精品解析：天津市西青区杨柳青第四中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年天津市西青区杨柳青四中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 3. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式（ ） A B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （1，2） B. （1，） C. （，2） D. （，） 6. 由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线x＝4 C. 其顶点坐标为（4，2） D. 当x＞3时，y随x的增大而增大 7. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面首角坐标系中，点A，C在x轴上，点C坐标为，．将先绕点C顺时针旋转，则变换后点A的对应点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线经过点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ） A. B. C. D. 11. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. B. 5 C. 7 D. 3 12. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：；；；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，共36.分） 13. 一元二次方程x2﹣16＝0的解是_____． 14. 若是方程的一个根，则_____． 15. 将抛物线向上平移3个单位长度，所得解析式是___． 16. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人． 17. 抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则当时，x的取值范围是______． 18. 如图，A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为．小明发现线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕将某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （I）______． （II）写出旋转中心的坐标是______． 三、解答题（本大题共7小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作关于坐标原点成中心对称的； （2）的坐标为____________，的坐标为____________． 21. 已知二次函数 （1）用配方法把该函数解析式化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求函数图象与x轴的交点坐标． 22. 已知抛物线的顶点为，且与y轴交于点，求这个二次函数的解析式． 23. 某商品现在的售价是每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．已知该商品的进价是每件40元． 设该商品每件涨价x元（0≤x≤30）． （1）根据题意填写表： 售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元） 现 60 20 300 20×300＝6000 涨价后 60+x 20+x 　 　 　 　 （2）若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？ 24. 如图1，在中，，，D上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，求的长． 25. 如图，抛物线经过三点． （1）求b，c值； （2）点P在抛物线上，当，求点P的坐标； （3）在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年天津市西青区杨柳青四中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的定义是解题的关键,本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义“如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合，这个图形是中心对称图形”进行判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义“如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合，这个图形是中心对称图形”可判断A，C，D选项的图形不是中心对称图形，B选项的图形是中心对称图形． 故选：B． 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角．由旋转的性质可知，可算出，就可以算出旋转角． 【详解】解：由旋转的性质可知：，是旋转角， ， ， ， 故选：D． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题时首先进行移项，变形成，两边同时加上4，则把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数移项到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （1，2） B. （1，） C. （，2） D. （，） 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（，2）， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是明确二次函数顶点式的顶点坐标为． 6. 由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线x＝4 C. 其顶点坐标为（4，2） D. 当x＞3时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线解析式可得其开口方向、对称轴、最值及增减性，可求得答案． 【详解】解：， a=3>0，抛物线开口向上，故不正确； 对称轴为，故正确； 顶点坐标为（4，-2），故不正确； 当时，随的增大而增大，故不正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴．a决定了开口方向. 7. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据该企业某月份的生产总值以及经过两个月连续降低的生产总值，即可得到关于的一元二次方程，进而得到本题的正确选项． 【详解】解：依题意可得：， 故选． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题相关知识点，找出等量关系正确列出方程是解题的关键． 8. 如图，在平面首角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为，．将先绕点C顺时针旋转，则变换后点A的对应点坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转变换的性质即可得到旋转变换后点A的对应点坐标． 【详解】解：∵点C的坐标为，， ∴点A的坐标为， 如图所示，将先绕点C顺时针旋转， 则点A的对应点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化—旋转，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 9. 已知抛物线经过点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，开口向上，根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：抛物线 ，开口向上，对称轴为 ∴当时，随的增大而增大 又∵ ∴ 故选B 【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关系式，令求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴小球从飞出到落地的所用时间为， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单． 11. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. B. 5 C. 7 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选A 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 12. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：；；；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：由题意，由图象可得，，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故错误，正确； 又由图象知，当时，， ∴，故错误； ∵二次函数与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故正确， 综上，正确的有：． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，共36.分） 13. 一元二次方程x2﹣16＝0的解是_____． 【答案】x1＝﹣4，x2＝4 【解析】 【分析】直接运用直接开平方法进行求解即可. 【详解】解：方程变形得：x2＝16， 开方得：x＝±4， 解得：x1＝﹣4，x2＝4． 故答案为：x1＝﹣4，x2＝4 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是解答本题的关键. 14. 若是方程的一个根，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解．把代入即可求解． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 15. 将抛物线向上平移3个单位长度，所得解析式是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握图象的平移法则是关键．根据抛物线的平移法则解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度得到． 故答案为：． 16. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人． 【答案】12 【解析】 【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解 【详解】解：设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x=169 解得：x=12或x=-14（舍去）． ∴平均一人传染12人． 故答案为：12． 【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 17. 抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则当时，x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 由图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 18. 如图，A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为．小明发现线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕将某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （I）______． （II）写出旋转中心的坐标是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（I）利用勾股定理求解即可； （II）根据点A的坐标为，建立如图所示的平面直角坐标系，分两种情形，当点A和C，点B和D为对应点或点A和D，B和C为对应点，分别找出旋转中心即可． 【详解】解：（I）， 故答案为：； （II）根据点A的坐标为，建立如图所示的平面直角坐标系， 当点A和C，点B和D为对应点时， 如图点O为旋转中心，坐标为， 当点A和D，B和C为对应点时， 如图点为旋转中心，坐标为， 综上：旋转中心的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化-旋转，点坐标间的距离，解题的关键是理解题意，运用分类讨论来解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共7小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， 这里，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得：，． 20. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作关于坐标原点成中心对称的； （2）坐标为____________，的坐标为____________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别作出点、点和点关于原点的对称点顺次连接各点即可得到图形； （2）直接根据图形写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：由图得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作中心对称图形，利用中心对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 21. 已知二次函数 （1）用配方法把该函数解析式化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1），对称轴为直线，顶点坐标为 （2）函数图象与x轴的交点坐标为， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）令求出x，即可得到函数图象与x轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，即， 解得：，， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，． 22. 已知抛物线的顶点为，且与y轴交于点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设顶点式为，然后再进行求解即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为，则把点代入得： ， ∴， ∴该二次函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 23. 某商品现在的售价是每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．已知该商品的进价是每件40元． 设该商品每件涨价x元（0≤x≤30）． （1）根据题意填写表： 售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元） 现在 60 20 300 20×300＝6000 涨价后 60+x 20+x 　 　 　 　 （2）若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？ 【答案】（1）； （2）该商品每件应涨价2元或8元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可求解； （2）根据（1）的结论，结合题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得：该商品每件涨价x元时，每件利润为元，每周销量为件，每周利润为元． 故答案为：；． 【小问2详解】 依题意得：＝6160， 整理得：， 解得：． 答：该商品每件应涨价2元或8元． 【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意列出代数式以及方程是解题的关键． 24. 如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，求得，判定全等即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：由旋转可得：，， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴由（1）可知， 在中， 由勾股定理，得， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理，得． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键． 25. 如图，抛物线经过三点． （1）求b，c的值； （2）点P在抛物线上，当，求点P的坐标； （3）在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案； （2）先求出，再利用三角形面积公式得到，则，据此求解即可； （3）如图所示．连接，由抛物线的对称性可知，则当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，求出直线的解析式为，抛物线对称轴为直线，在中，当时，，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，，当时，解得或， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或； 在中，当时，此时方程无解； ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图所示．连接， 由抛物线对称性可知， ∴， ∴当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合等等，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$