精品解析：广东省揭阳市揭西县2024-2025学年下学期八年级数学第二阶段考试题

2024-2025学年度第二学期第二阶段八年级数学试卷 （本试卷共4页，23题，满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是分式的是(　　) A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则m、n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 以下命题的逆命题为真命题的是（ ）． A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 若a=b，则a2=b2 D. 若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0 7. 若分式的值为零，则x等于（　　） A. 0 B. 2 C. D. 8. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到位置，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，边的垂直平分线交于点E，交于点D，已知，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__________． 12. 如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 13. 已知4x2+mxy+y2是完全平方式，则m的值是_____． 14. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 15. 在中，，，，以为一边作等腰直角三角形，使，连接，则线段的长为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）因式分解：． （2）求的自然数解． 17. 解方程：． 18. 先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作关于点成中心对称的，并写出点的坐标． （2）将向右平移4个单位，作出平移后的，并写出点的坐标． 20. 如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长； （2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数． 21. 如图,四边形ABCD中，∠B=90°, AB//CD，M为BC边上的一点，AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， 求证:(1) AM⊥DM; (2) M为BC的中点. 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； （3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案． 23. 【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于的角）与旋转角的关系． 【问题初探】线段绕点顺时针旋转得线段，其中点与点对应，点与点对应，旋转角的度数为，且． （1）如图（1）当时，线段、所在直线夹角为______． （2）如图（2）当时，线段、所在直线夹角为_____． （3）如图（3），当时，直线与直线夹角与旋转角存在着怎样的数量关系？请说明理由； 【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____． 【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题： （4）如图（4），四边形中，，，，，，试求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第二阶段八年级数学试卷 （本试卷共4页，23题，满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是分式的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义确定即可. 【详解】解：A选项分母是2，不含字母，是整式，不是分式，故A不符合题意； B选项分母是3，不含字母，是整式，不是分式，故B不符合题意； C选项分母是，不含字母，是整式，不是分式，故C不符合题意； D选项分母是，含有字母，是分式，故D符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了分式的定义，即形如的形式，A、B均为整式，且B中含有字母，分母中含有字母是判断分式的关键.特别注意是数字. 2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解此题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，再判断求解． 【详解】解：、，不符合因式分解的定义，故选项不符合题意； 、，右边不是积的形式，故选项不符合题意； 、，右边不是积的形式，故选项不符合题意； 、 是因式分解，故选项符合题意． 故选：D 3. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上．分别解不等式，利用数轴表示解集，即可得到答案． 【详解】解：解得， 解得， 将解集表示在数轴上： ∴不等式组的解集为， 故选：A． 5. 若，则m、n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将左边的式子展开，然后与右边的式子进行对比，从而确定和的值．本题主要考查了多项式乘法法则，熟练掌握多项式乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 6. 以下命题的逆命题为真命题的是（ ）． A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 若a=b，则a2=b2 D. 若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0 【答案】B 【解析】 【详解】解：A. 对顶角相等逆命题为:相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，故错误； B. 同旁内角互补，两直线平行的逆命题为:两直线平行，同旁内角互补，此逆命题为真命题，故正确； C. 若a=b,则的逆命题为:若，则a=b，此逆命题为假命题，故错误； D. 若a>0,b>0,则的逆命题为:若，则a>0，b>0，此逆命题为假命题，故错误. 故选B. 7. 若分式的值为零，则x等于（　　） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，∴ 不满足条件． 当时，，∴当时分式的值是0． 故选D． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 8. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到位置，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，再由平行的性质得到，即可得到是等腰三角形，得到即可得到答案。 【详解】解：，在同一平面内，将绕点A旋转到位置， ， ， ， ， ， ． 故选B． 9. 如图，中，边的垂直平分线交于点E，交于点D，已知，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据三角形的周长得到，再由垂直平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：的周长为， ， ， ， 边的垂直平分线交于点E，交于点D， ， ． 故选C． 10. 已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组，然后根据有6个整数解，求出a的取值范围即可； 【详解】解不等式组得， ∵不等式组有6个解，0，-1，-2，-3，-4，-5 ∴． 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解的知识点，准确分析是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取a，再根据平方差公式即可因式分解. 【详解】 故填：. 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知公式法与提取公因式法因式分解. 12. 如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线交点横坐标，找出直线在上方时对应的的取值范围即可． 【详解】解：已知两直线交于点，结合图象可知，在交点右侧（即时），直线位于直线的上方，因此不等式的解集为 ． 13. 已知4x2+mxy+y2是完全平方式，则m的值是_____． 【答案】±4 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值． 【详解】解：∵4x2+mxy+y2是完全平方式， ∴m=±4． 故答案为：±4． 【点睛】本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握完全平方公式进行求解． 14. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 15. 在中，，，，以为一边作等腰直角三角形，使，连接，则线段的长为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形，勾股定理，解题的关键是分两种情况：当点、在的两侧时；当点、在的同侧；然后分别进行计算，即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点、在的两侧时，如图：延长交于点， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，； 当点、在的同侧时，如图：过点作，交的延长线于点， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，； 综上所述，线段的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）因式分解：． （2）求的自然数解． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解不等式组． （1）整理后，利用提公因式分解即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的原则求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：； 由②得：， ∴不等式组的解集为． ∴不等式组的自然数解为． 17. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．先去分母，得到整式方程，解整式方程，再检验即可求解． 【详解】解：去分母得， 解得， 经检验，是原方程的增根． 故原方程无解． 18. 先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，2. 【解析】 【详解】分析：首先对括号内的式子进行通分相减，把除法转化为乘法运算． 本题解析：原式= = ∵ ，且 x为整数 ， ∴若使分式有意义， 只能取和1. 当x =1时，原式=2. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作关于点成中心对称的，并写出点的坐标． （2）将向右平移4个单位，作出平移后的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标为． （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了中心对称作图，平移作图，熟练掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键： （1）根据中心对称的性质作图，直接根据点的位置确定坐标； （2）根据平移的性质作图，直接根据点的位置确定坐标 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长； （2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数． 【答案】（1）20cm；（2）40° 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可求的AB的长等于△CMN得周长； （2）根据垂直的性质可知∠CDF=∠CEF=90°，然后根据四边形的内角和求得∠ACB=110°，再根据三角形的内角和求得∠A+∠B=70°，最后根据垂等腰三角形的性质可求得结论． 【详解】解：（1）∵DM垂直平分AC， ∴AM=CM， ∵EN垂直平分BC，∴BN=CN， ∴C△CMN=CM+CN+MN= AM+BN+MN=AB=20cm． （2）∵DM⊥AC，EN⊥BC， ∴∠CDF=∠CEF=90°， ∵∠MFN=70°， ∴∠ACB=110°， ∴∠A+∠B=70°， ∵AM=CM，BN=CN， ∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， ∴∠ACM +∠BCN =70°， ∴∠MCN=110°-70°=40°． 21. 如图,四边形ABCD中，∠B=90°, AB//CD，M为BC边上的一点，AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， 求证:(1) AM⊥DM; (2) M为BC的中点. 【答案】 证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAD＋∠ADC＝180°， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°， ∴∠MAD＋∠ADM＝90°， ∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM； （2）作MN⊥AD交AD于N， ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM， ∴BM＝CM，即M为BC的中点． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD＋∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD＋∠ADM＝90°，求出∠AMD＝90°，根据垂直的定义得到答案； （2）作MN⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理以及角平分线的性质，掌握平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； （3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）1600，2000； （2）有7种，当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元 （3）当时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大；当时，每种进货方案的总利润都一样． 【解析】 【分析】（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为元，根据“商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答； （2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，表示出总利润，根据题意得：求出x的取值范围，根据x为正整数，所以，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润； （3）当电冰箱出厂价下调元时，则利润，分两种情况讨论：当；当；利用一次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元； 【小问2详解】 解：设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元， 则，且， 解得：， ∵x为正整数， ∴，35，36，37，38，39，40， ∴合理的方案共有7种，即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台； ∵，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为：（元）， 答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元； 【小问3详解】 解：当厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变， 则利润， 当，即时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台； 当，即时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台； 当，即时，，此时每种进货方案的总利润都一样． 答：当时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大；当时，每种进货方案的总利润都一样． 【点睛】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，方案设计．根据找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 23. 【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于的角）与旋转角的关系． 【问题初探】线段绕点顺时针旋转得线段，其中点与点对应，点与点对应，旋转角的度数为，且． （1）如图（1）当时，线段、所在直线夹角为______． （2）如图（2）当时，线段、所在直线夹角为_____． （3）如图（3），当时，直线与直线夹角与旋转角存在着怎样的数量关系？请说明理由； 【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____． 【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题： （4）如图（4），四边形中，，，，，，试求的长度． 【答案】（1）90°； （2）60°； （3）直线与直线所夹的锐角与旋转角互补， 理由：延长，交于点 ∵线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴直线与直线所夹的锐角与旋转角互补； 形成结论：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补； （4）. 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线如图1，延长DC交AB于F，交BO于E，可以通过旋转性质得到AB=CD，OA=OC，BO=DO，证明△AOB≌△COD，进而求得∠B=∠D得∠BFE=∠EOD=90° （2）通过作辅助线如图2，延长DC交AB于F，交BO于E，同（1）得∠BFE=∠EOD=60° （3）通过作辅助线如图3，直线与直线所夹的锐角与旋转角互补， 延长，交于点通过证明得，再通过平角的定义和四边形内角和定理，证得； 形成结论：通过问题（1）（2）（3）可以总结出旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补； （4）通过作辅助线如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点，可得，进一步得到△BDF是等边三角形，，再利用勾股定理求得. 【详解】（1）解：（1）如图1，延长DC交AB于F，交BO于E， ∵α=90° ∴∠BOD=90° ∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD， ∴AB=CD，OA=OC，BO=DO ∴△AOB≌△COD（SSS） ∴∠B=∠D ∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF ∴∠BFE=∠EOD=90° 故答案为90° （2）如图2，延长DC交AB于F，交BO于E， ∵α=60° ∴∠BOD=60° ∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD， ∴AB=CD，OA=OC，BO=DO ∴△AOB≌△COD（SSS） ∴∠B=∠D ∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF ∴∠BFE=∠EOD=60° 故答案为60° （3）略 （4）将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点， ∴旋转角为， ∴，，， ∴△BDF是等边三角形， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $