精品解析：2025年上海市青浦区中考数学二模同考点练习试卷

**基本信息** 2025年上海青浦区中考数学二模同考点练习卷，以“神威·太湖之光”科学记数法、矩形古算面积问题及动态几何（矩形旋转线段最小值）为载体，考查抽象能力、几何直观与模型意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|规律探究、同类二次根式、一元二次方程根的判别式|基础巩固，注重概念辨析| |填空题|12/48|因式分解、向量表示、圆内接正多边形边长比|梯度设计，融入数据意识（统计图表分析）| |解答题|7/78|函数综合、四边形重心探究、抛物线平移动态问题|分层设问（如25题分知识技能/理解/拓展），突出推理能力与创新应用|

2025年上海市青浦区中考数学二模试卷 同考点练习卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第 个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是单项式规律问题，分别从单项式的系数的绝对值，符号，单项式的字母部分分析总结规律，从而可得答案． 【详解】解：：，，，，，…． ∵各单项式的系数的符号为：−，+，−，+，…， ∴各单项式的系数的符号可利用来确定； ∵各单项式的系数为：2，3，4，5， ∴各单项式的系数可利用来确定； ∵各单项式含字母的部分为：，，，， ∴ 各单项式含字母的部分规律为：； ∴第 个单项式为：． 故选：． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查同类二次根式的判断，先将各选项化简，再找到被开方数为的选项即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； C、与的被开方数相同，故是同类二次根式； D、与的被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选C． 3. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 4. 在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 中位数是95 B. 方差是3 C. 众数是95 D. 平均数是94 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平均数，中位数，众数，方差的定义及计算，根据各定义及计算公式分别判断，正确掌握各定义及计算方法是解题的关键 【详解】解：将数据从小到大排列为91，92，94，95，95，95，96，共7个数据,居中的一个数据是95， ∴中位数是95，故A选项正确； 这组数据中出现次数最多的数据是95，故众数是95，故C选项正确； 这组数据的平均数是，故D选项正确； 这组数据的方差为，故B选项错误； 故选：B 5. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知， ，则房顶A离地面 的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示： ∵它是一个轴对称图形， ∴m， ，即， 房顶A离地面 的高度为， 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键． 6. 在中， ，， ，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆 半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆 的关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解： 圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、 为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆 圆心距离最大，为， ， 圆与圆 相交， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用完全平方公式． 【详解】， 故填：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是关键． 9. 已知，求自变量取值范围______________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0列式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负． 10. 方程•＝0的解是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件，判定x的取值范围，然后方程两边同时平方，解一元二次方程即可得解. 【详解】根据题意，得 解得 将方程两边平方，得 解得 综上， 【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件以及一元二次方程的求解，熟练掌握，即可解题. 11. 关于、 的二元一次方程组的解满足，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把两式相加求出的值，再代入中得到关于 的不等式，求出 的取值范围即可． 【详解】解：， ① ②得，， ， ， ， 解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组的解以及解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知条件表示出2x+y的值，再得到关于m的不等式． 12. “神威·太湖之光”是全球第一台运行速度超过10亿亿次/s的超级计算机．用科学记数法表示10亿亿是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．计算后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：10亿亿， 故答案为：． 13. 一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 故答案为：． 14. 某校九年级学生对某市市民出行的交通工具进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交出行的人数是_____． 【答案】6000 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，根据自驾车人数除以百分比，可得答案． 【详解】解：由题意，得,， 公交：， 故答案为：6000． 15. 如图，已知在平行四边形中，点E是边的中点，和交于点F，设．用向量表示向量，即=___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的线性运算及平行四边形的性质得到，即可得到，根据平行四边形的性质得到，结合点E是 的中点推出，得到，所以，进而得到结论． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是 的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16. 在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设六边形是 的内接正六边形，则是 的内接正三角形，连接，，，设交于点H，证明 和 均为正三角形，则，，根据垂径定理得，，则，设，则， ，进而得，据此求出的值即可得出答案． 此题主要考查了等边三角形的性质，圆内接正多边形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，圆内接正多边形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：设六边形是 的内接正六边形，则是 的内接正三角形， 连接，，，设交于点H，如图所示：   ∴，， ∵， ∴ 和 均为正三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据垂径定理得：，， ∴， 在 中，设， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 即在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是． 故答案为：． 17. 如图，矩形 中，，点在上，，点在线段边上运动（不与、 重合），线段 绕着点顺时针旋转得到，连接 ． （1）当时，则____________； （2）在运动的过程中， 的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）旋转得到，勾股定理结合锐角三角形函数得到，进而推出 ，勾股定理求出 的长即可； （2）过点作线段，使且，证明，得到，进而得到点 在垂直于的直线上，作交于点，则即为 的最小值，进行求解即可． 【详解】解：（1） 线段 绕着点顺时针旋转得到， ， 在矩形 中， ， ∴， ∴， ， ， ，即 ， 在中，； 故答案为：． （2）过点作线段，使且， ， ∵ ， ， ∴点 在垂直于的直线上， 如图，作交于点，则即为 的最小值， 作交于点．则：四边形是矩形， ，， ∴， 在中．， ， ； 故 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，确定点 的轨迹，是解题的关键． 18. 抛物线 （a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③关于x 的不等式的解集为或 ； ④． 其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题综合考查了二次函数的图象和性质，以及不等式的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想是解题的关键．根据，抛物线开口向下， 经过，抛物线 与 轴交点必然在点 上方，当时，，故①正确，符合题意；抛物线过点，得到，抛物线对称轴，因为抛物线过点 ，， 且，设抛物线与轴另外一个交点为 ，则，得到抛物线对称轴，抛物线对称轴所在范围是：，故②错误；将不等式，变形为，抛物线 与直线 都经过点 和 ，数形结合可得到不等式解集或 ，故③正确，符合题意；结合图象，将代入 可得，，将代入，得到 ，化简得，故④正确，符合题意． 【详解】解： 抛物线 （a，b，c是常数，）经过，两点，且，如图所示， ，抛物线开口向下， 经过， 抛物线 与 轴交点 必然在点 上方， 当时，，故①正确，符合题意， 抛物线过点， ，即， 抛物线对称轴， ，， ， ， 又 抛物线过点 ，， 且， 设抛物线与轴另外一个交点为 ，则， 抛物线对称轴， 抛物线对称轴所在范围是：， 故②错误，不符合题意； ， ， 抛物线 与直线 都经过点 和 ， 如图， 结合图象可知，不等式的解集即对应抛物线在直线图象的下方时，对应自变量的取值范围，由图象可知此时或 ， 原不等式的解集为或 ， 故③正确，符合题意； 结合图象，当时， 的函数值大于零，可得， ， ，即， ，故④正确，符合题意； 故答案为：①③④. 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂及分数指数幂，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、负指数幂及分数指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程组： 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了二元二次方程组的解法，把二元二次方程组转化为二元一次方程组，求解即可，解题的关键是把二元二次方程组转化为二元一次方程组． 【详解】解： ∴， ∴原方程可化为：或， 解得：或． 21. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数的图象分别与轴、 轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接、 ，求的面积． 【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2） ． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象分别与轴、 轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， ∴ 轴，， ∴的面积． 22. 在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息： 四边形也有重心；在平面内，图形与图形 拼成一个图形，那么图形的重心一定在图形的重心与图形 的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为，为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． （1）请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心 ；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） （2）直接写出线段 与线段 之比的比值． 【答案】（1） 如下图所示，四边形的重心是点 （2）或． 【解析】 【分析】当两个直角三角形拼成一个矩形时，两个三角形的重心连接的线段与斜边 的交点就是拼成的四边形的重心；当两个直角三角形拼成一个任意四边形时，四边形的两条对边线把四边形分成两对三角形，与的重心连接的线段与，与的重心连接的线段的交点就是四边形的重心； 根据重心的定义，可知四边形的重心是两个直角三角形的重心与直角三角形斜边的交点，分两种情况求出 与 的比值． 【小问1详解】 解： 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 两个完全相同直角三角形拼成一个矩形， 当两个的直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边 的交点就是四边形的重心； 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 由题意可知和是等腰三角形且，， 和的重心都在 边上， 四边形的重心是线段与 的交点； 【小问2详解】 解：当两个直角三角形拼成一个矩形时， 如下图所示， 矩形对角线互相平分， ， ． 当直角三角形拼成如下图所示的四边形时， ， 是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ，， 点是重心， ， ，， 设， 则有， ， ， 整理得：， 解得：， ， ． 综上所述线段 与线段 的比值是或． 【点睛】本题主要考查了四边形的重心、三角形的重心、三角形的中线和勾股定理．解决本题的关键是根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，两个三角形拼成的四边形的中心是两个三角形重心连接的线段的中点． 23. 如图，在梯形 中， ，与相交于点 ，点在线段 上，的延长线与相交于点， ． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）如果 ， ，求证： ． 【答案】（1） 证明： ， ， ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 四边形 是平行四边形； （2） 证明： ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键． （1）由已知得出，由平行线得出 ，得出，证出，得到相似三角形，继而得出 ，即可得出结论； （2）由平行线得出 ， ，得出，证出 ，由平行四边形的性质得出 ，由已知 ，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （）经过点，与轴交于， 两点（点在点 的右侧），与 轴交于点．连接，作射线，且． （1）求抛物线 （）的表达式； （2）点 是射线下方抛物线上的一动点，过点 作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接， ．当线段 长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（ ）中线段 长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点 为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点 的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点T的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用正切函数求得 ，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设（），则，当时，最大，此时，将线段向左平移个单位得到，则，当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度，则的最小值为； （3）根据（2）可得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，则 ， ∴ ， ∴， 将和代入 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∵， 则 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵ ， ∴当时，最大，此时， ∵点是线段上一动点，轴于点， ∴当线段 长度取得最大值时， ∵，，点为线段的中点， ∴ 将线段向左平移个单位得到，则 当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度； ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∴新抛物线由向左平移个单位，向上平移个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点 ， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 联立直线和抛物线解析式可得 解得：， 当时，， ∴ ∴轴， 又∵ ∴ ∴ 作 关于直线的对称点，连接 交于点 ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴将点 向左平移个单位再向下平移个单位，得 同理直线 的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点T的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平移的性质，数形结合是解题的关键． 25. 【知识技能】（1）如图1，在中， ， ，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，延长至点M，使得，连接 ．求证：． 【数学理解】（2）如图2，在中， ， ，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，将绕点A按顺时针方向旋转得到 ，连接．求证： 【拓展探索】（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，的长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点D的运动过程中，的长度存在最大值．若，求的长度的最大值． 【答案】 （1）证明：为的中线， ． 在和中， ． ． ． ． （2）证明：如答题图，延长至点，使得，连接 ． 由旋转的性质可知，． ， ． 由（1）得 ， ． 在和 中， ． ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，由全等三角形的性质得出，最后根据平行线的性质即可得出． （2）延长至点，使得，连接 ．由旋转的性质可知，．证明，由全等三角形的性质进一步即可证明． （3）延长至点，使，连接 ．先证明，再证明，根据得出点 在以为直径的 上运动，当且仅当三点共线时，的长度取得最大值，此时．然后利用勾股定理以及直角三角形斜线的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：如答题图，延长至点，使，连接 ． 在和中， ． ． ． ． ， ． ． ， ． 在 和 中， ． ． ， ． ． ． 点 在以为直径的 上运动，当且仅当三点共线时，的长度取得最大值，此时． 为的中点， ， ． 在 中，由勾股定理，得． 在 中， 为斜边的中点， ． 的长度的最大值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合问题，直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上海市青浦区中考数学二模试卷 同考点练习卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第 个单项式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 4. 在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 中位数是95 B. 方差是3 C. 众数是95 D. 平均数是94 5. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知， ，则房顶A离地面 的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 在中， ，， ，点在内，分别以为圆心画，圆 半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆 与圆内切，圆与圆的关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为__________． 8. 因式分解：_______． 9. 已知，求自变量取值范围______________． 10. 方程•＝0的解是_______． 11. 关于、 的二元一次方程组的解满足，则 的取值范围是______． 12. “神威·太湖之光”是全球第一台运行速度超过10亿亿次/s的超级计算机．用科学记数法表示10亿亿是___________． 13. 一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为__________． 14. 某校九年级学生对某市市民出行的交通工具进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交出行的人数是_____． 15. 如图，已知在平行四边形中，点E是边的中点，和交于点F，设．用向量表示向量，即=___________． 16. 在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是__________． 17. 如图，矩形中，，点在上，，点在线段边上运动（不与 、重合），线段 绕着点顺时针旋转得到，连接 ． （1）当时，则____________； （2）在运动的过程中， 的最小值为__________． 18. 抛物线 （a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③关于x 的不等式的解集为或 ； ④． 其中正确的结论是______．（填写序号） 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 解方程组： 21. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数的图象分别与轴、 轴交于点 、点 ，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 22. 在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息： 四边形也有重心；在平面内，图形 与图形拼成一个图形 ，那么图形 的重心一定在图形 的重心与图形的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为， 为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． （1）请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心 ；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） （2）直接写出线段 与线段 之比的比值． 23. 如图，在梯形中， ，与相交于点，点在线段 上，的延长线与相交于点， ． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）如果 ， ，求证： ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （）经过点，与轴交于 ，两点（点 在点的右侧），与 轴交于点．连接，作射线，且． （1）求抛物线 （）的表达式； （2）点 是射线下方抛物线上的一动点，过点 作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接， ．当线段 长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段 长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点 为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点 的坐标． 25. 【知识技能】（1）如图1，在中， ， ，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，延长至点M，使得，连接 ．求证：． 【数学理解】（2）如图2，在中， ， ，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，将绕点A按顺时针方向旋转得到 ，连接．求证： 【拓展探索】（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，的长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点D的运动过程中，的长度存在最大值．若，求的长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $