第二十八章锐角三角函数单元测试2024-2025学年人教版数学九年级下册

第二十八章 锐角三角函数 单元测试 一、单选题 1．如图，在Rt中，，点在边上，若，，则为（　　） A． B． C． D． 2．在中，边上的中线与边上的高相交于点D．已知，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，为了测量河两岸两地间的距离（与河岸垂直），在与垂直的方向上取点C，测得米，，则两地间的距离为（   ）米． A． B．24 C． D． 4．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形ABCD中，，E为AD的中点，P为BC边上一动点，连接DP，过P点作，且，连接EF，则线段EF长度的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 6．如图，将正方形沿折叠，使得点正好落在的中点处，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的边在x轴上，点A在y轴上，菱形的边，若，，则点F的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，，垂足分别为B，D，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，的对应边交于点则Δ的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图（1），中，，为边的中点，交于点．动点从点出发，沿折线运动，当点不与点重合时，过点分别作于点于点．设动点运动的路程为，四边形的周长为，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．当时，点之间距离的最小值为 D． 二、填空题 11． ． 12．在中，，，于点，则 ． 13．如图，在正方形网格中，线段、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，则 ． 14．如图是某活动小组在测量湖中古亭与岸边古塔之间的距离时绘制的，在古塔处测得古亭位于北偏东，他们向南走到达点，测得古亭位于北偏东，则古亭与古塔之间的距离的长约为 m．（结果精确到．参考数据：） 15．如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 ． 三、解答题 16．先化简，再求值：其中． 17．某数学兴趣小组的学生欲测量安阳文峰塔的高度．如图，在D处放置一平面镜后，向东移动到达点C处，此时转身刚好在平面镜中看到建筑物的顶端A的像，然后向西移动16.4米到达点F处，此时观察到顶端A的仰角为．已知点B，F，D，C在一条水平直线上，，，均与地面垂直，小东的眼睛距地面的高度（米（平面镜的厚度、大小忽略不计，图中所有的点都在同一平面内）． (1)的长度为_____米； (2)计算安阳文峰塔的高度． 18．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对三角形和矩形进行旋转探究： 【初步感知】 （1）如图1，同学们将两个全等的直角三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点逆时针旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，．连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，已知矩形纸片和三角形纸片中，，．矩形的对角线交于点，固定一个顶点，然后将纸片绕这个顶点逆时针旋转，当点恰好落在矩形的对角线上时，延长交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）在（1）的条件下，纸片绕点逆时针旋转过程中（旋转角度小于），试探究三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 19．桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知，米，为固定张角大小的绳索，设，为保证安全，的调整范围是． (1)当时，测得米，求的长； (2)在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，，，） 20．平面内，在平行四边形中，，，，点为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，设． (1)当与垂直时， ①尺规作图：在图1中找到点和点（保留作图痕迹，不写作法）； ②___________；旋转到所扫过的面积___________（结果保留π）； (2)当点落在对角线的延长线上时，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，如图2． ①求证：； ②求的值； (3)连接，在旋转的同时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，如图3．当是直角三角形时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十八章 锐角三角函数 单元测试2024-2025学年人教版九年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D A B B C B D 1．A 【分析】本题考查了解直角三角形，由得，由勾股定理得，根据即可作答． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．D 【分析】本题考查三角形的内角和定义，中位线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形． 根据题意，逐项分析，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ， ∴． 故A正确． 作的中点E，连接，如图 ∴， ∵点M是， ∴是的中位线， ∴ ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 故B正确，D错误． 设，则 ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∴， ∴． 故C正确． 故选D． 3．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 根据题意可得三角形是直角三角形，然后利用30度角的正切求解即可. 【详解】解：∵与河岸垂直，，米， ∴（米）； 故选：A. 4．D 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，利用等面积法求解是解本题的关键． 如图，过作于，先求解，再利用，求解，再利用正弦的定义可得答案． 【详解】解：如图，过作于   菱形中，对角线，相交于点O，，， ． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，取的中点M，连接，，连接并延长交于点，设交于点，证明，，得出，进而可得，即可得出的值，进而可得点在上运动，证明四边形是平行四边形，得出，则当在上时，取得最小值，此时重合，进而解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点M，连接，，连接并延长交于点，设交于点 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点在上运动， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ ∴当在上时，取得最小值，此时重合， ∵，则， 在中，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，即的最小值为 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握知识点是解题的关键．设正方形边长为，则，由折叠可知，设，则，再利用勾股定理算出，最后求角的正弦值即可． 【详解】解：设正方形边长为，则， ∵是中点， ∴， 由折叠可知，设，则， 在中，根据勾股定理， 解得， ∴， 故选：B． 7．B 【分析】题目主要考查菱形的性质及解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 根据题意得出，确定，得出，，延长交x轴于点G，利用正弦解三角形即可 【详解】解：∵菱形，，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， 延长交x轴于点G，如图所示： ∴， ∴， 故选：B 8．C 【分析】本题考查菱形的基本性质，三角形的内角和以及解直角三角形，能够做出辅助线是解题关键． 连接，与交于点G，根据，得到，根据三角函数，求得；利用三角函数，菱形性质，特殊角的三角函数计算即可． 【详解】解：连接，与交于点G， ∵菱形，， ∴，，是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴； ∴； 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了旋转和解三角形，过点F作，垂足为，先证明是直角三角形，可得，在利用和解三角形求出，进而求出三角形面积． 【详解】解：过点F作，垂足为， ∵在中，，，， ∴， ∴，， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积， 故选B． 10．D 【分析】根据函数图形可得，可判定A选项；如图所示，过点作于点，作于点，可得，，，同理，，则，设，则，运用勾股定理得到，则，可判定B选项；如图所示，连接，当时，的值最小，即的值最小，运用等面积法可判定C选项；根据题意，，可判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：∵动点从点出发，沿折线运动，设动点运动的路程为， ∴点从，的值逐渐增大，由图（2）， ∵点为边的中点， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，且点为边的中点，， ∴，， ∴， ∴， 同理，， ∴， 设，则， ∴，即，整理得，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∴， ∴当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， 此时， ∴当时，点之间距离的最小值为，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴设， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵动点运动的路程为，动点从点出发，沿折线运动，点不与点重合， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了动点与函数图象，相似三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，解直角三角形的计算，勾股定理的运用，理解动点与函数图形的性质，掌握解直角三角形的计算是关键． 11．3 【分析】本题主要考查了负整数次幂、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用负整数次幂、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 12．/ 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦函数值，利用，在中利用勾股定理及正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴； 故答案为：． 13．/0.5 【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理逆定理，熟练掌握三角函数及勾股定理逆定理是解题的关键；连接，根据网格可得，则有，然后根据正切的定义可进行求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 14． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．过点作的垂线，交延长线于点，设，则，分别在和中，解直角三角形求出的长，再建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交延长线于点， 由题意得：，， 设，则， 在中，， 在中，，， 则， 解得， 则， 故答案为：． 15． 【分析】如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，∵在菱形中，，对角线，连接交于． ∴，，，， ∵设运动时间为，则，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ∴，，， ∴， ∴在上，且在弧上， ∴在此过程中，点P的运动路径长为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的确定，三角函数的应用，弧长的计算，证明在上，且在弧上是解本题的关键. 16．， 【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 【详解】解：原式． 当时． 原式． 17．(1)14.4 (2)38.7米 【分析】本题考查了线段的和差、解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得米，米，再由线段的和差计算即可得解； （2）过点G作于点H，则四边形为矩形，得出，设，则，求出，根据平面镜性质可知，，从而可得，由正切的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：米，米， ∴米； （2）解：过点G作于点H， 则， ∴四边形为矩形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， 根据平面镜性质可知，， ∴，即， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解 ∴（米） 答：安阳文峰塔的高度为38.7米． 18．（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或． 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）如图所示，连接，设与交于点P，延长交于点N，求出，证明出，得到，，然后证明出，得到点D在线段上，然后证明出，设，则，勾股定理求出，，然后利用相似三角形的性质求解即可； （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）如图所示，连接，设与交于点P，延长交于点N ∵四边形是矩形 ∴ ∵，． ∴， ∴ ∴， ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点D在线段上 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴ 解得 ∴，， ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得； （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 19．(1)米 (2)大于等于米且小于等于米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过A作于E，由等边对等角和三角形内角和定理可得，由三线合一定理得到，再解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）过点D作，垂足为F，分别求出和时，的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过A作于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米） ∴的长为米； （2）解：过点D作，垂足为F， 当时， ∵， ∴， 由（2）知（米）， 在中，（米） 当时， ∵， ∴， 在中，（米）． ∴在安全使用范围下，桑梯顶端D到地面的距离范围为大于等于米且小于等于米． 20．(1)①见解析；② (2)①见解析；② (3)6或 【分析】（1）①根据作垂线的尺规作图方法作出过点C且垂直于的垂线，即可得到点P．以点P为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，即为所求． ②在中，通过解直角三角形可求出，根据扇形的面积公式可求出旋转到所扫过的面积； （2）①利用直角互余求证，进而通过“”即可证明； ②利用列式求解即可； （3）分别讨论，，三种情况，特别主要旋转过程中，利用再结合图形性质求解． 【详解】（1）解：①所求图形，如图所示． ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴旋转到所扫过扇形的面积为； （2）①证明：由旋转可知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：由（1）得，， 则， 由①知， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）由旋转得，，， ∴可看作绕点逆时针旋转， ∴，， ∵中，， ∴， ①当时， ∵， 可知点在直线上，如图： 由（2）得， 故的值为； ②当时， ∵， ∴点在直线上， ∵绕点P逆时针旋转，点不在直线上， 所以不存在； ③当时， 如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点， ∴，四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 同理， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 要使，只需， ∵，， ∴， 即， 化简得：， 解得：， 综上所述，的值为6或． 【点睛】本题考查了平行四边形与几何变换综合，涉及平行四边形的性质，旋转，全等的性质与判定，相似的判定与性质，勾股定理及判定直角三角形，三角函数，弧长公式，尺规作图——作垂线，作线段等于已知线段等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$