精品解析：甘肃省兰州市第七十八中学（中国科学院兰州分院中学）2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题 

2024-2025学年第二学期期末试卷七年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共11小题，每题3分，共33分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称汉字； B选项中的汉字能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称汉字； 故选：B． 2. 气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 3. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则运用概率公式得出恰好选中《算学启蒙》的概率，即可作答． 【详解】解：∵某中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容， ∴恰好选中《算学启蒙》的概率是， 故选：C 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式除以单项式、积的乘方、单项式乘以多项式和完全平方公式分别计算，进而即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 5. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用； 根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5， ∴第三边，即第三边， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为， 故选：B． 6. 如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵， ∴福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B． 7. 如图，在中，已知，，D为边上一点，且．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，外角定理等．根据题意可得，再利用角度计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C. 有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：由题意可知：，，， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是和不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：． 9. 如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，根据长方形的面积和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为， 第二个图形的面积为， ∴， 故选：C． 10. 如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作DH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得DH=DP=4，再根据三角形的面积即可求出结果． 【详解】解：过点D作DH⊥OB于点H，如图， ∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB， ∴DH=DP=4， ∴△ODQ的面积=． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 11. 如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A. 4 B. 4或12 C. 4或16 D. 5或12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 根据图象求出和，再分析当点P在上运动时，当点P在上运动时的的高为4，据此求出x的值即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 综上，x的值为4或12． 故选：B． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 12. 等腰三角形的一个角是，那么它的底角度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，学会运用分类讨论的思想解决问题．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 首先要讨论的角是顶角还是底角，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角． 【详解】解：当等腰三角形的顶角为时，则底角等于； 当等腰三角形的底角为时，则底角等于， 则它的底角的度数是或． 故答案为：或． 13. 如果多项式的计算结果中不含项，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的无关项问题，掌握无关项的系数就是其系数为零成为解题的关键． 先运用多项式乘多项式的运算法则计算，然后让的系数为零，据此列出关于k的方程求解即可． 【详解】解： ， ∵该计算结果中不含项， ∴，解得． 故答案为：． 14. 如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，进而得到的周长为，根据的面积求出的长度，进而求出的周长的最小值． 【详解】解：连接， ∵腰的垂直平分线分别交边于F，E点， ∴， ∴的周长为， ∴周长的最小值为， ∵等腰三角形，点D为边的中点， ∴，， ∵，即， ∴解得， ∴周长的最小值为． 故答案为：8． 三、解答题（共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： ． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查单项式的乘除法．根据单项式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式和去括号计算，然合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）在直线l上找一点P，使的值最小． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）点即为所求： 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点A与点关于y轴对称， 此时的值最小． 20. 4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： （1）图中的自变量是______，因变量是______； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是______分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； （4）图中a表示的数是______；b表示的数是______； （5）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】（1）操控无人机的时间t，无人机的飞行高度h （2）5 （3）25 （4）2，15 （5）第14分钟时无人机的飞行高度是25米 【解析】 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解题的关键是看懂图象中数据，结合路程速度时间进行计算． （1）根据数量变化关系直接判断即可得到答案； （2）根据图象直接计算即可得到答案； （3）根据分钟图象数据求解即可得到答案； （4）根据（3）中的速度代入行程公式即可得到答案； （5）根据行程公式求出下降路程，进而即可得到答案. 【小问1详解】 解：由题意可得， ∵无人机高度随时间变化而变化， ∴自变量是操控无人机的时间（或t），因变量是无人机的飞行高度（或h）， 故答案为：操控无人机的时间t，无人机的飞行高度h； 【小问2详解】 解：由图象可得， 分钟无人机在米高的上空停留， ∴无人机在米高的上空停留的时间是：分钟， 故答案为：5； 【小问3详解】 解：由分钟图象可得， 无人机的速度为：（米/分钟）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由（3）可得， ，， 解得：，， 故答案为：2，； 【小问5详解】 解：由（3）可得， ， ∴第分钟时无人机的飞行高度是：（米）， 答：第分钟时无人机的飞行高度是米． 21. 某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖． （1）若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为______； （2）若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为______； （3）小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：应选择方式二，理由如下： 采用方式一，（“6”朝上）， 采用方式二，指针指向的数字为3的倍数有3，6，9，12，共4个， ∴（指针指向的数字为3的倍数）， ∵， ∴方式二获奖机会大， ∴选方式二． 【解析】 【分析】（1）根据概率的计算公式，易得标有数字“5“的面数，进而与总面数相比可得答案； （2）根据概率的计算公式，易得标有数字“5“的面数，进而与总面数相比可得答案； （3）分别求出两种摇奖方式的获奖概率，然后比较即可． 【小问1详解】 解：∵正二十面体形状的骰子，5个面标有“5”， ∴“5”朝上的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵一个均匀的转盘被等分成12份，数字为“5”的个数为1， ∴“5”朝上的概率为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了概率在游戏中的应用，根据题意确定两种摇奖方式的获奖概率是解答本题的关键． 22. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，试求的长． 【答案】（1） 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵，垂足为D，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴， ∴； （2）32 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 24. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 共边黄金三角形 在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边所对的相等的角称为“黄金角”．如图1，，则与是“共边黄金三角形”． 任务： （1）如图2，与是“共边黄金三角形”，，，则与的“黄金角”的度数为________； （2）如图3，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 【答案】（1） （2） 解：∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵与是“共边黄金三角形”， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了新定义、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据共边黄金三角形的定义得出，再结合，则，即可作答． （2）先由角的平分线的定义得出，然后证明，得，再运用共边黄金三角形的定义，得出，即可作答． 【小问1详解】 解：∵与是“共边黄金三角形”， ， ∴， ∵， ∴ ∴则与的“黄金角”的度数为． 【小问2详解】 略 25. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：___________；图2：___________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （1）已知，，求的值； （2）已知，求值． 拓展运用：如图3，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是和．若，，求Rt△ACF的面积．（用S，m表示） 【答案】问题呈现：； ． 数学思考：（1）的值为． （2）的值为4052．拓展运用：． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算--化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． 问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答； 数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； 拓展运用：设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：图1：；图2：． 数学思考： （1）∵，， ∴ ， ∴的值为． （2）设，， ∴． ∵， ∴． ． ∴的值为4052． 拓展运用： 设，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ． 26. 【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在中，，以为斜边作直角三角形，点在边同侧，与交于点，连接，过于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】（1）如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明的完整过程． 【实践应用】（2）的大小为___________度； （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 【答案】[解决问题] 证明：在上截取， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． [实践应用]（2）135，（3）27 【解析】 【分析】（1）证明，后等量代换解答即可． （2）根据，角的和，等腰直角三角形的性质，计算的大小即可； （3）根据题意，证明，得到，再结合图形得到解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对顶角的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期末试卷七年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共11小题，每题3分，共33分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 6. 如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等 7. 如图，在中，已知，，D为边上一点，且．则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C. 有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 9. 如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A. 4 B. 4或12 C. 4或16 D. 5或12 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 12. 等腰三角形的一个角是，那么它的底角度数为______． 13. 如果多项式的计算结果中不含项，则k的值为__________． 14. 如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为______． 15. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 三、解答题（共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）在直线l上找一点P，使的值最小． 20. 4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： （1）图中的自变量是______，因变量是______； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是______分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； （4）图中a表示的数是______；b表示的数是______； （5）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 21. 某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖． （1）若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为______； （2）若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为______； （3）小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由． 22. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，试求的长． 23. 如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的周长． 24. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 共边黄金三角形 在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边所对的相等的角称为“黄金角”．如图1，，则与是“共边黄金三角形”． 任务： （1）如图2，与是“共边黄金三角形”，，，则与的“黄金角”的度数为________； （2）如图3，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 25. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：___________；图2：___________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （1）已知，，求的值； （2）已知，求值． 拓展运用：如图3，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是和．若，，求Rt△ACF的面积．（用S，m表示） 26. 【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在中，，以为斜边作直角三角形，点在边同侧，与交于点，连接，过于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】（1）如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明的完整过程． 【实践应用】（2）的大小为___________度； （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $