精品解析：2026年黑龙江哈尔滨市部分学校中考考前模拟测试数学试题

2026年哈尔滨市初中升学考试模拟试题（四） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线经过点，下列各点在此双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，绕点A顺时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 不透明袋中装有5个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无差别，从袋中随机摸出一个小球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，D、E分别为边上的点，， 与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是 A. 他离家8km共用了30min B. 他等公交车时间为6min C. 他步行的速度是100m/min D. 公交车的速度是350m/min 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 将数据用科学记数法表示为______． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______ 13. 计算______． 14. 因式分解：______． 15. 不等式组的解集是______． 16. 如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 17. 一个扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，则扇形半径是______． 18. 如图，将矩形纸片沿着折叠，使得点与点重合，点A落在处，若 ，，则 的长为________． 19. 在平行四边形中，边上的高为 ，， ，则平行四边形的周长等于______． 20. 如图， 中，， ，点D、E分别在边、上，连接 、交于点F，且，则下列结论：① ；②；③ ；④若， ，则线段的长为；其中正确结论的序号是：______． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中x＝2sin60°+tan45°． 22. 如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以AB为一边的菱形ABCD，点C和点D在小正方形顶点上； （2）在图中画出以AB为斜边的直角三角形ABE，点E在小正方形顶点上，且，连接CE，请直接写出线段CE的长． 23. 哈市某中学开展以“过有意义的五一劳动节”为主题的调查活动，围绕“A：旅游、B：适当学习、C：看电影、D：在家休息”四项活动，你最喜欢哪一项进行调查（必选且只选一项），在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，再将调查结果整理后绘制成如图的不完整的统计图，其中最喜欢“看电影”的学生人数占所调查人数的，请你根据图中提供信息解答以下问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该中学共有2700名学生，请你估计该中学最喜欢在五一期间“旅游”的学生共有多少名？ 24. 已知：在中，，，是的角平分线． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形（除外）． 25. 随着中俄贸易的发展，哈市中央大街某商店购进了一批俄罗斯生产的纪念品，商店先用5000元购进一批纪念品进行试销，由于销售状况良好，商店又调拨11000元资金购进该种纪念品，但这次的进货数量是试销时的2倍，且单价每件贵了元； （1）求试销时该种纪念品每件的进价是多少元？ （2）如果该商店将该种纪念品按每件7元的定价出售，当大部分纪念品售出后，余下的纪念品每件定价为4元，商店在这两次销售中的利润不低于4100元，那么余下的纪念品最多有多少件？ 26. 已知四边形内接于，连接、，； （1）如图1，求证：是的直径； （2）如图2，点在上，连接 、 ，且，，求证： 平分； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 27. 已知，抛物线交轴正半轴于点 ，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，连接，且； （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点 为第一象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点 的横坐标为 ，的面积为 ，求 与 间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点为轴正半轴上点右侧一点，点在的延长线上，连接交于点，若，，的周长为，求点 的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年哈尔滨市初中升学考试模拟试题（四） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数和有理数的定义判断各选项，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，据此可得出答案． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． ∵是开方开不尽的数，是无限不循环小数，因此是无理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； ， 是整数，属于有理数． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则与同类项合并规则逐一判断选项即可． 【详解】解：对于A：与不是同类项，不能合并， A错误，该选项不符合题意； 对于B：根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得， B正确，该选项符合题意； 对于C：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得， C错误，该选项不符合题意； 对于D：根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得， D错误，该选项不符合题意． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断，得到答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 4. 如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的定义即可求解． 【详解】从正面看到的图形是， 即主视图是． 5. 将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平移不改变抛物线的二次项系数，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线的顶点坐标为，将顶点向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到新顶点坐标为，平移后抛物线二次项系数不变，仍为， ∴平移后抛物线的解析式为． 