精品解析： 北京清华大学附属中学2024—2025学年下学期八年级数学期末试卷

初二第二学期期末试卷数学 一、选择题（共24分，每题3分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A、B、C不是中心对称图形，C是中心对称图形， 故选：C． 2. 如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形,则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．根据，无法判断四边形是平行四边形，故A错误； B．根据，无法判断四边形是平行四边形，故B错误； C．根据，无法判断四边形是平行四边形，故C错误； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为， 故选：A 4. 某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如下表： 答对题数（道） 6 7 8 9 10 人数 3 8 6 5 2 则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（ ） A. 7和7 B. 7和8 C. 8和7 D. 8和8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：由表格知，答对题数为7道的有8人，人数最多， 所以本次测试学生答对题数的众数是7； 因为共有24人， 所以中位数是排序后第12，13名的平均数，即， 故选：C． 5. 一次函数的自变量和函数值的部分对应值如下表所示： 则关于x的不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先根据待定系数法求出一次函数的解析式，再解不等式求解． 【详解】解：将代入 解得： ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 6. 把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意依据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积建立方程即可得出答案. 【详解】解：设较长一段的长为x m，则较短一段的长为（2-x ）m， 由题意得：. 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，根据题意找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 7. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，A，C的对应点分别为D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得，可得，进而可得，则，即，从而可得答案． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 即， 故C选项正确，符合题意； 根据已知条件不能得出A、B、D选项， 故A、B、D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 8. 已知点，，都在二次函数的图象上．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求得抛物线开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的图象与性质一一判断即可． 【详解】解：将代入二次函数， 二次函数的图象过点， 点，都在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线， ， ，故A错误； ， ， ， 故B错误； 二次函数的对称轴为直线， 为二次函数的顶点， 当时，二次函数有最小值为， ， ，故C错误； ， ， 点，都在二次函数的图象上，且在对称轴的左侧， 二次函数的图象在对称轴的左侧，随的增大小减小， ， ， ，故D正确； 故选：D 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数。 根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点关于原点过对称的点的坐标是． 故答案为： 10. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的情况，根据方程有两个相等的实数根时判别式为0即可求解． 直接根据一元二次方程根的判别式列出式子，求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：5． 11. 如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、找旋转中心，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 先根据旋转的性质得出点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为，即可得到答案． 【详解】解：绕某点旋转，得到， 点的对应点为点，点的对应点为点， 如图，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为， ， 旋转中心的坐标是， 故答案为：． 12. 一次数学实践活动中，小组的综合成绩由小组自评、组间互评和教师评价三部分组成，各部分成绩均按百分制计，然后再按小组自评占、组间互评占、教师评价占，计算小组的综合成绩，甲、乙两个小组各部分的成绩如下表所示，则____________组的综合成绩更高（填“甲”或“乙”）． 小组 小组自评 组间互评 教师评价 甲组 乙组 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了数据的加权平均数，熟悉掌握数据的百分制运算是解题的关键． 根据各组数据的百分制进行运算加权平均数求解比较即可． 【详解】解：甲组的综合成绩为：； 乙组的综合成绩为：； 故乙组的综合成绩更高， 故答案为：乙． 13. 如图，在菱形中，、交于点O，于点E，连接，若，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键．由菱形的性质可知，是的中点，进而得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴是的中点， 在中，， ， 菱形的面积为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，若点B的对应点D恰好落在边上，，交于点F，设，则的度数是______（用含有α的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质可知，因为，所以，，由三角形内角和可得，．所以．再由三角形外角性质即可解答. 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，， ∵， ∴ ，， ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 15. 二次函数的部分图象如图所示，该图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2，图象与x轴交点的横坐标分别为，且满足．根据以上信息，给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④抛物线上有两点，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线的对称轴可得，进而判断结论①，根据抛物线的增减性，函数值可判断结论③，根据抛物线的对称性得出抛物线与轴的另一个交点在和之间，结合函数值得出，进而判断结论②，根据抛物线的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，结合抛物线的增减性即可得出时，得出m的取值范围，进而判断结论④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 即， ∴， ∴，故①结论正确； ∵，， 故抛物线的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是，故抛物线的最大值为； 当时，， 故当时，；即③结论不正确； 根据图象可得：抛物线与轴的一个交点在和之间，抛物线的对称轴为， 故抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， ∵，， ∴， ∴，故②结论正确； ∵抛物线的对称轴为， 故点关于对称轴的对称点坐标为， ∵抛物线开口向下， 故抛物线在对称轴的左侧，随的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，随的增大而减小， 若， 则或，故④结论错误； 综上，结论正确的有①②． 故答案为：①②． 16. 如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，，，菱形，，设，，，，，由，得即，根据勾股定理，故，，过点作于点，根据题意，得，设，，则，，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，，，菱形，， 设，， ，，， 由，得即， 根据勾股定理，得， 故， 解得，（舍去），故， 过点作于点， 根据题意，得， 设，， 则，， 故， 解得，， 故，（舍去）， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解方程，三角函数的应用，拼图的几何意义，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 三、解答题（共52分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2），； （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 ，， ∴，； 【小问3详解】 ， ， ， ，, ∴或 ∴，． 18. 已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴． 19. 平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可得到答案； （2）根据数形结合思想方法，列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点， ∴， ∵一次函数的图象经过， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：如图： ， 由（1）得，一次函数解析式为：， 当时，， 把代入得，， 解得：， 观察图象，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，则． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，两条直线相交或平行问题，采用数形结合思想是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）请判断这个方程根的情况； （2）若该方程有一个根小于1，求的取值范围． 【答案】（1）有两个实数根 （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案； （2）求出方程的两根，根据该方程有一个根小于1列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， ∵无论取何值时，， ∴原方程有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ； ， ∵该方程有一个根小于1， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式． 21. 如图，在中，，点F在上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练以上知识点是解题的关键． （1）根据已知条件先证明四边形为平行四边形，再根据即可得证； （2）由平分，可求得，再根据，则，根据含角的直角三角形的性质，求得，再求出，由进而即可求得，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：四边形平行四边形， ，． ， ，即． 又， 四边形是平行四边形， ， ． 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：，， ． 又， ，． 平分， ． 又， ． ， ． 又， ． 的面积为：． 22. 北京体育中考现场考试包括两个项目：素质项目和运动能力项目，在素质项目中，女子800m的评分标准如表1所示： 时间 分值 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 时间 分值 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 表1 在女子800m的考试现场，A，B两名同学被分到同一个小组．她们同时出发，当跑步的时间为t（单位：）时，A同学跑步的路程为（单位：），B同学跑步的路程为（单位：）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略，A同学的策略是先加速跑再匀速跑，最后加速冲刺；B同学的策略是先加速跑再匀速跑．A，B两名同学现场考试的部分数据如表2所示： 时间r（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 260 路程（m） 0 25 100 225 400 500 600 650 800 路程（m） 0 12.5 50 112.5 200 450 550 600 650 a 800 表2 （1）a的值为______． （2）请根据表2中的数据在下面的平面直角坐标系中补全的图象． （3）根据以上信息，给出下面三个结论： ①当时，A同学一直在B同学的前面： ②B同学可以得到分； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同： 上述结论中，所有正确结论的序号是______． （4）假如B同学的匀速跑速度不变，且在时恰好跑了，则B同学可以得到______分． 【答案】（1）700 （2）见详解 （3）①③ （4） 【解析】 【分析】（1）从表中可知在这一时间段内呈现匀速变化，先算出这一时间段的速度，再根据的间隔，结合已求出的速度算出这段时间增加的路程，最后加上时的路程，即可求出的值； （2）在平面直角坐标系中准确找出这些点的位置，然后按照顺序用平滑的曲线将这些点连接起来，就可以完成图像的补全； （3）①对于判断同学位置关系，我们只需在这个时间段内，对比和每个时刻对应的路程大小判断即可；②判断同学跑得分，需要先从表格中找出同学跑对应的时间，再对照评分标准确定相应的分值判断即可；③判断同学匀速跑步阶段速度是否相同，我们分别计算出同学在各自匀速跑步阶段的路程和时间，然后根据速度公式算出速度，最后比较两个速度是否相等即可； （4）利用已知的跑这一条件，通过比例关系求出跑所用的时间，再依据评分标准确定同学的得分即可． 本题考查了数据的分析与解读和应用能力，函数的图像与描点以及对评分标准的理解，对数据表的解读是解本题的关键． 【小问1详解】 解：观察的数据规律，发现从到，路程从增加到， 根据匀速部分的规律，从到，时间经过了，路程增加了，则每秒跑了， 到经过，增加的路程是， 故， 故答案为：700； 【小问2详解】 根据表2中的的时间和路程数据，在平面直角坐标系中依次找出对应点，然后用平滑的曲线连接起来，如图所示， 【小问3详解】 当时，同学的路程始终大于同学的路程，从表中还可以看出同学在每个时间点的路程都超过同学的路程，因此①正确； 同学完成的时间为，即4分20秒；根据评分标准，4分25秒对应6分，4分16秒对应6.5分，因此4分20秒对应6分，结论②错误； 同学在匀速阶段阶段的速度为：从到，跑了，速度为；同学在匀速阶段的速度为：从到，跑了，速度为； 因此，两名同学在匀速跑阶段速度相同，结论③正确； 故答案为：①③； 【小问4详解】 同学在时跑了，匀速速度为，剩余的路程为，以匀速速度完成需要， 因此同学完成的总时间 为4分0秒， 根据评分标准，4分秒对应分； 综上分析，同学可以得到7.5分， 故答案为： 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点． （1）若，求m的值（用含a的式子表示）； （2）若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意，将点A、B代入计算求解即可； （2）根据题意化简得出，然后根据二次函数的性质分情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 即， 解得：； 【小问2详解】 由（1）得， ∵，， ∴，即， 令，即 当时，抛物线开口向上， ∴的解集为两根之间， 由（1）得， ∴且， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴； 当时，抛物线开口向下， ∴的解集为两根之外， ∴， 解得： ∴ 综上：或． 24. 已知E为正方形内部一点，且满足，连接，，． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，将线段绕点C顺时针旋转到线段，连接，射线交线段于点M． ①依照意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①见详解②，证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质和等边三角形的判定与性质得到，利用等腰三角形的性质定理和三角形的内角和定理求得，结论可求； （2）①依据题意画图即可； ②连接，，过点B作，交的延长线于点G，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到，，利用（1）的方法求得，利用正方形的性质，三角形的内角和定理和等式的性质得到，利用等腰三角形的判定定理得到，最后利用全等三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①依题意补全图2，如图， ②线段与的数量关系为：，证明如下： 连接，，过点B作，交的延长线于点G，如图， ∵四边形为正方形， ∴，，． ∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 四、附加题（共20分） 25. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，分别为，的中点，连接，，，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质、直角三角形的性质、解直角三角形的相关计算，熟练三角函数的定义和旋转的性质，是解题关键．根据旋转得出为直角三角形，，，根据直角三角形性质得出，，证明为等腰直角三角形，得出，解直角三角形得出． 详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴为直角三角形，，， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 26. 已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于（ ） A. 9 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，把变形为，代入所求式子，根据配方法进行变形，利用偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 则代数式最小值等于． 故选：A． 27. 已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分类讨论；确定出抛物线的对称轴，分三种情况考虑即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线； 当时，；当时，；当时，； 当时，在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而增大， 而此时，则函数在范围内的最小值不小于4，故满足题意； 当时，函数在内取得最小值， 由题意，只需满足，解得：， 即； 当时，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而减小， 由题意，只需满足，解得：， 故这样的t不存在， 综上，t的取值范围为． 故答案为：． 28. 如图，M是等腰直角三角形的边的中点，且，P是平面内一动点，且与点M之间的距离为1，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等腰直角三角形，则，，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求得值，根据三角形三边关系，得，可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵点M是等腰直角三角形边的中点，， ∴，， ∴， ， ∴， 根据三角形三边关系，，即 ∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 29. 在平面直角坐标系中，对于图形M，线段和点C，若在图形M上存在点P，使线段的中点在线段上，则称C为图形M关于线段的“扩充点”． （1）如图，点，，在点，，中，关于线段的“扩充点”是______； （2）已知点，，，，其中，直线：． ①H是直线l上的一个动点，当，，时，若H为四边形关于线段的“扩充点”，直接写出点H的横坐标h的取值范围； ②连接，为线段的中点，当，时，若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）结合图形，可知，的中点在原点，符合题意；求得点，的中点为，接着求得与的中点并发现这个中点落在线段上，从而得出答案； （2）①当，，时，那么，，，，直线：，可判断四边形是矩形，在矩形上存在点，使线段的中点在线段上，那么可知，可落在线段，，上，然后分别求得当在线段，，上时，的范围即可；②当，时，，，直线：，通过为线段的中点，得到，接着判断四边形是正方形，当时，设点关于点的对称点为， 那么点， 那么当直线l过点时，直线的斜率最大，即取得最大值， 当时，设点关于点的对称点为，那么点，那么当直线l过点时，直线的斜率最小，取得最小值，当时，也符合题意，最后求得答案． 【小问1详解】 解：，， 和的中点为，符合题意； 点，， 点，的中点为， 与的中点为，即， 在线段上， 关于线段的“扩充点”是，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：已知点，，，，其中，直线：，其中，，， ，，，，直线：， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 直线：，代入，；代入，， 由题意可知，在矩形上存在点，使线段的中点在线段上，那么可知，可落在线段，，上，如图所示： 不妨设， 当在线段上，当的中点为点时，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 在线段上， 纵坐标为2，即， ，，， ， ， 在第三象限， ， ； 当的中点为点时，如图所示： 此时在第二象限，，解得， 那么当在线段上，； 当在线段上，使线段的中点落在线段，如图所示： 那么； 同理可求得落在线段上，， 综上， ； ②当，时，，，直线：， ， ，，为线段的中点， ， ， ，， ， ，，，， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， 直线：，时， 直线一定过， 当时，设点关于点的对称点为， 那么点， 如图所示： 若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，那么当直线l过点时，直线的斜率最大，即取得最大值， 将代入，得，解得，（舍去）； 当时，设点关于点的对称点为，那么点，如图所示： 若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，那么当直线l过点时，直线的斜率最小，取得最小值， 将代入，得，解得，（舍去）； 当时，，，，，直线为，如图所示： 借助图象，可知在可找到与的中点落在点上，那么满足题意； 综上，． 【点睛】本题考查了一次函数几何综合，一次函数的图象与性质，中点坐标，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并理解“扩充点”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二第二学期期末试卷数学 一、选择题（共24分，每题3分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形,则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如下表： 答对题数（道） 6 7 8 9 10 人数 3 8 6 5 2 则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（ ） A. 7和7 B. 7和8 C. 8和7 D. 8和8 5. 一次函数的自变量和函数值的部分对应值如下表所示： 则关于x的不等式的解集是( ) A. B. C. D. 6. 把长为2 m绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，A，C的对应点分别为D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在二次函数的图象上．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________． 10. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 11. 如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是______． 12. 一次数学实践活动中，小组的综合成绩由小组自评、组间互评和教师评价三部分组成，各部分成绩均按百分制计，然后再按小组自评占、组间互评占、教师评价占，计算小组的综合成绩，甲、乙两个小组各部分的成绩如下表所示，则____________组的综合成绩更高（填“甲”或“乙”）． 小组 小组自评 组间互评 教师评价 甲组 乙组 13. 如图，在菱形中，、交于点O，于点E，连接，若，则菱形的面积为______． 14. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，若点B的对应点D恰好落在边上，，交于点F，设，则的度数是______（用含有α的式子表示）． 15. 二次函数的部分图象如图所示，该图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2，图象与x轴交点的横坐标分别为，且满足．根据以上信息，给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④抛物线上有两点，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 16. 如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为______． 三、解答题（共52分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 18. 已知抛物线经过点，它对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 19. 平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象交于点． （1）求值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）请判断这个方程根的情况； （2）若该方程有一个根小于1，求的取值范围． 21. 如图，在中，，点F在上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，，，求的面积． 22. 北京体育中考现场考试包括两个项目：素质项目和运动能力项目，在素质项目中，女子800m的评分标准如表1所示： 时间 分值 8 75 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 时间 分值 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 表1 在女子800m的考试现场，A，B两名同学被分到同一个小组．她们同时出发，当跑步的时间为t（单位：）时，A同学跑步的路程为（单位：），B同学跑步的路程为（单位：）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略，A同学的策略是先加速跑再匀速跑，最后加速冲刺；B同学的策略是先加速跑再匀速跑．A，B两名同学现场考试的部分数据如表2所示： 时间r（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 260 路程（m） 0 25 100 225 400 500 600 650 800 路程（m） 0 12.5 50 112.5 200 450 550 600 650 a 800 表2 （1）a的值为______． （2）请根据表2中的数据在下面的平面直角坐标系中补全的图象． （3）根据以上信息，给出下面三个结论： ①当时，A同学一直在B同学的前面： ②B同学可以得到分； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同： 上述结论中，所有正确结论的序号是______． （4）假如B同学的匀速跑速度不变，且在时恰好跑了，则B同学可以得到______分． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点． （1）若，求m的值（用含a的式子表示）； （2）若对于，都有，求a的取值范围． 24. 已知E为正方形内部一点，且满足，连接，，． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，将线段绕点C顺时针旋转到线段，连接，射线交线段于点M． ①依照意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 四、附加题（共20分） 25. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，分别为，中点，连接，，，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 26. 已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于（ ） A. 9 B. 6 C. D. 27. 已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是______． 28. 如图，M是等腰直角三角形的边的中点，且，P是平面内一动点，且与点M之间的距离为1，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为______． 29. 在平面直角坐标系中，对于图形M，线段和点C，若在图形M上存在点P，使线段的中点在线段上，则称C为图形M关于线段的“扩充点”． （1）如图，点，，在点，，中，关于线段的“扩充点”是______； （2）已知点，，，，其中，直线：． ①H是直线l上的一个动点，当，，时，若H为四边形关于线段的“扩充点”，直接写出点H的横坐标h的取值范围； ②连接，为线段的中点，当，时，若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $