积，扇形的面积，的面积，的面积，即可求出阴影的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， ∴阴影的面积． 故答案为：． 17. 关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数． 先解分式方程得到，根据分式方程的解为正数结合分式方程不能有增根求出且；再解不等式组，根据不等式组的解集为得到，由此确定满足题意的所有满足条件的整数a，再求出对应的和即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵分式方程的解为正数，且， ∴， ∴且； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 综上所述，且， ∴所有满足题意的整数a的值为3，4，6，7， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故答案为：． 18. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数与，其中，（，，，且为整数）．若能被整除，则的值为_____，在此条件下，若，其中为整数，则此时与乘积的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据题意求得，，结合题意可得，，推导出所有可能情况，即可求解，理解题意求得，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵能被整除，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或， ∵，， 当，时，； 当，时， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当，时， 当，时，； ∵，， ∴的值为：或， ∴的最大值为：， 故答案为：，． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）请将必要的演算过程或推理步骤书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算或解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据整式的运算法则即可求出答案； （2）运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， ∴， ∴， ∴，． 20. 在学习了全等三角形的知识后，一位同学进行了如下的探究，他发现：在一组对边平行且相等的四边形中，它的一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离存在着一定的数量关系．这位同学利用三角形全等证明了他的猜想，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在四边形中，，，连接，于点．利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：， ___________①________ ， 在和中， ． ___________③________ 于是这位同学得到的结论是：在一组对边平行且相等的四边形中，___________④___________． 【答案】（1） 解：直线即为所求： （2）①；②；③；④它的一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离相等 【解析】 【分析】本题考查了尺规作---垂线，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）按照过直线外一点作已知直线的垂线的步骤作图即可； （2）根据垂直的意义和平行线的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：， ， ， 在和中， ． ， 于是这位同学得到的结论是：在一组对边平行且相等的四边形中，它的一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离相等． 故答案为：①；②；③；④它的一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离相等． 21. 某电动车品牌新推出的甲、乙两款车型颇受民众喜爱，于是某店从甲车型和乙车型车主中各随机抽取20名车主对其所使用车型的各项性能进行评分（满分30分，成绩得分用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 甲车型20名车主评分为：11，15，16，19，19，20，21，21，23，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30. 乙车型车主评分在C组中的数据是：20，23，24，24，22，24． 甲车型和乙车型得分统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲车型 25 c 乙车型 28 根据以上信息，解答下列问题： （1）___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款车型的性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该店所有顾客中甲车型和乙车型的车主共有26000人，估计这些车主中对所使用车型评分为组的人数是多少？ 【答案】（1）40；24；28 （2） 解：甲车型的性能更好，理由如下： 甲车型和乙车型的平均数相等，但甲车型的方差比乙车型的小，所以甲车型的性能更好； （3）估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是人 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，方差的意义． （1）先求出乙车型C组所占百分比，然后求出a的值即可；先求出乙车型A、B组数据的个数，然后根据中位线的定义得出b的值即可；根据众数的定义求出c的值即可； （2）根据平均数、中位数、众数和方差进行解答即可； （3）用样本所占百分比估计总体即可． 【小问1详解】 解：∵乙车型C组所占百分比为， ∴， ∵A、B组数据的个数为， ∴排在第10和第11位的两个数都是24， ∴中位数为，即， 根据甲车型的评分可知众数为； 故答案为：40；24；28； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是人． 22. 如图，ABC是⊙O的内接三角形，，，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E． （1）求证：AD∥EC； （2）若AD＝6，求线段AE的长． 【答案】 （1）证明：连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE＝， ∵∠ABC＝， ∴∠AOC＝2∠ABC＝， ∵∠AOC+∠OCE＝， ∴AD∥EC； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据CE是⊙O的切线，可得∠OCE＝，根据圆周角定理，可得∠AOC=，从而得到∠AOC+∠OCE＝，即可求证； （2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，由∠AOC＝，OA＝OC，可得∠OAC＝，从而得到∠BAD＝，再由AD∥EC，可得，然后证得四边形OAFC是正方形，可得，从而得到AF=3，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F， ∵∠AOC＝，OA＝OC， ∴∠OAC＝， ∵∠BAC＝， ∴∠BAD＝， ∵AD∥EC， ∴， ∵∠OCE＝，∠AOC＝，∠AFC=90°， ∴四边形OAFC是矩形， ∵OA＝OC， ∴四边形OAFC是正方形， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AFE中，， ∴AE=2AF=6． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 如图，在中，，，．点是中点，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动，到达点时停止运动，设点、点的运动时间为秒，点、之间的距离为． （1）请直接写出与之间的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，直接写出、两点间距离等于3个单位长度时的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2） 结合（1），画出函数图像如下， 从图像看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）或时，、两点间距离等于3个单位长度 【解析】 【分析】（1）首先求得，，，根据题意，当点在线段上时，可有，连接，证明为等边三角形，易得；当点在线段上时，可有，易得，即可获得答案； （2）结合（1）画出函数图像，并写出该函数的一条性质即可； （3）在图中画出直线，结合图像即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， 根据题意，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动， 则当点在线段上时，可有，连接，如下图， ∵， ∴，即， 又∵， ∴为等边三角形， ∴； 则当点在线段上时，可有，如下图， ∵， ∴； 综上所述，与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在图中画出直线， 则直线的与函数的交点的横坐标为：3或， 即当或时，两点相距3个单位长度， 结合图像可知，或时，、两点间距离等于3个单位长度． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、等边三角形的判断与性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，正确求得一次函数解析式是解题关键． 24. 为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】（1）该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； （2）需要更新设备费用为万元 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【小问1详解】 解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； 【小问2详解】 解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）； 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）长度的有最大值为，点 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）先求出点C、D的坐标，然后再运用待定系数法求得直线的解析式，设P点坐标为，则，再表示出线段的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答； （3）由，设平移后的解析式为，再根据平移后的抛物线过点可求得t，进而确定平移后的抛物线解析式，然后分点位于x轴的上侧与下侧，设出M点的坐标，根据等腰直角三角形性质求出x的值即可确定M点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵与轴交于点，， ，解得： 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ， ，， 设直线的解析式为， 则，解得 ， 同理：直线的解析式为， 设P点坐标为， 则， ， ， ， ∴当时，长度的有最大值为，点． 【小问3详解】 ， 如图，设平移后的解析式为， ∵当平移后的新抛物线经过时停止平移，得到新抛物线， ，解得：或（舍弃）， ∴平移后的新抛物线的解析式为， ①当M点位于x轴上侧时，过点M作轴， 设， ， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，或（舍去）， ； 当M点位于x轴下侧时，过点M作轴， 设， ， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，或（负数舍去）， ， 综上所述符合条件的点的坐标或． 26. 如图，在中，． （1）如图1，在内取点，连接，，将绕点逆时针旋转至，，连接，若，求的长； （2）如图2，点为中点，点在的延长线上，连接交于点，点恰好为的中点，连接并延长至点，连接，若，，猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，点在的延长线上；连接，在上取点，使，连接，若，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 如图，取中点，连接、，与交于点， 是得到中点，点恰好为的中点， 是的中位线，是的中位线， ∴， ，， ， ， ∴， ∴，， ∴， ； ， ， ∴， ， ， ∵，， ∴， 是等边三角形， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形综合内容，涉及勾股定理、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等腰三角形、三角形中位线定理，二次函数的最值问题，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先证明，从而得到，过作垂直于的延长线于点，由得到，从而得到和的值，然后在中用勾股定理求出，则即可； （2）取中点，连接、，由是中位线，则可推出得到，由得到，，推出，，从而证明，得到，可证明，得到是等边三角形，则可得到； （3）建立平面直角坐标系，设，则，，，当时，有最小值，即有最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过作垂直于，交延长线于点， ， ∴ ， 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ， ， ，， ， ， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系，其中点与原点重合，过点作于F，过点作交直线于， 设，则，， ，， 是等边三角形， ∴， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ∴当时，有最小值，即有最小值， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期学生期末考试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列4个数中最大的数是（　　） A. B. C. 0 D. 2. 2025年10月31日23时44分，搭载神舟“十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 班主任调查班里学生的视力情况适合用全面调查； B. 某小区出现新冠疫情，对小区居民进行核酸检测适合用抽样调查； C. 抛掷一枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上； D. 任意打开九年级下册数学教科书是38页，属于确定事件． 4. 用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A. B. C. D. 5. 在抛物线y＝x2－4x－4上的一个点是（ ） A. （4，4） B. （3，－1） C. （－2，－8） D. （－1，1） 6. 如图，将一张等边三角形纸片沿三边中点连线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到85个小三角形，则需要操作的次数是（　　） A. 25 B. 28 C. 33 D. 34 7. 为促进消费，重庆市政府发放政府补贴“消费券”．某超市的月销售额逐步增加，据统计，4月份的销售额为300万元，接下来5月、6月的月增长率相同，6月份的销售额为600万元，若设5月、6月每月的增长率为，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是的切线，切点是点，直线交于点、，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点 、点 分别是和 边的中点，连接 、 交于点，连接 和，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立 其中正确结论的个数有（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. ___________． 12. 关于的一元二次方程有一个根是，则的值是___________． 13. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为___________． 14. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明同学对甲骨文很感兴趣，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为________． 15. 某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 16. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，若，且平分，，则图中阴影部分面积为___________．（结果保留） 17. 关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为___________． 18. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数与，其中，（，，，且为整数）．若能被整除，则的值为_____，在此条件下，若，其中为整数，则此时与乘积的最大值为_____． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）请将必要的演算过程或推理步骤书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算或解方程： （1） （2） 20. 在学习了全等三角形的知识后，一位同学进行了如下的探究，他发现：在一组对边平行且相等的四边形中，它的一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离存在着一定的数量关系．这位同学利用三角形全等证明了他的猜想，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在四边形中，，，连接，于点．利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：， ___________①________ ， 在和中， ． ___________③________ 于是这位同学得到的结论是：在一组对边平行且相等的四边形中，___________④___________． 21. 某电动车品牌新推出的甲、乙两款车型颇受民众喜爱，于是某店从甲车型和乙车型车主中各随机抽取20名车主对其所使用车型的各项性能进行评分（满分30分，成绩得分用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 甲车型20名车主评分为：11，15，16，19，19，20，21，21，23，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30. 乙车型车主评分在C组中的数据是：20，23，24，24，22，24． 甲车型和乙车型得分统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲车型 25 c 乙车型 28 根据以上信息，解答下列问题： （1）___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款车型的性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该店所有顾客中甲车型和乙车型的车主共有26000人，估计这些车主中对所使用车型评分为组的人数是多少？ 22. 如图，ABC是⊙O的内接三角形，，，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E． （1）求证：AD∥EC； （2）若AD＝6，求线段AE的长． 23. 如图，在中，，，．点是中点，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动，到达点时停止运动，设点、点的运动时间为秒，点、之间的距离为． （1）请直接写出与之间的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，直接写出、两点间距离等于3个单位长度时的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 如图，在中，． （1）如图1，在内取点，连接，，将绕点逆时针旋转至，，连接，若，求的长； （2）如图2，点为中点，点在的延长线上，连接交于点，点恰好为的中点，连接并延长至点，连接，若，，猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，点在的延长线上；连接，在上取点，使，连接，若，当取最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $