4.2 角 第1课时（课件）- 2025—2026学年北师大版数学七年级上册

2 角 第1课时 角 北师大版·七年级上册 第四章 基本平面图形 1 学习目标 1.通过丰富的实例理解角的有关概念，掌握角的表示方法，发展抽象能力和几何直观感知能力，以及多角度分析问题的能力。 2.认识度、分、秒等角的度量单位，探究并理解角度大小的度量，能进行简单的单位换算，能正确使用量角器，提高动手操作能力及一定的计算能力。 3.进一步认识锐角、直角、钝角、平角、周角及其大小关系。 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 问题引入 问题1 结合小学学过的知识，你能在下面一组图中找到角吗？ 问题2 请结合下面图片说说你对角的认识。 锐角 大于0°且小于90° 直角 1直角=90° 钝角 大于90°且小于180° 平角 周角 1平角=180° 1周角=360° 探究新知 探究点1 角的概念及表示方法 问题1 从前面的问题中我们知道角是一个几何图形，请你说说角是由什么图形构成的？ 概念1 角由两条具有公共端点的射线组成 角的顶点 角的边 顶点 边 边 静态描述 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 问题2 （1）如图，观察发现裁纸刀在开合过程中会形成大小不同的角，思考一些角还有其他定义方法吗？ 概念2 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的 顶点 始边 终边 动态描述 角的大小与边的长短无关。 （2）射线 OA 绕端点O旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直线时，形成什么角？ O A B 当终止位置 OB和起始位置OA成一条直线时，形成平角。 注意：平角的两边成一条直线，但不能说直线就是平角。 1 平角 = 180° 继续旋转，OB 和OA 重合时，又形成什么角？ （2）射线 OA 绕端点O旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直线时形成什么角？ O A （B） 注意：周角的两边重合成一条射线，但不能说射线就是周角。 当终止位置 OB和起始位置OA重合时，形成周角 1 周角 = 360° 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 O A B O A （B） 平角和周角： 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角。 问题3 类比线段、射线、直线的表示方法，想一想，角可以怎么来表示？ 记法1 用三个大写英文字母表示 记作：∠BAC或∠CAB 角的几何符号为“∠” A B C 注意：“∠”不要与“＜”混淆 记法2 用一个大写英文字母（顶点字母）表示 记作：∠A 表示顶点的字母写在中间 顶点处只能有一个角 记法3 α 用一个希腊字母表示 记作：∠α 用一个阿拉伯数字表示 1 记作：∠1 记法4 注意：要在靠近角的顶点处画上弧线和标上希腊字母或阿拉伯数字后才能使用。 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 尝试·思考 （1）用适当的方式表示图中的每个角。 A B C D ∠BAC， ∠CAD， ∠BAD。 （2）在图中，∠BAC，∠CAD和∠BAD能用∠A来表示吗？ A B C D 都不能用∠A 来表示，因为用单个大写英文字母表示只适用于以这一点为顶点的角只有一个时，而这3个角都是以 A 为顶点。 【对应训练】 1.判断下列哪些图形是角，是角的请在括号里打“√”，不是的打“×”。 （ ） （ ） （ ） （ ） √ √ × × 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 2.下列四个图中，能用∠1，∠ABC，∠B 三种方法表示同一个角的是（ ） A 探究点2 角的度量与单位换算 问题1 表示时间的单位有哪些？它们之间有什么关系？ 小时、分钟和秒。1小时=60 分=3 600 秒 问题2 （1）小学时我们知道角度可以用“度(°)”来表示，类比问题1中有关时间的单位，如果要更精密地度量角，是否还有其他度量单位？ 度、分、秒。 （2）什么是1度的角？如何用符号表示？ 把一个周角 360 等分，每一份就是1度的角。1 度记作 1°。 为了更精密地度量角，我们规定： 1°的 为 1 分，记作 1′，即 1°= 60′。 1′ 的 为 1 秒，记作 1′′，即 1′ = 60′′。 它们之间是60进制 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 归纳 度 分 秒 ×60 ×60 ×3600 ÷60 ÷60 ÷3600 角的换算： 1周角=_____° 1平角=_____° 1直角=_____° 1°= _____' 1' = _____'' 1'' = _____' 1' = _____° 1'' = _______° 1周角=___平角 1平角=___直角 360 180 90 60 60 2 2 1周角=___直角 4 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 例1 计算： （1）1.45°等于多少分？等于多少秒？ （2）1 800″ 等于多少分？等于多少度？ 解：（1）60′×1.45 = 87′，60″×87 = 5 220″， 即 1.45°= 87′= 5 220″； （2）( )′×1 800 = 30′，( )°×30 = 0.5°， 即 1 800″= 30′= 0.5°. 【教材 P121随堂练习第2题】 2.（1）0.25°等于多少分？等于多少秒？ 解：（1）0.25°=60′× 0.25= 15′ 0.25°= 15′ = 60″× 15 = 900″ （2）2700″等于多少分？等于多少度？ （2） 2700″=( ) ″×2700 = 45′ 2700″=45′=( ) °×45 = 0.75° 对应训练 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 探究点3 方位角 问题1 小学我们学过八大方向，它们是如何表示的？ 北 西 东 南 O 东北 东南 西南 西北 问题2 如图中射线 OM 和射线ON 表示的方向，还有些角度不是刚好在八大方向上，这些角度我们如何更为准确地表示其方向呢？ A D C B 北 西 东 南 O 30° 25° M N 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 方位角： 概念：用角度和方向表示方位的角。 形成：以第一个方向(正北或正南)为角的始边向第二个方向(正东或正西)转动所形成的角。 表示规则：（1）一般以正北或正南的方向为基准，再加上偏东或偏西的角度； （2）习惯上把北或南写在前，把东或西写在后，用两个方向表示，方位角的度数为两条射线的夹角的度数。 问题3 东北、东南、西北、西南四个方向可如何用方位角表示？ 问题2中射线 OM 和射线 ON 表示的方位角是什么？ 北 西 东 南 O 东北 东南 西南 西北 A D C B 北 西 东 南 O 30° 25° M N 北偏西45° 南偏西45° 北偏东45° 南偏东45° 北偏东30° 南偏西25° 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 观察·思考 下图呈现了几个城市在中国地图上的大致位置。 （1）分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角。 （2）哈尔滨在北京的北偏东大约多少度？ N D O C B A 解：（1）如图，标上字母。 用量角器度量，可知 ∠DON≈45°，∠CON≈150°，∠BON≈165°，∠AON≈135°。 （2）哈尔滨在北京的北偏东大约45°。 对应训练 【教材 P121随堂练习第1题】 1.一个动物园的部分示意图如图所示。 （1）海洋世界在大门的正东方向，你能说出它在大门的北偏东多少度吗？ （2）虎豹园、猴山、大象馆分别在大门的北偏东(或南偏东)多少度？ 解:（1）海洋世界在大门的北偏东90°。 （2）虎豹园在大门的南偏东0°，猴山在大门的北偏东0°，大象馆在大门的北偏东48°。 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 （3）在图中连接各个景点与大门，并用适当的方式表示各角。 （4）指出图中的锐角、钝角、直角、平角。 （3）∠BOD，∠BOA，∠BOC，∠DOA，∠DOC，∠AOC。 （4）∠BOD，∠DOA是锐角；∠DOC是钝角；∠BOA，∠AOC 是直角；∠BOC 是平角。 随堂训练 1.如图，下列角的表示方法中，不正确的是（ ） A.∠A B. ∠α C. ∠1 D. ∠B D 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 2.如图，已知∠1=60°，则射线OE所表示的方向是（ ） A.北偏西30° B.北偏西60° C.北偏东30° D.北偏东60° C 3.观察图形，回答下列问题： (1)以点B为顶点的角有几个?分别表示出来。 (2)请分别指出以射线BA为边的角。 (3)以点D为顶点，DC为一边的小于平角 的角有几个?分别表示出来。 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 解：(1)以点B为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD，∠DBC。 (2)以射线BA为边的角：∠ABE，∠ABC。 (3)以点D为顶点， DC为一边的小于平角的角有2个，分别是∠BDC ，∠EDC。 课堂总结 1.你能从静态和动态两个方面阐述什么是角吗？能从动态方面解释平角、周角吗？ 2.角有哪些表示方法？你能举例说明吗？ 3.角的度量单位是什么？如何换算？举例说明。 4.什么是方位角？你能用方位角表示方向吗？ 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。二次根式的教学重点应该放在如何成图上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握等积变换的关键在于理解如何实例化，这是解决相关问题的基本功。 知识结构 角 角的概念 角的分类 角由两条具有公共端点的射线组成（静态定义） 锐角、直角、钝角、平角、周角 由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形（动态定义） 角的表示方法 用三个大写英文字母或一个大写英文字母表示 用一个阿拉伯数字表示 用一个希腊数字表示 角的度量与单位换算 用量角器度量，单位：度、分、秒，1°=60′，1′=60″ 角的实际应用 方位角等 $$