精品解析：山东省烟台市2024-2025学年高一下学期期末学业水平诊断数学试题

2024~2025学年度第二学期期末学业水平诊断 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 2. 若一水平放置的正方形的边长为2，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是（ ） A B. 2 C. D. 4 3. 已知一圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则其母线长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 若数据，，，，，，，的分位数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为．若甲、乙两人各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知正三棱台上、下底面的边长分别为，，体积为，则其侧棱的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 有个人在一座层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则恰有两个人在同一层离开电梯的概率为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 D. 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 10. 袋子中有个大小、质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中任取个球，设事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球至多有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”，“取出的个球全是红球”，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与互对立事件 C. 事件与相互独立 D. 事件与相互独立 11. 如图，在棱长为的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，点在线段上运动，则（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 若，则过，，的平面截正方体底面所得交线的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从，，，，中随机选个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为________． 13. 已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为、方差为，乙校高一学生成绩的平均数为、方差为，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的平均数为________，方差为________． 14. 已知点，，，在半径为的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解新能源汽车充电情况，某数学兴趣小组在社区内随机抽测了一定数量的新能源汽车的充电时长（单位：分钟），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）试估计该社区内新能源汽车充电时长的平均值； （3）现用比例分配分层随机抽样方法从充电时长在上的样本中抽取n个样本数据，若在上抽取了6个样本数据，求n的值． 16. 某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动．已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示： 参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲 参加环境保护知识宣讲 人 人 未参加环境保护知识宣讲 人 人 （1）从该班随机选取名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率； （2）已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的名学生中，有名男生和名女生．现从这名学生中随机选取人作为主讲人，求选取的人中恰有名男生和名女生的概率． 17. 如图，在多面体中，面为矩形，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）设为中点，求证：平面． 18. 某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型．个人赛中，每位选手回答随机给出的个题目，若答对不少于个题目，则其个人赛挑战成功．团队赛中，名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目．每个团队可自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人都答对，则该小组挑战成功，若两小组至少有一组挑战成功，则该团队挑战成功． （1）某选手参加个人赛，若其前两个题答对的概率均为，后两个题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响，求该选手个人赛挑战成功的概率； （2）假设某团队的每位选手答对甲、乙两题的概率分别为，，若对任意，均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，求的取值范围． 19. 如图，在三棱锥中，，且． （1）判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）若二面角的正切值为，求的长度； （3）若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期末学业水平诊断 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的计算公式直接计算. 【详解】设数据，，，的平均数为， 则方差， 即； 则数据，，，的平均数为， 则方差， 故选：C. 2. 若一水平放置的正方形的边长为2，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由求解. 【详解】解：因为一水平放置的正方形的边长为2，且， 所以其直观图的面积是， 故选：A 3. 已知一圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则其母线长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，结合弧长公式进行求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得. 故选：B. 4. 若数据，，，，，，，的分位数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数概念直接得解. 【详解】由， 则数据的分位数为， 解得， 故选：A. 5. 甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为．若甲、乙两人各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件概率的乘法公式及互斥事件概率加法公式分别计算. 【详解】由题意得， 故选：A. 6. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面，面面关系的判定定理与性质定理可判断A，B；通过作图举反例可说明C错误；利用线面垂直的性质即可判断D正确. 【详解】对于A，由，可得或相交或异面，故A错误； 对于B，由，可得或，故B错误； 对于C，如图，长方体中，取平面为平面，平面为， 为直线，则，，但是得不到，故C错误； 对于D，由线面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行.可判断D正确. 故选：D. 7. 已知正三棱台的上、下底面的边长分别为，，体积为，则其侧棱的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式可得棱台的高，进而可得侧棱长度. 【详解】 如图所示， 设三棱台的上下底面中心分别为，， 由正三棱台性质可知，， 且，，，， 体积, 解得， 则侧棱， 故选：B. 8. 有个人在一座层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则恰有两个人在同一层离开电梯的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式直接计算. 【详解】由已知个人离开电梯的情况数共有种情况， 其中满足恰有两个人在同一层离开电梯的情况数为种情况， 由古典概型的概率公式可知， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 D. 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面、棱锥、棱台、棱柱的性质分别判断各选项. 【详解】A选项：当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面，A选项错误； B选项：由正棱锥的性质可知正棱锥的各侧面为全等的等腰三角形，B选项正确； C选项：由棱台的性质可知三棱台的各侧棱所在直线相交于一点，C选项正确； D选项：由平行六面体的定义可知，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，D选项正确； 故选：BCD. 10. 袋子中有个大小、质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中任取个球，设事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球至多有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”，“取出的个球全是红球”，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与互为对立事件 C 事件与相互独立 D. 事件与相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件及相互独立事件的概念分别判断. 【详解】A选项：事件“取出的个球既有红球又有黄球”，“取出的个球全是红球”不能同时发生，两事件互斥，A选项正确； B选项：事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球全是红球”，能同时发生，所以两事件不是对立事件，B选项错误； C选项：事件“取出的个球至多有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”， 则，，即两事件相互独立，C选项正确； D选项：事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”， ，，即两事件不是相互独立，D选项错误； 故选：AC. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，点在线段上运动，则（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 若，则过，，的平面截正方体底面所得交线的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直证明线线垂直可判断A选项，利用定义法求得异面直线夹角余弦值可判断B选项，根据三棱锥体积公式直接计算体积可判断C选项，作出截面，可得交线长度，即可判断D选项. 【详解】 A选项：如图所示，连接，，，，易知，，且，，平面， 则平面， 又平面，则， 同理， 又，且，平面， 由平面，所以，A选项正确； B选项：连接，取与中点与，连接，，，易知，， 则直线与所成角的平面角为或其补角， 在中，，，， 则， 即直线与所成角的余弦值为，B选项错误； C选项：如图所示，由正方体性质可知平面， 则点到平面的距离即为， 则三棱锥体积，C选项正确； D选项：如图所示，延长，分别交直线于点，， 则， 过点作直线分别交，于点，， 由，且， 则， 连接，，分别交，于点，， 则，即，则，， 同理，， 则，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从，，，，中随机选个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法表示古典概型的概率. 【详解】从，，，，中随机选个不同的数， 有，，，，，，，，，，共种情况； 其中满足和为偶数的有，，，，共种情况， 即概率为， 故答案为：. 13. 已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为、方差为，乙校高一学生成绩的平均数为、方差为，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的平均数为________，方差为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平均数与方差公式直接计算. 【详解】由已知可得平均数为， 方差为， 故答案：，. 14. 已知点，，，在半径为的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三棱锥外接球的性质及三棱锥体积公式可得解. 【详解】 如图所示，设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为， 由，， 则， 即， 且， 所以外接圆半径为， 则， 所以当点在的延长线上时，三棱锥的体积最大， 此时三棱锥的高为， 即三棱锥体积， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解新能源汽车充电情况，某数学兴趣小组在社区内随机抽测了一定数量的新能源汽车的充电时长（单位：分钟），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）试估计该社区内新能源汽车充电时长的平均值； （3）现用比例分配的分层随机抽样方法从充电时长在上的样本中抽取n个样本数据，若在上抽取了6个样本数据，求n的值． 【答案】（1） （2）65 （3）34 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积之和为1，建立方程求得； （2）根据频率分布直方图求平均数公式求解； （3）利用分层抽样确定，，上的样本数据的比例，进而求得答案. 【小问1详解】 由题意知，， 解得. 【小问2详解】 ， 所以该社区内新能源汽车充电时长的平均值为65. 【小问3详解】 充电时长在，，上的样本数据的比例为 ， 因为在上抽取了6个样本数据， 故在，上应分别抽取12，16个样本数据， 所以. 16. 某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动．已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示： 参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲 参加环境保护知识宣讲 人 人 未参加环境保护知识宣讲 人 人 （1）从该班随机选取名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率； （2）已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的名学生中，有名男生和名女生．现从这名学生中随机选取人作为主讲人，求选取的人中恰有名男生和名女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式直接计算； （2）利用列举法计算古典概型概率. 【小问1详解】 由题意知，至少参加一项活动的学生人数为：， 班级学生总数为． 因此，该学生至少参加一项活动的概率； 小问2详解】 设名男生分别为，，，；名女生分别为，， 记这名学生中随机选取的人为和，则可用表示样本点， 样本空间，且， 记事件“选取的人中恰有名男生和名女生”，则 ，， 因为中每一个样本点的可能性都相等，所以． 17. 如图，在多面体中，面为矩形，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）设为中点，求证：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理可证线线垂直，进而证明线面垂直与面面垂直； （2）连接，设，连接，根据中位线可证线线平行，即可构造平行四边形，根据线线平行可证线面平行. 【小问1详解】 连接， 四边形为矩形，且，， ， 有，， ，即， 又，且，，平面， 平面， 平面， 平面平面； 【小问2详解】 连接，设，连接， 易知点为中点， 点为中点， ，且， 又，， ，且， 则四边形为平行四边形， 即， 平面，且平面， 平面. 18. 某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型．个人赛中，每位选手回答随机给出的个题目，若答对不少于个题目，则其个人赛挑战成功．团队赛中，名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目．每个团队可自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人都答对，则该小组挑战成功，若两小组至少有一组挑战成功，则该团队挑战成功． （1）某选手参加个人赛，若其前两个题答对的概率均为，后两个题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响，求该选手个人赛挑战成功的概率； （2）假设某团队的每位选手答对甲、乙两题的概率分别为，，若对任意，均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式直接计算； （2）根据独立事件概率的乘法公式分别计算概率，结合二次函数性质可得解. 【小问1详解】 设“选手甲答对第个题”（，，，），“该选手个人赛挑战成功”， 由题意，，且，，，相互独立． ， ， ， ， 所以 ； 【小问2详解】 设“该团队回答甲题的小组的第个选手答对甲题”，“该团队回答乙题的小组的第个选手答对乙题”，则，，，． 设该团队选择方式参赛时挑战成功的概率为， 则 ， ， 于是， 令， 则对，恒有， 因为抛物线的开口向上，且对称轴， 所以在上单调递减， 若，只需， 解得，或， 又，所以，即的取值范围为． 19. 如图，在三棱锥中，，且． （1）判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）若二面角的正切值为，求的长度； （3）若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）与不垂直，理由见解析 （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）假设，得到线面垂直，，由三角形全等得到，于是，与矛盾，得到结论； （2）作出辅助线，证明出线面垂直，为二面角的平面角，设，表达出各边长，利用得到方程，解得，求出，，由勾股定理得到方程，求出； （3）作出辅助线，由（2）知平面，设，则点E到平面的距离，又，设与平面所成角的大小为θ，则，变形后，利用函数单调性求出取值范围，得到答案. 【小问1详解】 直线与不垂直，理由如下： 事实上，假设，又，，平面， 所以平面．又平面，所以． 在和中，，， 所以，所以． 于是，与矛盾． 所以，假设不成立，即与不垂直； 【小问2详解】 设点A在平面内的射影为O，在平面内，过点O作，垂足为P， 连接，因为底面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角．即， 所以， 点O作，垂足为Q，连接，同理可得． 在中，，， 故∽，所以，即， 解得，． 连接并延长交于点F， 因为为边长为2的等边三角形，， 故，则F为的中点，且． 设，在中，，，， 因为，所以，由勾股定理得， 在中，． 因为，所以，解得． 其中， 此时，所以． 【小问3详解】 由已知，点A在底面的射影O在的角平分线上． 在平面内，过点O作，垂足为P． 连接，在平面内，过点O作， 由（2）知，平面，又平面，所以． 又，所以平面． 易得，，，， ． 设，则点E到平面的距离，， 又， 设与平面所成角的大小为θ，则， 因为，， 当时，取得“”． 所以，与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $