第二十八章 锐角三角函数 单元测试2024-2025学年人教版数学九年级下册

人教版九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 单元测试 一、选择题 1.如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是(　　) A. B. C. D. 2.在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角余弦值的变化情况是（ ） A.缩小为原来的 B.扩大为原来的2倍 C.没有变化 D.不能确定 3.在中，、均为锐角，且， 则是（     ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为(　　) A.5 B.4 C.25 D. 5.已知为锐角，且，则等于（    ） A. B. C. D. 6.某楼梯的侧面如图所示，已测得的长约为米，约为，则该楼梯的高度可表示为（     ） A. B. C. D. 7.在中，，，，则的长为（    ） A. B. C. D. 8.如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3,4)，则tanα的值是(　　) A. B. C. D. 9.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ）                A.米 B.25米 C.米 D.50米 10.在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos B＝，则BC边长为(　　) A.7 B.8 C.8或17 D.7或17 11.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行1 000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，此时AN的长约是(　　) A.366 B.650 C.634 D.700 如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（    ） 12.                       A. B. C. D. 二、填空题 13.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行至，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了         米．(参考数据：，，)                  14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC＝16，BD＝12，DH垂直BC于H，则sin∠DCH＝           ． 15.在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，则BC＝____________. 16.如图，一架无人机位于雷达的南偏东方向，距离雷达千米的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于雷达的北偏东方向上的处，此时无人机与雷达的距离约为       千米．（参考数据：，，，结果保留一位小数）             17.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是__________． 三、解答题 18.如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，求△ABC的周长和tan A的值． 19.计算： （1）；  （2）． 20.为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． (1)求∠APB的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 21.为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查．如图，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°方向，C岛在北偏东15°方向，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45°，求B，C两岛及A，C两岛的距离．(结果保留到整数，≈1.41，≈2.45) 22.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小． 人教版九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、在△BCD中，sinα＝，故A正确；B、在Rt△ABC中sinα＝，故B正确；C、在Rt△ACD中，sinα＝，故C正确；D、在Rt△ACD中，sinα≠，故D错误，故选D. 2.在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角余弦值的变化情况是（ ） A.缩小为原来的 B.扩大为原来的2倍 C.没有变化 D.不能确定 【答案】C 【解析】 解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍， 的度数没有发生变化， 锐角的余弦值没有变化， 故选：C 3.在中，、均为锐角，且， 则是（     ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 解：， ，， ，， ，，， 在中，，且， 是直角三角形． 故选：C． 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为(　　) A.5 B.4 C.25 D. 【答案】B 【解析】∵cosB＝，∴BC＝AB·cosB＝6×＝4.故选B. 5.已知为锐角，且，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由，得： ∴α-10°=45°，∴α=55°， 故选B． 6.某楼梯的侧面如图所示，已测得的长约为米，约为，则该楼梯的高度可表示为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：在中，的长约为米，约为，， ∴． 故选：A． 7.在中，，，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵，，，， ∴， ∴． 故选：B 8.如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3,4)，则tanα的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】tanα＝，故选B. 9.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ）                A.米 B.25米 C.米 D.50米 【答案】A 【解析】 解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即，解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 10.在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos B＝，则BC边长为(　　) A.7 B.8 C.8或17 D.7或17 【答案】D 【解析】∵cos B＝，∴∠B＝45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB＝12，∠B＝45°，∴AD＝BD＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理，得CD＝5，∴BC＝BD－CD＝12－5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD＋CD＝12＋5＝17，故选D. 11.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行1 000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，此时AN的长约是(　　) A.366 B.650 C.634 D.700 【答案】C 【解析】如图：过点M作MN⊥AC于点N，根据题意，得∠MAN＝60°－30°＝30°，∠BCM＝75°，∠DCA＝60°，∴∠MCN＝180°－75°－60°＝45°，设MN＝x米，在Rt△AMN中，AN＝＝x(米)，在Rt△CMN中，CN＝＝x(米)，∵AC＝1000米，∴x＋x＝1000，解得x＝500(－1)，∴AN＝x≈634(米)．故选C. 如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（    ） 12.                       A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点， 则，则的横坐标为，纵坐标为， ∴， 取点，则是的中位线， ∴， ∵， ∴点在半径为的上运动， ∵是的中位线， ∴， ∴，当与相切时，最大，则正弦值最大， 在中，， 过点作轴，过点作于点，过点作于点，     则                  ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，, 则 ∴， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴的最大值为， 故选：A． 二、填空题 13.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行至，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了         米．(参考数据：，，)                  【答案】 280. 【解析】 解：在RtΔABC中，sin34°=，∴AC=AB×sin34°=500×0.56=280米. 14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC＝16，BD＝12，DH垂直BC于H，则sin∠DCH＝           ． 【答案】. 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6， ∴ ∵S△BCD＝BC×DH＝BD×OC， ∴12×8＝10×DH， ∴DH＝9.6 ∴sin∠DCH＝＝. 15.在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，则BC＝____________. 【答案】6 【解析】∵∠C＝90°，∴cosA＝＝，∵AC＝6，∴AB＝12，∴BC＝＝＝6.故答案为6. 16.如图，一架无人机位于雷达的南偏东方向，距离雷达千米的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于雷达的北偏东方向上的处，此时无人机与雷达的距离约为       千米．（参考数据：，，，结果保留一位小数）             【答案】 【解析】 解：如图所示标注字母，      根据题意得，千米， ，， 在中，， ∴ (千米)， 即：此时与灯塔的距离约为千米. 故答案为：. 17.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是__________． 【答案】 【解析】由题意可知，AB＝2，AO＝＝2，BO＝＝2，∵S△ABO＝AB·h＝AO·BO·sin∠AOB，∴×2×2＝×2×2×sin∠AOB，∴sin∠AOB＝. 三、解答题 18.如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，求△ABC的周长和tan A的值． 【答案】解　在△ABC中，因为∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，所以＝，即＝，所以AC＝9，又因为AC2＋BC2＝AB2，所以BC＝12，所以△ABC的周长AC＋BC＋AB＝9＋12＋15＝36，tanA＝＝＝. 【解析】 19.计算： （1）；  （2）． 【答案】解：原式； 原式. 故答案为（1）；（2）2. 【解析】 20.为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． (1)求∠APB的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】解　(1)∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°. (2)作PH⊥AB于H.∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝50，在Rt△PBH中，PH＝PB·sin 60°＝50×＝25，∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 【解析】 21.为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查．如图，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°方向，C岛在北偏东15°方向，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45°，求B，C两岛及A，C两岛的距离．(结果保留到整数，≈1.41，≈2.45) 【答案】解　过B点作BD⊥AC于点D，由题意知，∠BAC＝45°，∠FBA＝30°，∠EBC＝45°，AB＝100海里，∠BAC＝45°，∴△BAD为等腰直角三角形，∴BD＝AD＝50，∠ABD＝45°，∴∠CBD＝180°－30°－45°－45°＝60°，∴∠C＝30°，∴在Rt△BCD中，BC＝100≈141(海里)，CD＝50，∴AC＝AD＋CD＝50＋50≈193(海里)，答：B，C两岛的距离约为141海里，A，C两岛的距离约为193海里． 【解析】 22.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小． 【答案】解　∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三个内角分别为30°，30°，120°， ∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，－，将代入方程，得4×122－m×12－1＝0，解得m＝0，经检验－是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意； ②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意； ③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，将代入方程得：4×(12)2－m×12－1＝0，解得m＝0，经检验不是方程4x2－1＝0的根． 综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°. 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$