精品解析： 浙江省杭州市2024--2025学年七年级下学期期末数学考试试卷

初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 计算的值是（　　） A. B. C. D. 1 2. 若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A. 10 B. C. D. 13 3. 将的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值不变的是（　　） A. B. C. D. 4. 某校统计了100名学生的身高数据并分成6组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 频数 20 19 17 18 14 则第4组数据的频率为（　　） A. 0.15 B. 0.13 C. 0.12 D. 0.18 5. 如图，点、、、在同一条直线上，，，需要再补充一个条件，使．以下补充条件中，错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，、分为、的中点，过点作，垂足为，若，，则（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A. B. C. D. 8. “竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 在长方形中，，有三张边长分别为正方形纸片，蛟蛟将纸片按图①方式放置，发现其中未被纸片覆盖的阴影部分周长为，川川将纸片按图②方式放置，发现其中未被纸片覆盖的阴影部分周长为，则（　　） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在相应的空格内） 11. 使分式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 12. 因式分解：___________ 13. 已知，则___________． 14. 如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为___________． 15. 如图，的三条角平分线交于点，，若的周长为10，，则___________． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值是___________． 17. 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为___________． 18. 如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则___________． 三、解答题（本题共6小题，19~20题，每题6分，21题8分，22题8分，23题8分，24题10分，共46分） 19 （1）计算：． （2）解二元一次方程组：． 20. 先化简，再从，3，4中选取一个合适的数作为的值代入求值． 21. 为响应国家“体重管理年”政策，某校要了解七年级学生的课外锻炼情况，随机选取某班学生进行“最喜欢的一项体育运动”调查，并根据统计数据绘制了如下统计图，请解答： （1）请你补全条形统计图． （2）该校共对___________名学生进行了调查，在扇形统计图中，“跳绳”对应的圆心角为___________度． （3）若该校七年级共有600名学生，请你估计七年级学生中最喜欢游泳运动人数． 22. 2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． （1）一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ （2）“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 23. 阅读下列材料：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为：．例如：．请你运用材料回答： （1）计算：___________． （2）已知，求的值． （3）若的三边长为，满足，，求的周长． 24. 【知识链接】 对于三角形中的重要结论“在同一个三角形中，等边对等角”，我们可以构造全等三角形来证明．如图1，在中，已知，可证，蛟蛟同学的证法是：作的角平分线交于点，则，通过“边角边”证明，则．请你利用该结论继续探究： 【初步应用】 （1）在中，若，，则___________°． 破茧启思】 （2）如图2，在中，，点在上，点在上，延长线与延长线交于点外一点，与交于点，若，． ①___________．（用含的代数式表示） ②若，求． 【攀登高峰】 （3）如图3，在中，，点、分别在、延长线上，是外一点，与交于点，若，试探究的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 计算的值是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查零次幂，根据零指数幂的定义，当时，求解即可． 详解】解： ． 故选：D 2. 若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A. 10 B. C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，求出参数的值即可． 【详解】解：， ∵多项式因式分解后的结果是， ∴，， ∴， 故选：C． 3. 将的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值不变的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查了分式基本性质，根据分式的性质逐一判断即可． 【分析】解：A． 将的值均扩大为原来的2倍得：，分式的值不变； B． 将的值均扩大为原来的2倍得：，分式的值改变； C． 将的值均扩大为原来的2倍得：，分式的值改变； D． 将的值均扩大为原来的2倍得：，分式的值改变； 故选：A． 4. 某校统计了100名学生的身高数据并分成6组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 频数 20 19 17 18 14 则第4组数据的频率为（　　） A. 0.15 B. 0.13 C. 0.12 D. 0.18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频数与频率．根据频数总和为100求出第4组的频数，再将频数除以100即可计算其频率． 【详解】解：第4组的频数为， 频率为． 故选：C 5. 如图，点、、、在同一条直线上，，，需要再补充一个条件，使．以下补充条件中，错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形判定逐个即判断可得到答案． 【详解】解：A、添加，可用“”证明； B、由得到，即，可用“”证明； C、由得到，即，可以“”证明； D、添加不能证明． 故选：D 6. 如图，在中，、分为、的中点，过点作，垂足为，若，，则（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线的性质．根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形可求出，进而根据三角形的面积公式求出，根据中点即可解答． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵． 故选：B 7. 若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 将已知的毛利率公式进行等式变形，得出b的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 8. “竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，快车间每天生产量是慢车间的倍，即快车间每天生产套，原计划慢车间单独生产所需时间为天，快车间单独生产时间为天，快车间比慢车间提前10天完成，因此原计划时间减去快车间时间等于10天． 【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则慢车间单独生产时间：天，快车间单独生产时间：天， 由快车间比慢车间提前10天可得： ， 故选：B． 9. 在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：延长至点，使，则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 10. 在长方形中，，有三张边长分别为的正方形纸片，蛟蛟将纸片按图①方式放置，发现其中未被纸片覆盖的阴影部分周长为，川川将纸片按图②方式放置，发现其中未被纸片覆盖的阴影部分周长为，则（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移和整式的运算，掌握平移的性质是解题的关键． 先根据平移性质求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在相应的空格内） 11. 使分式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握要使得分式有意义，必须满足分母不等于0．根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，求解即可． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为： 12. 因式分解：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 已知，则___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，负整数指数幂．由负整数指数幂将转化为，再利用同底数幂的乘法变形，最后代值计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：16． 14. 如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，根据作图可知垂直平分，垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，最后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为：， 故答案为：9． 15. 如图，的三条角平分线交于点，，若的周长为10，，则___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点O作，，由角平分线的性质定理得出，由题意可知，最后根据计算即可． 【详解】解：过点O作，，如下图： ∵的三条角平分线交于点，， ∴，，， ∴， 根据题意可知：， ∴ 故答案：20 16. 若关于的分式方程有增根，则的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，解分式方程.去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 则， 解得：， ∵关于分式方程有增根， ∴， 即， 解得：， 故答案为：2． 17. 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将方程组可化为，然后根据题意即可得出，从而求出、的值． 【详解】解：方程组可化为， 关于、的方程组的解为， 方程组的解是， 解得， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则___________． 【答案】3或7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分两种情况讨论，当为线段上时，作于点，证明，求得，，，再证明，求得，即可求解的长；当为线段上时，同理求解即可． 【详解】解：当为线段上时，作于点， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 当为线段上时，作交延长线于点， 同理， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或7． 故答案为：3或7． 三、解答题（本题共6小题，19~20题，每题6分，21题8分，22题8分，23题8分，24题10分，共46分） 19. （1）计算：． （2）解二元一次方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算与化简求值，加减法解二元一次方程组，掌握整式的运算法则以及解方程组的方法是解题的关键； （1）根据多项式除以单项式，完全平方公式进行计算即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：（1） （2） 由①得， ∴③ ②③得， 解得： ②③得， 解得： ∴方程组的解为： 20. 先化简，再从，3，4中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先计算括号里面的分式加法，再把分式除法转化成分式的乘法，然后约分计算，最后根据分式有意义的条件选出合适的值代入求解即可． 【详解】解： ， 当或或时，分式无意义， 故当时， 则原式 21. 为响应国家“体重管理年”政策，某校要了解七年级学生的课外锻炼情况，随机选取某班学生进行“最喜欢的一项体育运动”调查，并根据统计数据绘制了如下统计图，请解答： （1）请你补全条形统计图． （2）该校共对___________名学生进行了调查，在扇形统计图中，“跳绳”对应的圆心角为___________度． （3）若该校七年级共有600名学生，请你估计七年级学生中最喜欢游泳运动的人数． 【答案】（1）见解析 （2）40；54 （3）估计七年级学生中最喜欢游泳运动的人数为210人． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据喜欢篮球的人数除以占比得出总人数，进而求得喜欢“跑步”的人数和喜欢“跳绳”的人数，补全条形统计图即可求解； （2）根据喜欢“跳绳”的人数除以总人数，得出占比，乘以度，即可求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：参与问卷调查学生人数为（人）， 喜欢“跑步”的人数为（人）， 喜欢“跳绳”的人数为（人） 补充统计图如图： ； 【小问2详解】 解：参与问卷调查的学生人数为（人）， “跳绳”对应的圆心角为， 故答案为：40；54； 【小问3详解】 解：（人）， 估计七年级学生中最喜欢游泳运动的人数为210人． 22. 2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． （1）一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ （2）“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 【答案】（1）一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设型机器人有个，则型机器人有个，根据“型机器人比型机器人每天多打包30件物品”列分式方程，求解即可； （2）设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个，根据“共同完成2460件物品的打包”列出二元一次方程，利用和都是正整数，即可求解． 【小问1详解】 解：设型机器人有个，则型机器人有个， 依题意有， 整理得， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解， ∴一个型机器人每天打包件物品， 一个型机器人每天打包件物品； 答：一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； 【小问2详解】 解：设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个， 依题意有， 整理得， ∵和都是正整数， ∴当时，；时，；时，； 综上，共有三种方案，方案一，使用型机器人2个， 型机器人14个；方案二，使用型机器人7个， 型机器人8个；方案三，使用型机器人12个， 型机器人2个． 23. 阅读下列材料：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为：．例如：．请你运用材料回答： （1）计算：___________． （2）已知，求的值． （3）若的三边长为，满足，，求的周长． 【答案】（1）6 （2）29 （3） 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，解题的关键是读清楚新运算的法则． （1）根据运算法则直接运算即可得到答案； （2）根据运算法则得到，再整体代入即可得到答案； （3）根据运算法则得到，根据非负性得到，，，再利用三角形的周长公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， ； 故答案为：6； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， ∵， ∴原式； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得，，， ∴的周长． 24. 【知识链接】 对于三角形中的重要结论“在同一个三角形中，等边对等角”，我们可以构造全等三角形来证明．如图1，在中，已知，可证，蛟蛟同学的证法是：作的角平分线交于点，则，通过“边角边”证明，则．请你利用该结论继续探究： 【初步应用】 （1）在中，若，，则___________°． 【破茧启思】 （2）如图2，在中，，点在上，点在上，延长线与延长线交于点是外一点，与交于点，若，． ①___________．（用含的代数式表示） ②若，求． 【攀登高峰】 （3）如图3，在中，，点、分别在、延长线上，是外一点，与交于点，若，试探究的数量关系并证明． 【答案】（1）80；（2）①；②；（3）．理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用三角形的内角和定理求解即可； （2）①利用等边对等角以及三角形的内角和定理求解即可；②利用三角形内角和定理求得，推出，再利用等边对等角和三角形内角和定理求得，利用三角形的外角性质求解即可； （3）延长至点，使，连接，证明，推出，，求得，再证明，求得，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：80； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）．理由如下， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边对等角， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$