6. 双曲线经过点，下列各点在此双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再利用反比例函数的性质：双曲线上点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 双曲线经过点， ∴ ， ∴ 双曲线上任意点满足横纵坐标乘积为 ， 逐一验证选项： 选项，，不在双曲线上； 选项，，在此双曲线上； 选项，，不在双曲线上； 选项，，不在双曲线上； 7. 如图，绕点A顺时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，根据旋转的性质得出，，，进而利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到，，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 8. 不透明袋中装有5个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无差别，从袋中随机摸出一个小球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出袋中小球的总个数，得到所有可能的摸球结果数，再确定摸出白球的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵袋中共有 个白球， 个黑球，所有小球除颜色外无差别， ∴袋中小球总个数为 ， 从袋中随机摸出一个小球，所有可能的结果共种，其中摸出白球的结果共 种， 根据概率公式可得 ． 9. 如图，在中，D、E分别为边上的点，， 与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 10. 小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是 A. 他离家8km共用了30min B. 他等公交车时间为6min C. 他步行的速度是100m/min D. 公交车的速度是350m/min 【答案】D 【解析】 【详解】A、依题意得他离家8km共用了30min，故选项正确； B、依题意在第10min开始等公交车，第16min结束，故他等公交车时间为6min，故选项正确； C、他步行10min走了1000m，故他步行的速度为他步行的速度是100m/min，故选项正确； D、公交车（30-16）min走了（8-1）km，故公交车的速度为7000÷14=500m/min，故选项错误． 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时， 是正数． 【详解】解：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得关系式求解即可． 【详解】解：根据题意得，若函数有意义， 可得，解得． 故答案为：． 13. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式中的两个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式 ，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：  ． 15. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，再根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 16. 如图，在中， 为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 17. 一个扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，则扇形半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 18. 如图，将矩形纸片沿着折叠，使得点 与点 重合，点A落在处，若 ，，则 的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，根据性质得出相应量的值是解题的关键．勾股定理是求线段长的常用方法．根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，，然后设，表示和 ，最后根据勾股定理列出方程，再求出解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 根据折叠的性质得，，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：5． 19. 在平行四边形中， 边上的高为 ，， ，则平行四边形的周长等于______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，线段和差，根据题意分别画出图形， 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图 所示， ∵在中， 边上的高，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长等于， 如图 所示， ∵在中， 边上的高为，， ， ∴ ，， ∴， ∴， ∴的周长等于：， 则的周长等于或， 故答案为：或． 20. 如图， 中，， ，点D、E分别在边 、 上，连接 、交于点F，且，则下列结论：① ；②；③ ；④若， ，则线段 的长为；其中正确结论的序号是：______． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】设 ，则 ，利用三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质表示出与，即可判断①；对于④，设 ，利用相似三角形的性质及三角函数的定义构建关于 的方程，求出 的值，进而求出 的长；结合④的计算结果可知，仅当时结论成立，故②③不一定正确． 【详解】解： ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ，故①正确； 设 ， ， ， ， ， 由①知， ， 在中，， 过点作 于点，如图， 又 ， ， ， ， ∴， ，，， 在 中，， 在 中，， 由题意知 则 解得 ， 经检验 是原方程的解， ， ，故④正确； 当时，，， ，但题目未给定 的长度， 的度数及 与 的关系随 的变化而变化， ②③不一定正确． 综上所述，正确的为①④． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中x＝2sin60°+tan45°． 【答案】 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当x＝2×时，原式＝． 【点睛】考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22. 如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以AB为一边的菱形ABCD，点C和点D在小正方形顶点上； （2）在图中画出以AB为斜边的直角三角形ABE，点E在小正方形顶点上，且，连接CE，请直接写出线段CE的长． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质结合网格特点作图即可； （2）根据直角三角形的性质结合三角函数值作图，利用勾股定理及等腰三角形的性质即可求出CE的长． 【小问1详解】 如图，菱形ABCD即为所求； 【小问2详解】 在Rt△ABE中， ， ∵在菱形ABCD中，， 【点睛】本题考查了应用与设计作图、菱形的性质、三角函数、勾股定理等，解决本题的关键是充分利用网格特点． 23. 哈市某中学开展以“过有意义的五一劳动节”为主题的调查活动，围绕“A：旅游、B：适当学习、C：看电影、D：在家休息”四项活动，你最喜欢哪一项进行调查（必选且只选一项），在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，再将调查结果整理后绘制成如图的不完整的统计图，其中最喜欢“看电影”的学生人数占所调查人数的，请你根据图中提供信息解答以下问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该中学共有2700名学生，请你估计该中学最喜欢在五一期间“旅游”的学生共有多少名？ 【答案】（1）90名 （2） （3）720名 【解析】 【分析】（1）根据样本总数=频数÷所占百分比，求得样本总数解答即可． （2）利用频数之和等于样本总数，计算补图即可． （3）利用样本估计总体的思想，计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得最喜欢“看电影”的学生人数18人，占比为， 故． 【小问2详解】 解：根据题意，B类的人数为：（人），补全统计图略． 【小问3详解】 解：根据题意，得（人）， 答：该中学最喜欢在五一期间“旅游”的学生共有720名； 24. 已知：在中，，，是的角平分线． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点 作交 于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形（除外）． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得的度数，再由等腰三角形的判定可得结论； （2）先分别计算各个角的度数，再根据等腰三角形的判定可得答案． 【小问1详解】 证明：，， ， 是的角平分线， ， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ， ，， ，，，， 图中等腰三角形有：，，，． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 25. 随着中俄贸易的发展，哈市中央大街某商店购进了一批俄罗斯生产的纪念品，商店先用5000元购进一批纪念品进行试销，由于销售状况良好，商店又调拨11000元资金购进该种纪念品，但这次的进货数量是试销时的2倍，且单价每件贵了元； （1）求试销时该种纪念品每件的进价是多少元？ （2）如果该商店将该种纪念品按每件7元的定价出售，当大部分纪念品售出后，余下的纪念品每件定价为4元，商店在这两次销售中的利润不低于4100元，那么余下的纪念品最多有多少件？ 【答案】（1）试销时该种纪念品每件的进价是 元； （2）余下的纪念品最多有件 【解析】 【分析】（1）根据“第二次进货数量是试销时的 倍”列分式方程，求解后检验即可得到结果； （2）先计算两次购进的总数量，再根据“利润不低于4100元”列一元一次不等式，求解即可得到结果． 【小问1详解】 解：设试销时该种纪念品每件的进价是 元， 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：试销时该种纪念品每件的进价是 元； 【小问2详解】 解：试销时购进纪念品数量为（件）， 第二次购进纪念品数量为（件）， 设余下的纪念品有 件， 根据题意，得 解得， 答：余下的纪念品最多有300件． 26. 已知四边形内接于，连接 、，； （1）如图1，求证： 是的直径； （2）如图2，点在上，连接 、 ，且，，求证： 平分； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∴ 是的直径； （2）证明： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 平分； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，，，结合已知进而证明 ，从而得出 是的直径； （2）根据，结合已知得出，根据等边对等角可得，进而可得 平分； （3）延长 、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，证明，得出，，设，在中，勾股定理求得，在 中，勾股定理求得 的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长 、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ， ∵ ∴ 由（2）知， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ 又， ∴ ∴， 又∵已知， ∴ ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∵ ∴ 解得： ∴且， ∴ ∴ ∴ 27. 已知，抛物线交 轴正半轴于点 ，交 轴负半轴于点，交 轴正半轴于点 ，连接，且； （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点 为第一象限抛物线上一点，连接交 轴于点 ，设点 的横坐标为 ，的面积为 ，求 与 间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点为 轴正半轴上点 右侧一点，点在的延长线上，连接交于点，若，，的周长为，求点 的横坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正切的定义，先求得，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点 作轴于点 ，依题意，，根据正切的定义可得，进而求得，再根据三角形的面积公式，进行计算即可求解； （3）在上截取，连接交于点 ，连接，过点作轴于点 ，证明，，得出，，设，则，根据已知得出，在中，根据勾股定理建立方程，解方程求得 的值，进而得出，，，进而求得 的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，则， 将，代入得 ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点 作轴于点 ， 设点 的横坐标为 ，的面积为 ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 如图，在上截取，连接交于点 ，连接，过点作轴于点 ， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ∴ 在中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， 由（2）可得，， ∴， 整理得：， 解得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $