广东省揭阳市2024-2025学年高二下学期期末教学质量测试数学试卷

★开封前注意保密 揭阳市2024—2025学年度高中二年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若抛物线的准线为直线，且交圆于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数是的一个零点，则当时，的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 某次马拉松比赛活动中，甲，乙，丙，丁四位志愿者派往三个物资发放点，若每个物资发放点至少派一位志愿者，且每位志愿者只能派往一个物资发放点，则在甲被派去物资发放点的条件下，甲，乙被派去同一个物资发放点的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，对任意，总有成立，且当时，．设，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是递减数列 D. 若，则的最大值是 10. 已知双曲线，其左、右焦点分别是，过点的直线与交于，两点，则（ ） A. 的离心率为 B. 当的倾斜角为时， C. 直线的斜率可以为 D. 上存在点，使 11. 用半径为的圆形铁皮剪出圆心角为的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成一个圆锥形容器，底面圆的半径为．则下列说法正确的是（ ） A. 当，且圆锥的侧面积为时，圆锥的体积 B. 当，且圆锥的侧面积为时，过圆锥的顶点所作的截面中，截面面积的最大值为 C. 当，且圆锥的侧面积为时，圆锥能在棱长为的正四面体内任意转动 D. 当时，圆锥的体积最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则______． 13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为______． 14. 如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中（每条移动路线都是等可能的），经过数字的概率记为，则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若边上的高为1，求的周长． 16. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，，，． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求的极小值； （2）若． （ⅰ）讨论的单调性； （ⅱ）当时，设的极大值是，求证：． 18. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． （1）求的标准方程； （2）已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； （3）过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 19. 若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成的集合为． （1）若是项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； （2）已知，且与是两个不同的数列，定义离散型随机变量其中，且． （ⅰ）求取到最大值时的值； （ⅱ）求随机变量的分布列，并证明：当时，． ★开封前注意保密 揭阳市2024—2025学年度高中二年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 5 ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：底面是等腰梯形，， ，． 所以，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，且，且平面，所以平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （ⅰ）当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； （ⅱ）由（ⅰ）可得当时，在上单调递减，在，上单调递增； 故时，取得极大值，故， ， 因为，所以， 令得，解得，即， 令得，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故. 【18题答案】 【答案】（1）； （2） ； （3） 依题意，蒙日圆的方程为：， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：或， 直线与的交点为或，则； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 由消去并整理得：， 则，即，设， 由消去并整理得：， ，， 则 ， 所以为定值. 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ii）分布列为，证明： 因为， 所以 ，即， 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $