安徽省蚌埠市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试题

蚌埠市2024一2025学年度第二学期期末学业水平监测 高一数学参考答案及评分标准 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD BCD ABC 注：有两个正确选项的，先出一个正确选项且未选错误选项的给3分，两个正确选项均选出且 未选错误选项的给6分：有三个正确选项的，选出一个正确选项且未选错误选项的给2分，仅选出 2个正确选项且未选错误选项的给4分，三个正确选项全部选出且未选错误选项的给6分。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12号 13.12m 1427 四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)由题意|a|=25,1b|=5,(2a+b)·(a-3b)=0 1分 即3b2+5a·b-2a2=3×5+5a·b-2×20=0 0…b=5,……5分 -5 1 及c08a6）b25x52…7分 (a,b)e[0,ml(ab）= 8分 (2)|2a+b|=√4a2+4a·b+b2=80+4×5+5=√105. 13分 16.(15分) 解：(1)由题意AB=(3,4),A=(-2,-1), 1分 蚌埠市高一数学参考答案第1页（共4页） cos(A店，A花=A店.A花 -6-4.25 5 …3分 |AB·|A元5×5 :(,心∈(0，m).sim(店，花)= 5， 4分 1花(，d=×5x5×5名 即△ABC的面积为2 …7分 (2)设角A,B,C所对的边分别分a,b,c, c=1A21=V√7-4)2+(5-1)7=5，∠C= 3 sinπ33， 8分 32 a+6=0,(s4+a8)=0,smB+引+nd个 =0inB+sB=I0snB+君 12分 0<B< 2, 因为△ABC是锐角三角形， 得若<B< ，…13分 0<-B 号<B+君<故mB+引停小 .a+be(55,10].a+b+c∈(5+55,15]. 即△ABC周长的取值范围为(5+55,15] 15分 17.(15分) (1)证明：由题意BB,⊥平面ACD,∴.BB,⊥CD 又CD⊥AB,AB∩BB,=B,∴.CD⊥平面ABB,A,.CDC平面PCD, .平面PCD⊥平面A,BB.… 5分 (2)连接BD, 因为BB1∥OO1,所以∠BPD为所求角.… 6分 依题意，OB⊥0D,0B=OD=2,所以BD=2√2， 蚌埠市高一数学参考答案第2页（共4页） 又P为正方形AA,BB的边BB的中点，所以PB=2 …8分 故Pn=25mLBn-器号 所以直线00，与DP所成角的余弦值为孕 3 10分 (3)BB,∥001,001C平面0，CD,BB1平面0，CD ∴.BB,∥平面O,CD,易证AB⊥平面OCD, ∴.P到平面O,CD的距离等于OB, ·×4×4x2 .V2 3元 15分 T×22×4 18.(17分) 解：(1/x)=sin(2x+君）+sin(2x-君）-coe2 =5i2x-coe2x=2sim2x-君）， ………2分 令2km-≤2x-石≤2km+受(keZ),解得km-石≤x≤km+写(k∈Z). 函数(x)的单调递增区间为[km-石，m+引(keZ).…5分 (2:*e-B引2x-君e[-号， 2x-石=受时，即x=写时)=2， 2x-石=-时，即x=-时x)m=2sm-写）=-5. (3r号-》-2m0-引-号sim0-引-号 ~6为锐角，0-寻e(-平cs(0-母）=号 cs=m0-平+）-号0-）-号n0- =5.4-2.3-2 2·5-25=10 17分 19.(17分) 证明：(1)e“=cos(-x）+isin(-x)=cosx-isinx, ∴.e"的实部为cosx,虚部为-sinx. 3分 蚌埠市高一数学参考答案第3页（共4页） 又e“的实部为cosx,虚部为sinx .er与e互为共轭复数.… 5分 (2)方法一：coshz1·coshz2+sinhz1·sinhz2 cos(iz)cos(iz2)+(-i)sin(i)(-i)sin (iz) cos(i)cos(iz2)-sin(iz)sin(iz2) =c0s[i(z1+2)] =C0sh(1十22）… 12分 方法二：coshz=eos()=e+。 =ete 2 2 sinh:=-isin(正）=-i.e-ewo-e-e 2i 2 coshz coshz,+sinhz sinhz -+01.2+e2+-e.-e2 2 2 2 2 _e9+ew+te》 ea+》+e+》-e4-2》-ea-2》 ￥ 4 =e9》te-a 2 =cosh(z+). …12分 (3)cos(a iln2)=cosacos(iln2)-sinasin(iln2) cosacosh(In2)-isinasinh(In2), coshs -cos(is) 2 2, sinh:=-isin(i)=i.)e() e-e-: 2i 2 得x=cosgcosh(l2)=cosa·C2e-了 4cosa, y=-sinasinh(In2)=-sina. e2-e-2_ 4sina, 由oa+m=1,整理得答41g1 17分 (以上答案供参考，其他方法酌情给分) 蚌埠市高一数学参考答案第4页（共4页）书 蚌埠市２０２４—２０２５学年度第二学期期末学业水平监测 高 一 数 学 本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟 注意事项： １答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。 ２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 一、单选题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 １若复数ｚ满足ｚ·ｉ＝２－ｉ（ｉ为虚数单位），则复数ｚ在复平面内对应的点位于 Ａ第一象限 Ｂ第二象限 Ｃ第三象限 Ｄ第四象限 ２下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 Ａｙ＝ｃｏｓｘ Ｂｙ＝ｓｉｎ２ｘ Ｃｙ＝ ｓｉｎｘ Ｄｔａｎｘ ３已知直线ａ，ｂ，ｌ，ａ⊥ｌ，则“ｂ⊥ｌ”是“ａ∥ｂ”的 Ａ充分不必要条件 Ｂ必要不充分条件 Ｃ充要条件 Ｄ既不充分也不必要条件 ４要得到函数ｙ＝ｓｉｎ２ｘ＋π( )３ 的图象，可以将函数ｙ＝ｓｉｎ２ｘ的图象 Ａ向左平移π６个单位长度而得到 Ｂ向右平移 π ６个单位长度而得到 Ｃ向左平移π３个单位长度而得到 Ｄ向右平移 π ３个单位长度而得到 ５在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＡＢ的中点，Ｆ为ＣＥ的中点，若ＡＦ→ ＝ｍＡＢ→ ＋ｎＡＤ→，则ｍ－ｎ＝ Ａ１４ Ｂ １ ２ Ｃ ３ ４ Ｄ ５ ４ ６已知ｔａｎπ４＋( )α ＝２，则ｓｉｎα－ｃｏｓαｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ Ａ－２ Ｂ－１２ Ｃ １ ２ Ｄ２ ）页４共（页１第卷试学数一高市埠蚌 ７如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度 ＭＮ，在地面上选择一个观测 　第７题图 点Ｃ，在Ｃ处测得Ａ处的无人机和该建筑的最高点 Ｍ的仰角 分别为３０°，４５°，无人机距地面的高度 ＡＢ为２０米，且在 Ａ处 无人机测得点Ｍ的仰角为１５°，点Ｂ，Ｃ，Ｎ在同一条直线上，则 该建筑的高度ＭＮ（单位：米）为 槡 槡Ａ２０３ Ｂ２５３ Ｃ４０３槡３ Ｄ４０ ８已知某圆锥侧面展开图是圆心角为３π２，半径为２的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最 大值是 Ａ 槡３３４ 槡Ｂ３ Ｃ 槡３７ ４ Ｄ２ 二、多选题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。 ９已知复数ｚ＝－１２＋ 槡３ ２ｉ（ｉ为虚数单位），则下面结论正确的是 Ａｚ＋ｚ－＝０ Ｂｚ２＝ｚ－ Ｃｚ· ｚ－＝ｚ２ Ｄｚ＋１ ＝ ｚ－ １０已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎωｘ 槡－３ｃｏｓωｘ－２在区间（０，π）上恰有两个零点，则ω的可能取值为 Ａ５２ Ｂ３ Ｃ４ Ｄ ２５ ６ 　第１１题图 １１在直三棱柱 ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，∠ＡＢＣ＝９０°，且 ＡＢ＝ＡＡ１ 槡＝ ２， ＢＣ 槡＝３，Ｅ，Ｆ分别是棱ＡＢ，ＡＡ１的中点，Ｍ为棱 ＢＣ上的动点，则 下列结论正确的是 ＡＡＢ１⊥Ａ１Ｍ Ｂ Ａ１Ｍ ＋ Ｃ１Ｍ 的最小值为 槡２２＋１ Ｃ当Ｍ是ＢＣ的中点时，ＢＣ１∥平面ＥＦＭ Ｄ当Ｍ是ＢＣ的中点时，点Ｃ１和Ｂ１到平面ＥＦＭ的距离之比是３∶１ 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分。 １２已知向量ａ＝（２，１），ｂ＝（１，λ），且（ａ＋２ｂ）∥（２ａ－ｂ），则λ＝  １３已知三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中，ＳＡ＝ＳＢ＝ＳＣ＝２，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ 槡＝２２，则该三棱锥的外接球表面 积为  １４在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１，ＡＣ 槡＝ １３，ＡＢ⊥ＢＣ，△ＡＢＣ所在平面内的点 Ｍ满足：ＡＭ⊥ＢＭ， ∠ＡＭＣ＝５π６，则ｓｉｎ∠ＭＢＣ＝  ）页４共（页２第卷试学数一高市埠蚌 四、解答题：本题共５小题，共７７分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 １５（１３分） 已知平面向量ａ，ｂ满足ａ＝（２，４），ｂ 槡＝５，（２ａ＋ｂ）⊥（ａ－３ｂ） （１）求向量ａ与ｂ的夹角； （２）求向量２ａ＋ｂ的模 １６（１５分） 在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ的顶点Ａ，Ｂ的坐标分别为（４，１），（７，５） （１）若顶点Ｃ的坐标为（２，０），求△ＡＢＣ的面积； （２）若∠Ｃ＝π３，求锐角△ＡＢＣ周长的取值范围 １７（１５分） 如图，ＡＡ１，ＢＢ１是圆柱 ＯＯ１的两条母线，ＡＢ，ＣＤ是圆 Ｏ的直径，ＡＡ１ ＝ＡＢ＝４，且 ＣＤ⊥ＡＢ，Ｐ是母线 ＢＢ１上的动点 （１）求证：平面ＰＣＤ⊥平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ； （２）若Ｐ是线段ＢＢ１的中点，求直线ＯＯ１与ＤＰ所成角的余弦值； （３）若四面体Ｏ１－ＰＣＤ的体积为Ｖ１，圆柱ＯＯ１的体积为Ｖ２，求Ｖ１∶Ｖ２的值 　第１７题图 ）页４共（页３第卷试学数一高市埠蚌 １８（１７分） 已知ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋π( )６ ＋ｓｉｎ２ｘ－π( )６ －２ｃｏｓ２ｘ＋１ （１）求函数ｆ（ｘ）的单调递增区间； （２）求函数ｆ（ｘ）在区间 －π１２， ５π[ ]１２上的最大值和最小值以及相应的ｘ的取值； （３）若θ为锐角，ｆ（θ２－ π ２４）＝ ６ ５，求ｃｏｓθ １９（１７分） 欧拉公式ｅｉｘ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ（ｘ∈Ｒ），ｅ是自然对数的底，ｉ是虚数单位它的一个简单而重 要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即 ｃｏｓｘ＝ ｅｉｘ＋ｅ－ｉｘ ２ ，ｓｉｎｘ＝ ｅｉｘ－ｅ－ｉｘ ２ｉ （ｘ∈Ｒ）欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三 角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”当 ｘ＝π时，得到等式 ｅｉπ＋１＝０，数 学里最重要的五个常数ｅ，π，ｉ，１，０被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美 （１）证明：若ｘ∈Ｒ，则ｅｉｘ与ｅ－ｉｘ互为共轭复数； （２）已知ｅｚ１ｅｚ２＝ｅｚ１＋ｚ２（ｚ１，ｚ２∈Ｃ），欧拉公式在复数集内可推广为 ｅ ｉｚ＝ｃｏｓｚ＋ｉｓｉｎｚ，ｅ－ｉｚ＝ ｃｏｓｚ－ｉｓｉｎｚ（ｚ∈Ｃ），需要指出的是，ｃｏｓｚ和ｓｉｎｚ是复数，它们不是 ｅｉｚ的实部和虚部，且 ｃｏｓｚ＝ｅ ｉｚ＋ｅ－ｉｚ ２ ，ｓｉｎｚ＝ ｅｉｚ－ｅ－ｉｚ ２ｉ （ｚ∈Ｃ）容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍 然成立，即ｃｏｓ（ｚ１＋ｚ２）＝ｃｏｓｚ１ｃｏｓｚ２－ｓｉｎｚ１ｓｉｎｚ２（ｚ１，ｚ２∈Ｃ）定义函数 ｃｏｓｈｚ＝ｃｏｓ（ｉｚ）， ｓｉｎｈｚ＝－ｉｓｉｎ（ｉｚ）（ｚ∈Ｃ） 证明：ｃｏｓｈ（ｚ１＋ｚ２）＝ｃｏｓｈｚ１ｃｏｓｈｚ２＋ｓｉｎｈｚ１ｓｉｎｈｚ２（ｚ１，ｚ２∈Ｃ）； （３）若ａ，ｘ，ｙ∈Ｒ，令ｚ＝ａ＋ｉｌｎ２，ｃｏｓｚ＝ｘ＋ｙｉ，证明：１６ｘ ２ ２５＋ １６ｙ２ ９ ＝１ ）页４共（页４第卷试学数一高市埠蚌