专题一：集合和充分必要条件 讲义-2025届高三数学二轮复习

专题一: 集合和充分必要条件 第一节: 集合 考点一: 交集 1.【解答】解: 因为 , ,所以 . 故选: . 2.【解答】解: 集合 , 或 ,则 . 故选: . 考点二:并集 3.【解答】解: 集合 , . 故选: . 4.【解答】解: 根据题意,可得 ,结合 , ,得 . 故选: . 考点三:集合的关系 5.【解答】解: 依题意, 或 ,当 时,解得 ,此时 ,不符合题意; 当 时,解得 ,此时 , ,符合题意. 选: . 6.【解答】解: ,由 ,得 , 又 ,由 ,得 ,又 , 则 ,则 ,得 ,故选: . 考点四: 子集 7.【解答】解: 因为集合 有 6 个非空真子集,故集合 中有 3 个元素,故 , 可得 ,解得 . 故选: . 8.【解答】解: 若集合 有 15 个真子集,则 中含有 4 个元素, 结合 ,可知 ,即 , 且区间 中含有 4 个整数, ① 当 时, 的区间长度 , 此时 中不可能含有 4 个整数; ② 当 时, ,其中含有 共 4 个整数, 符合题意; ③ 当 时, 的区间长度大于 3, (i) 若 的区间长度 ,即 . 若 是整数,则区间 中含有 4 个整数,根据 ,可知 ,此时 , 8],其中含有 共 4 个整数,符合题意. 若 不是整数,则区间 中含有 这 4 个整数,则必须 且 ,解得 ; (ii) 若 时, ,其中含有 、 9 共 5 个整数, 不符合题意; (iii) 当 时, 的区间长度 , 此时 , 中只能含有 这 4 个整数, 故 ,即 ,结合 可得 . 综上所述, 或 或 ,即实数 的取值范围是 . 故选: . 考点五:集合新定义 9.【解答】解: 对于整点 的连线内部没有其它整点,当且仅当 与 互为素数,若 只有一个点(x, y), 取 的点(a, b)使 和 分别同奇偶, 有公因子 2 (或重合),不合题意,故 中元素不止一个,令 ,对于 的点 ,当 或 3 时, 取 ；当 或 4 时,取 ； 由于 横坐标之差为 ,故 内部无整点; 当 , 时,取 ,此时横坐标之差为 2,纵坐标之差为奇数,二者互素; 当 时,取 , 此时横坐标之差为 3 , 纵坐标之差为 -4 , -2 , 二者互素; 综上, 中的元素个数最小值是 2. 故选: . 10.【解答】解: 由题意知, , 或 ,即方程 有 1 个根或 3 个根,若 , 则 或 , 若 ,则 或 , 当 时, ,符合题意; 当 时, 对应的根为 0 和 ,若 ,则有以下两种情况, ① 当 有两个相等的实数根时, ,解得 ,当 时, , ,符合题意; 当 时, ,符合题意; ② 当 有两个不相等的实数根时,则 是 的一个根,即 ,无解; 综上所述, ; 故 ,故选: . 11.【解答】解: 集合 中最小值为 1, 最大值为 12,① 若使 取得最大值, 不妨设 ,则 则剩余的数中最小值为 4 , 最大值为 , 令 ,则 ,则 , 则 的最大值为 , ②若使 取得最小值,则 ,则 , 令 ,则 , 则 ,则此时 的最小值为 ,故 的最大值与最小值的差为 ,故答案为: 12 . 12.【解答】解: 由题意可知: 若 ,则 , 均属于 ,而事实上,若 ,中 ,所以 , 故 中有正整数 ,从而 中相邻两数不可能大于等于 2,故 ,若 , 则有 ,与 矛盾, 当 时, , 当 时,则 , 所以 ,所以 , 所以非空子集有 个. 故选: . 13.【解答】解: 设集合 中满足题设性质的子集个数为 ,则 ,当 时,可将满足题设性质的子集分为如下两类: 一类是含有 的子集,去掉 后剩下小于 单元子集或者是 满足题设性质的子集,前者有 个,后者有 个; 另一类是不含有 的子集,此时恰好是 满足题设性质的子集,有 个,于是 ,又 ,所以 , . 故答案为: 49 . 14.【解答】解: 当 时, 表示 3 个元素的有限集,由 可知 或 , 或 或 ,故 , ; 由题意知 ,故由 可 得 ,即 ,解 得 或 (舍去),结合 ,故 的最小值为 21, 故答案为: . 15.【解答】解: 函数 ,其中 表示不大于 的最大整数,当 时,函数 值域为集合 , 依题意, ,故 , ① 当 时,则 , ② 当 时, 显然 , ③ 当 时, , ④ 当 时, 中含有 4 个元素,其中两个元素 和 . 其它两 个元素为 , ,则 由对称性,不妨设 ,其中 表示集合 中元素的个数, ,又 或 ,若 ,则 只能等于 ,(若 ,则 , 则 ,矛盾) 则必有 , 的个数 的个数 种. 即 或 或 此时满足 且 且 , 的选择共有 种,则 的个数有 种, 的个数 种. (这 6 种是 , , 综上可知 的个数为 9 个. 故答案为: 9 . 16.【解答】解: ,且 , 当 时, 中两个 0, 一个 2 或 -2 ; 故共有 种; 当 时, 中一个 0,另两个是 2 或 -2 ; 故共有 种; 故共有 18 个元素,故答案为: 18 . 17. 【解答】解: 对于 ,对所有的 ,有 , 且满足①乘法结合律； ② ,使得 ,有 ; ③ ,有 ,故 正确; 对于 , ①自然数满足加法结合律； ② ,使得 ,有 ; 但是对于 ,不存在 ,使 ,故 错误; 对于 ,对所有的 ,有 , ① 实数满足加法结合律; ② ,使得 ,有 ; 但对于 ,不存在 ,使 ,故 错误; 对于 ,对所有的 ,可 设 , 则 , ① 满足加法结合律,即 ,有 ② ,使得 ,有 ; ③ ,设 , 使 ,故 正确. 故选: . 18.【解答】解: 对于 ,即 , ①, ,即 ,即 ,若 , 则 ,所以 “ ” 的充要条件为 “ ”. ②, ,成立, ③, ,故 正确; 对于 , ① , ,即 ,即 ,此时若 ,则 ,故 错误; 对于 , ①, 即 ,即 ,得 , 若 ,则 , 所以 “ ” 的充要条件为 “ ”. ②, ,成立; ③ ,故成立,故 正确; 对于 ,设 ,则 ,①,若 ,则 ,即 , ,故 错误. 故选: . 随堂练习 1.【解答】解: , ,则 . 故选: . 2.【解答】解: , . 故选: . 3.【解答】解: 因为集合 , 所以 ,则 . 故选: . 4.【解答】解: 函数 的定义域是 , ,即 ,又 , ,所以 . 故选: . 5.【解答】解: 由题知, 表示 数集 中的数表示横坐标,数集 中的数表示纵坐标,组成的 点的全体,故 错; 若 ,则 正确; , , 则 正确; 集合 表示 轴所在直线, 正确; 集合 表示正方形区域 (含边界), 正确. 故选: . 6.【解答】解: 对于条件① , ② , 必有 ,若集合中所有的元素是由公差为 2 的等差数列构成,例如 ,集合中有 11 个元素, 又 则该集合满足条件①②,不符合条件③,故符合条件③的集合 中元素个数最多不能超过 10 个,故若要集合 满足: ① ,② , ,必有 ,③集合 中所有元素之和为 100,最多有 10 个元素,例如 , . 故选: . 7.【解答】解: 对于 ,对任意的 ,存在 ,使得 ,故 正确; 对于 ,假设集合 , 以 0 为 “开点”,则对任意的 ,存在 , ,使得 ,当 时,该式不成立,故 错误; 对于 ,假设集合 以 0 为 “开点 ”, 则对任意的 ,存在 ,使得 ,故 正确; 对于 ,集合 , ,当 时, , 时 ,使得 不成立, 故 错误. 故选: . 8.【解答】解: 当 时, 表示有 2 个元素的集合, ,因为 ,且 有 2 个元素,所以 , 或 或 ,所以 ; 由题中定义可知: ,于是由 . 而 即 ,又因为 ,所以 的最大值为 22 . 故答案为: . 9.【解答】解: (I) ; (II) 首先, ; 其次 中有 4 个非零元素,符号为一负三正或者一正三负,记 ,不妨设 或者 , ① 当 时, , , , ,18, ,相乘可知 , ,从而 ,从而 , ,所以 ; ② 当 时,与上面类似的方法可以得到 ,进而 ,从而 ,所以 或者 ; (III) 估值 + 构造,需要分类讨论 中非负元素个数,先证明 (A) ,考虑到将 中的所有元素均变为原来的相反数时, 集合 不变,故不妨设 中正数个数不少于负数个数,接下来分类讨论: 情况一: 中没有负数,不妨设 ,则 上式从小到大共有 个数,它们都是 的元素,这表明 (A) ; 情况二: 中至少有一个负数,设 是 中的全部负元素, 是 中的全部非负元素. 不妨设 ,其中 为正整数, , 则 , 以上是 中的 个非正数元素,另外,注意到 ,它们是 中的 5 个正数, 这表明 ; 综上可知,总有 , 另一方面,当 时, , 中恰有 13 个元素, 综上所述, 中元素个数的最小值为 13 . 10.【解答】解: (1) 若 ,由题意可得, , ,即 ,此时 ,满足题意,假设集合 中还有第四个元素为 ,则由题意可知: 若 ,即 ,则 ,所以不成立; 若 ,则 , 所以 或 9 或 27,矛盾. 故集合 中无四个元素,所以集合 . (2)设集合 ,不妨设 ,假设 , 即 ,则 且 , 由②知 ,注意到 ,故有 ,即 , 所以 ,故 ,即 ,因 为集合 中有 4 个元素,故设 , 由②可得: 若 ,则 ,所以 ,矛盾; 若 ,则 或 或 ,所以 或 或 , 与集合元素的互异性矛盾,假设错误,故 . (3) ,不妨设 ,所以 ,又 , 故 ,同理可得 ,若 , 与(2)类似得 ,从而必有 ,对任意的 ,有 ,即 ,所以 , 即 . 若 ,即 ,故 所 以 ,即 ,从而必有 ,对任意的 ,必有 ,即 , 所以 ,即 . 综上,得 ,又 时,有 , 符合题意,所以 的最大值为 4 . 第二节: 充分必要条件 考点一:充分必要条件 1. 【解答】解: ,则 “ ” 可得 ; “ ” 可得 ; 所以 ,则 “ ” 是 “ ” 的充要条件. 故选: . 2.【解答】解: , 若 ,则 ,解得 或 -3,故 “ ” 的充分条件是 “ ”,故 错误, 正确; 若 ,则 ,解得 ,故 错误. 故选: . 3.【解答】解: 由 , , 反之,若 , 令 ,则 ,于是 , 化为 ,解得 ,即 ,则 " " 是 " " 的充要条件. 故选: . 4.【解答】解: 当 时,满足 ,但 ,所以充分性不成立; 当 时,由 且 ,可得 ,即 ,必要性成立. 综上所述,“ ” 是 “ ” 的必要不充分条件. 故选: . 5.【解答】解: 若 ,则 ,可得 ,充分性成立; 若 ,则 ,但不一定 都是正数,推不出 ,故必要性不成立. 综上所述,“ ” 是 " 的充分不必要条件. 故选: . 6. 【解答】解: 若 ,则 或 . 当 时, ; 当 时, . 所以 “ ” 不 是 “ ” 的充分条件; 当 时,即 ,所以 “ ” 是 “ ” 的必要条件. 综上所述,若 ,则 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件. 故选: . 7.【解答】解: 不等式 等价于 ,等价于 , 所以 ,即 ,解得 或 ,故 能推出 成立,但是 成立不一定有 ,所以 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件. 故选: . 8.【解答】解: “ ” 解得 或 ,故“ ”是“ ” 的充分不必要条件,故选: . 9.【解答】解: 依题意, , 对于甲: ,即 , 设 , 所以 在 上单调递增,故 . 对于乙: ,两边取以 为底的对数得 , 由于 ,所以 ,则 , 设 , 所以 在区间(1, e)上 单调递增,在区间 上 单调递减,所以由 ,即 (a) (b),若 或 ,则 , 若 不在 的同一单调区间,则 ,所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选: . 随堂练习 1.【解答】解: 当 时, ,解得 或 ,经检验可知 或 都符合,所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选: . 2.【解答】解: 空间中不过同一点的三条直线 ,若 “ , 两两相交”,则 “ 共面”,反之不成立, , 可能相互平行, “ 共面” 是 “ 两两相交” 的必要不充分条件,故选: . 3.【解答】解: 若 ,则 ,充分性成立; 若 ,可能 ,此时 ,所以必要性不成立. 综上所述,“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选: . 4. 【解答】解: ① 当 且 时,则 成立, 充分性成立,②当 时,满足 ,但不满足 且 必要性不成立, 且 是 的充分不必要条件,故选: . 5.【解答】解: 对于复数 ,若 不一定为纯虚数, 可以为 0,反之,若 为纯虚数,则 “ ” 是 “ 为纯虚数” 的必要非充分条件. 故选: . 6.【解答】解: 若不等式 的解集为 ,当 时, 符合题意; 当 时,需满足 且 ,解得 ,综合可得 ,而 ,所以 能推出 不能推出 ,即 是 的充分不必要条件. 选: . 7.【解答】解: 当 时, 同号且非零,则 , 所以 ,当 时,如 ,则 , 无法得到 ,所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选: . 8.【解答】解: 若 ,且 , 则 ,故 , 当 或 时, ,则 , 当 时,“ ,总有 ”,当 时, , ,即 ,综上所述, 恒成立,故充分性成立,“ ,总有 ”,则 ,且 ,故必要性成立,综上所述,“ ,且 ” 是 “ ,总有 ” 的充分必要条件. 故选: . 9. 【 解 答】 解 : 时, ,即 成立,充分性成立; 时,不等式 成立, 得不出 ,必要性不成立, “ ” 是 " " 的充分不必要条件. 故选: . 10.【解答】解: 圆 内切于圆 ,故 " " 是 " " 的必要不充分条件. 故选: . 专题二:基本不等式 考点一: 和积互化 1.【解答】解: 基本不等式 (当且仅当 时取等号) 整理得 即 ,又 , 所以 (当且仅当 时即 时取等号) 则 的最小值是 4. 故答案为: 4. 2.【解答】解: ,且 , , ,当且仅当 时,等号成立, 的最小值为 4,故选: . 3.【解答】解: , ,即 , ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一: 集合和充分必要条件 第一节: 集合 考点一: 交集 1. (2024・全国甲卷) 集合 , 则 ( ) A. B. C. D. 2. (2024・呈贡区校级模拟) 已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 考点二: 并集 3. (2024・北京) 已知集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 4. (2024・周至县一模) 设全集 ,集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 考点三:集合的关系 5. (2023・新高考 II) 设集合 , 若 ,则 ( ) A. 2 B. 1 C. D. -1 6. (2024・南岗区校级四模) 已知集合 , ,若 ,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 考点四: 子集 7. (2024・内江三模) 若集合 有 6 个非空真子集,则实数 的取值范围为 ( ) A.(0,1) B. C. D. 8. (2024・河南模拟) 已知集合 ,若集合 有 15 个真子集,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 考点五:集合新定义 9. (2024・宁波二模) 已知点集 , . 设非空点集 ,若对 中任意一点 ,在 中存在一点 与 不重合),使得线段 上除了点 , 外没有 中的点,则 中的元素个数最小值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. (2024・山东一模) 用 (A) 表示非空集合 中的元素个数,定义 ,若 . ,且 ,设实数 的所有可能取值组成的集合是 ,则 等于 ( ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 11. (2024・重庆模拟) 已知集合 ,集合 , 满足①每个集合都恰有 4 个元素; ② . 集合 , 2,3) 中元素的最大值与最小值之和称为集合 的特征数,记为 , 2,3),则 的最大值与最小值的差为_____. 12. (2024・福建二模) 是正整数集的子集,满足: , ,并有如下性质: 若 ,则 ,则 的非空子集数为( ) A. 2022 B. 2023 C. D. 13. (2024・浙江模拟) 设集合 , 满足下列性质的集合称为 “翔集合”: 集合至少含有两个元素, 且集合内任意两个元素之差的绝对值大于 2 . 则 的子集中有_____个“翔集合”. 14. (2024・三明模拟) 记 表示 个元素的有限集, 表示非空数集 中所有元素的和,若集合 ,则 _____,若 ,则 的最小值为_____. 15. (2024・武进区校级三模) 若 是一个集合, 是一个以 的某些子集为元素的集合,且满足: ① 属于 属于 ; ② 中任意多个元素的并集属于 ; ③ 中任意多个元素的交集属于 . 则称 是集合 上的一个拓扑. 已知函数 ,其中 表示不大于 的最大整数,当 时,函数 值域为集合 ,则集合 上的含有 4 个元素的拓扑 的个数为_____. 16. (2024・如皋市模拟) 设集合 , ,则集合 满足条件: “ ” 的元素个数为_____. 17. (2024・庐阳区模拟) (多选) 群论, 是代数学的分支学科, 在抽象代数中有重要地位, 且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响, 例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识 证明. 群的概念则是群论中最基本的概念之一,其定义如下: 设 是一 个非空集合,“.” 是 上的一个代数运算,如果该运算满足以下条件: ①对所有的 ,有 ; ② ,有 ; ③ ,使得 ,有 称为单位元; ④ ,使 ,称 与 互为逆元. 则称 关于 “.” 构成一个群. 则下列说法正确的有( ) A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集 关于数的加法构成群 C. 实数集 关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 18. (2024・历城区校级模拟) (多选) 对于集合 中的任意两个元素 , ,若实数 同时满足以下三个条件: ① " " 的充要条件为 " "; ② ; ③ ,都有 . 则称 为集合 上的距离,记为 . 则下列说法正确的是 ( ) A. 为 B. 为 C. 若 ,则 为 D. 若 为 ,则 也为 ( 为自然对数的底数) 随堂练习 1. (2024・全国乙卷) 集合 , 则 ( ) A. B. C. D. 2. (2024・黑龙江模拟) 已知 ,若 , ,则 ( ) A. B. C. D. 3. (2024・珠海模拟) 集合 , 则 ( ) A. B. C. D. 4. (2024 秋・郯城县校级期末) 已知集合 , ,则 间的关系是 ( ) A. B. C. D. 5. (2024・北京模拟) 对于数集 ,它们的 Descartes 积 ,则 ( ) A. B. 若 ,则 C. D. 集合 表示 轴所在直线 E. 集合 表示正方形区域 (含边界) 6. (2024・海淀区校级模拟) 已知集合 满足: ① , ② , ,必有 ,③ 集合 中所有元素之和为 100,则集合 中元素个数最多为( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 7. (2024・宜春模拟) (多选) 已知 ,如果实数 满足对任意的 ,都存在 ,使得 ,则称 为集合 的 “开点”, 则下 列集合中以 0 为 “开点” 的集合有( ) A. B. C. D. 8. (2024・道里区校级一模) 设 表示不超过 的正整数集合, 表示 个元素的有限集, (A) 表示集合 中所有元素的和,集合 ,则 _____; 若 , 则 的最大值为_____. 9. (2024・顺义区二模) 已知实数集 ,定义 . (I) 若 ,求 ; (II) 若 ,求集合 ； (III) 若 中的元素个数为 9,求 的元素个数的最小值. 10. (2024・重庆模拟) 设集合 为正整数集 的两个子集, 至少各有两个元素. 对于给定的集合 ,若存在满足如下条件的集合 : ①对于任意 ,若 ,都有 ; ②对于任意 , 若 ,则 . 则称集合 为集合 的 “ 集”. (1)若集合 ,求 的 “ 集” ； (2)若三元集 存在“ 集” ,且 中恰含有 4 个元素,求证: ； (3)若 存在 “ 集”,且 ,求 的最大值. 第二节: 充分必要条件 考点一: 充分必要条件 1. (2024・天津) 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. (2024・全国甲卷) 已知向量 ,则 ( ) A. “ ” 的必要条件是 “ ” B. “ ” 的必要条件是 “ ” C. “ ” 的充分条件是 “ ” D. “ ” 的充分条件是 “ ” 3. (2023・北京) 若 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. (2024・顺义区一模) 已知 ,则 “ ” 是 “ ” ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. (2024・商洛模拟) 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. (2024・天津模拟) 若 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. (2024・天津模拟) “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. (2024・新县校级模拟) 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. (2024・浙江模拟) 已知 . 设甲: , 则( ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 随堂练习 1. (2024・南通模拟) 已知直线 与直线 平行,则 “ ” 是 “ 平行于 ” 的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. (2024・阜阳模拟) 已知空间中不过同一点的三条直线 , 共面”是“ 两两相交”的( ) A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分必要条件 D. 必要不充分条件 3. (2024・枣庄一模) 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. (2024・南开区模拟) 设 ,则 “ 且 ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. (2024・嘉兴二模) 设 ,则 是 为纯虚数的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 6. (2024・河北模拟) 已知 : 不等式 的解集为 ,则 是 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. (2024・河东区二模) 已知 为非零实数,则 “ ” 是“ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. (2024・宝山区三模) 已知数列 为无穷项等比数列, 为其前 项的和,“ ,且 ” 是 “ ,总有 ” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 9. “ ”,是 “ ” 的 ( ) 条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 10. (2024・长安区一模) “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考情分析 有关不等式的高考试题, 是历年高考重点考查的知识点之一, 其应用范围涉及高中数学的很多章节, 且常考常新,但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题,天津卷在 2021 年之前考试形式多以一道选择题为主, 从 2022 年之后, 基本不等式考查大多结合向量一块考查, 分值 5 分. 考点要求 考题统计 考情分析 基本不等式 2023 年上海卷第 6 题, 4 分 2022 年上海卷第 14 题, 5 分 2022 年新高考 II 卷第 12 题, 5 分 2021 年上海卷第 16 题, 5 分 2023 年天津卷第 14 题, 5 分 2022 年天津卷第 20 题, 15 分 【命题预测】 2024 年天津试卷没有考查基本不等式, 2022 年天津导数最后一题, 直接应用柯西 不等式解题, 所以现在看来, 基本不等式不 会再直接考查, 已经回归到它是工具的本 质, 预测 2025 年天津高考, 可能以小题形 式出现, 不等式在高考中主要考查基本不等 式求最值、大小判断, 求取值范围问题, 仍 将在 14 题位置出现, 结合向量一块考查. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$