精品解析：天津市五十中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年天津五十中八年级（下） 期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 使二次根式有意义的x的取值范围是( ) A. x＞0 B. x＞2 C. x≥2 D. x≠2 2. 下列各图能表示是 的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形必定是（ ） A. 菱形 B. 对角线相互垂直的四边形 C. 正方形 D. 对角线相等的四边形 6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为（　　） A. 7 B. ﹣7 C. 2a﹣15 D. 无法确定 7. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 9，40，41 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，24，25 8. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　) A. 16 B. 16 C. 8 D. 8 9. 在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 4.5 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是__． 14. 如图所示，已知，，，则C到直线的距离是 ___． 15. 如图1是长方形纸片，∠DEF＝21°，将纸片沿EF折叠成图2的形状，则图2中的∠CFG的度数是_____． 16. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为______________平方单位． 17. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_______． 18. 如图，菱形中， ，点E、F是、边上的动点，且，则 长的最小值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共46.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： (1)； (2)． 20. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 21. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 22. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 23. 如图，中， ，是斜边的中点，若 ，，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． (1)求证：AB=CF； (2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由． 25. 【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数； 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】 如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年天津五十中八年级（下） 期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 使二次根式有意义的x的取值范围是( ) A. x＞0 B. x＞2 C. x≥2 D. x≠2 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 详解：由题意得，x−2⩾0， 解得，x⩾2， 故选C. 点睛：此题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方部分大于或等于零，二次根式无意义的条件是被开方部分小于0. 2. 下列各图能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，根据函数的定义逐项判断即可．即每给出一个x值就会有唯一的y相对应，y是x的函数． 【详解】图象D中，每给出一个x值，就会有唯一的y值与之对应，所以D符合题意． 故选：D． 3. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质作答． 【详解】 ， 又 ， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解决本题的关键是将平行四边形的性质与坐标系中点的坐标相结合． 4. 若，则化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有意义可得，再结合 ，化简． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵ ∴ ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由 得到是解题的关键． 5. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形必定是（ ） A. 菱形 B. 对角线相互垂直的四边形 C. 正方形 D. 对角线相等的四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，得到答案． 【详解】解：如图， 是四边形各边的中点， ∵四边形为矩形， ∴， ∵E、F分别是 的中点， ∴为的中位线， ∴ ， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形的对角线互相垂直， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答． 6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为（　　） A. 7 B. ﹣7 C. 2a﹣15 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】根据二次根式的性质可得:+,因为,所以原式=,故选A. 7. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 9，40，41 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可． 【详解】A、92+402=412， ∴此三角形是直角三角形，不合题意； B、∵52+122=132， ∴此三角形是直角三角形，不合题意； C、∵0.32+0.42=0.52， ∴此三角形是直角三角形，不合题意； D、82+242≠252， ∴此三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 8. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　) A. 16 B. 16 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝120°可知∠ABC=60°，AB=AC，即△ABC为等边三角形，则AB=AC=BC=4，作AE⊥BC于点E，可得BE=2，AE= ，求得S菱形ABCD=BC·AE=4×= 【详解】解：在菱形ABCD中，有AB=AC ∵∠BAD＝120° ∴∠ABC=60° ∴△ABC为等边三角形 即AB=AC=BC=4 作AE⊥BC于点E ∴BE=2，AE= ∴S菱形ABCD=BC·AE=4×= 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，30°，60°，90°角三角形的边长关系，解本题的关键是发现图中的等边三角形，将对角线长度转化为菱形边长． 9. 在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB2，AC2，BC2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状，从而利用三角形面积求解． 【详解】解：由题意可得： ∵ ∴△ABC是直角三角形 又∵是的高 ∴， ，解得： 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键． 10. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM＝AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM． 【详解】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴， ∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°， 又∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AEPF为矩形， ∵M 为 EF 中点， ∴M 也是 AP中点，即AM＝AP， 故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小， 由，可得AP＝， AM＝AP＝； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键． 11. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 12. 如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCD= AC•BD=AB•E′M求得E′M的长即可得答案． 【详解】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P 则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点 则有PE+PM=PE′+PM=E′M ∵四边形ABCD是菱形 ∴点E′在CD上 ∵AC=6，BD=6 ∴AB= 由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M得×6×6=3•E′M 解得：E′M=2 即PE+PM的最小值是2 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，确定出点P的位置是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是__． 【答案】3 【解析】 【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴n的最小值是3. 故答案是：3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握． 14. 如图所示，已知，，，则C到直线的距离是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，过C作于D，则，设 ，则，根据勾股定理得到，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过C作于D，则， 设 ，则， 中，， 中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴中，， ∴C到直线AB的距离是． 故答案为：． 15. 如图1是长方形纸片，∠DEF＝21°，将纸片沿EF折叠成图2的形状，则图2中的∠CFG的度数是_____． 【答案】138° 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出∠DEF＝∠EFB，根据图形折叠的性质得出∠EFC的度数，进而得出∠CFG即可． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=21°， 由折叠可得：∠EFC=180°-∠EFB=180°−21°=159°， ∴∠CFG=∠EFC -∠EFB =159°−21°=138°， 故答案为：138° 【点睛】本题考查图形的折叠变换及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 16. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为______________平方单位． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，再利用两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECG，根据线段中点的定义可得BE＝CE，然后利用“角边角”证明△BEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CG，再解直角三角形求出EF、BF，求出DG，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长DC和FE交于点G， 在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠B＝∠ECG， ∵E为BC的中点， 在△BEF和△CEG中， ∴△BEF≌△CEG（ASA）， ∴BF＝CG， ∵∠B＝60°， ∴∠FEB＝30°， ∴BF＝BE＝1， ∴EF＝， ∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3， ∴DG＝CD+CG＝3+1＝4， ∵EF⊥AB，AB∥CD， ∴DG⊥FG， ∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积，熟记各性质是解题关键． 17. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再利用全等角之间关系得出，再由H为BF的中点，又为直角三角形，得出，为直角三角形再利用勾股定理得出BF即可求解． 【详解】解：， ． ∴∠BEA=∠AFD， 又∵∠AFD＋∠EAG=90°， ∴∠BEA＋∠EAG=90°， ∴∠BGF=90°． H为BF的中点，又为直角三角形， ． ∵DF=2， ∴CF=5-2=3． ∵为直角三角形． ∴BF===． ． 【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半知识点，解题的关键是熟悉掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半． 18. 如图，菱形中， ，点E、F是、边上的动点，且，则长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键．根据菱形的性质证明， 都是等边三角形，从而证明，推出是等边三角形，得到，时，线段最小，即最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ∴， ∴， 都是等边三角形， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴ ，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵时，线段最小，即最小，此时， ∴， ∴的最小值为． 故答案为． 三、解答题（本大题共7小题，共46.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】(1)＝ ＝ ＝ (2) ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型 20. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）梯子顶端距离地面的高度为24米 （2）梯子的底端在水平方向滑动了8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； 【小问2详解】 梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 21. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 22. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理得出 为直角三角形，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，由勾股定理，得， 在 中，， ， 为直角三角形，且， ， ． 23. 如图，中， ， 是斜边的中点，若 ，，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 【答案】（1） 证明：∵ ，， ∴四边形 是平行四边形． ∴，且 ． ∵ 是斜边的中点， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， 是斜边的中点， ， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由 ，可得四边形 是平行四边形，得出，且 ，进而证明四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可得结论； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据含 角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长，根据菱形的性质得出的长，利用菱形面积公式即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 由（1）知，四边形是菱形，四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴菱形的面积， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． (1)求证：AB=CF； (2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)当BC=AF时，四边形ABFC是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB=CF； （2）由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴ ， ， ∵E为BC的中点， ∴BE=EC， ∴ △ABE≌△FCE， ∴ AB=CF； (2)解∶当BC=AF时，四边形ABFC是矩形．理由如下∶ ∵AB∥CF，AB=CF ， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∵BC=AF， ∴四边形ABFC是矩形． 25. 【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数； 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】 如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）先利用旋转求出∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，利用勾股定理求出PP′，进而判断出△APP′是直角三角形，得出∠APP′=90°，即可得出结论； （2）同（1）的思路一的方法即可得出结论． 【详解】（1）如图1， 将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′， ∴△ABP′≌△CBP， ∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3， 在Rt△PBP′中，BP=BP′=2， ∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=2， ∵AP=1， ∴AP2+PP′2=1+8=9， ∵AP′2=32=9， ∴AP2+PP′2=AP′2， ∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°， ∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°； （2）如图2， 将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′， ∴△ABP′≌△CBP， ∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=， 在Rt△PBP′中，BP=BP′=1， ∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=， ∵AP=3， ∴AP2+PP′2=9+2=11， ∵AP′2=（）2=11， ∴AP2+PP′2=AP′2， ∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°， ∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $