湖南省永州市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷

永州市2025年上期高一期末质量监测试卷 数学 命题人：刘广奇（祁阳一中） 王惠（水州四中） 郭燕波（东安一中） 卢登峰（蓝山二中） 审题人：席俊雄（永州市教科院） 注意事项： 1.本试卷共150分，考试时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效 3.考试结束后，只交答题卡 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.复数z=1+i(i是虚数单位)，则川z A.1 B.√2 c.5 D.2 2.某学校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生，为 了解不同年级学生运动的情况，通过分层随机抽样的方法，从全体学生中抽取一个容量 为300的样本，那么从高一年级抽取的学生人数为 A.110 B.100 C.90 D.80 3.已知1a4,1b=1,ab=2,则a与6的夹角为1 A君 B音 c.3 D. 2π 3 4.已知平面a和直线m,n,若m∥a,m∥n,则n与a的位置关系是 A,相交 B.n∥a C.nca D.n∥a或nca 5.在aMBc中，4=君BC=万，则B=6是“C-号”的 3 A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事 件A:第一次取到红球，事件B:第二次取到绿球，事件C:两次取到同色球，事件D: 两次取到异色球，则 A.A与B互斥 B.A与C相互独立 1 C.C与D互为对立事件 D.B与D相等 水州市2025年上期高一期木质量益测认卷·数学第1页（共4页） 7.如图1，已知四边形PABC是直角梯形，AB∥PC,AB⊥BC,PC=2AB=2BC,D是 线段PC中点.将△PAD沿AD翻折，使∠PDC=受，连接PB,PC,如图2所示，则PB 与平面ABCD所成角的正弦值是 0 图1 图2 7题图 A.0 4 B.6 4 C.6 3 D. 3 8.在锐角△ABC中，角A,B,C所对应边分别为a,b,c,△ABC的而积为S,若 2S+acsin.4=c2sinC,则an(C-A利+，2的可能取值为 tan A.22 B.3 C.4 D.42 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.有一组样本数据1,2,3,4,5,6,7,8,9，若去除首末两个数，得到一组新的样本 数据，则这两组数据的 A.极差相等 B.中位数相等 C.方差相等 D.平均数相等 10.已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若a>b,则sinA>sinB B.若sinB=sinC,则B=C C.若A<C,则cos2A>cos2C D.若tanA>0,则△ABC是锐角三角形 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，AP=PD=2,AB=√6，CD=1,∠ADC=∠APD=90°， 平面PAD⊥平面ABCD,E是棱PA的中点，且BE∥平面PCD,则 A,AP⊥平i面PCD B.并面直线BE与PD所成角的正切值为2 C.三棱锥P-ACD的外接球的表而积为36元 D.底面四边形ABCD内（包含边界）有一动点卫， P②=√3，则动点的轨迹长度为π 11题图 水州市2025年上期高一期木质量监测认卷·数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆锥的底面周长为6π，高为5，则该圆锥的体积为 13.如图，在正八边形上有A,B,C,D,E,F,G,H八个顶点，每个相邻的两顶点间称为 1步（例如：A到B为1步）.现有一小球起始位置在点A处，并按规则沿八边形的边进行 移动，移动规则为：抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为(=，2,6)，则 小球按顺时针方向前进步到达另一个顶点.若抛掷两次骰子，则小球回到顶点A处的概 率为 H 13题图 14.已知△MBC中，CB=3,CA=2,C=号，C=2n0西+30-)C(eR),则a@1的 最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15(本小题满分13分)已知a=(1,-2),b=(2,1),c=（-2,3). (1)若a⊥b,求的值： (2)当k为何值时，(a+2⊙1ka-c)? 16.(本小题满分15分)某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行 学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据， 分成[40,50)，50,60)，[60,70)，[70.80)，80,90)，[90,100]六组，整理得到如下频率 分布直方图. 颜率 个组距 0.030 0.015 8器结青气微分 16题图 (1)根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数： (2)在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在80,100的学生作为座淡代表，求 这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率， 永州布2025年上期高一期末质量监涮试卷·数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 在锐角△MBC中，角A,B,C所对应边分别为a,b,c,2sin4(ccos B+bcosC)=V3a. (1)求A: (2)若a=√3，求b2+c2+bc的取值范围， 18.(本小题满分17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为 正方形，PA=AB=2,点E在线段PC上. (1)当PE=EC时， (i)求证：PA∥平面BDE: (i)求点P到平面BDE的距离： (2)当PE=2EC时，求二面角E-BD-C的余弦值. (不允许用空问向量法求解) 18题图 19.(本小题满分17分) 数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数 字串，发送时按顺序每次只发送一个数字，发送数字0时，收到的数字是0的概率为 P(0<P1<),收到的数字是1的概率为1-P:发送数字1时，收到的数字是1的概 率为P2(0<P2<),收到的数字是0的概率为1-P2·假设每次数字的传输相互独立， 且p×P2=2 1)若发送的数据为01”，且A子，=子，求接收到的两个数字中有且只有- 2 个正确的概率： (2)用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为(X),如X=“001”,则 n(X)=2,对应的概率记为P(a(X)=2). (i)若发送的数据为：“011”，且2P(n(X)=2)=13P((X)=3),求P2: (i)若发送的数据为“0101”，求P((X)=2)的最大值. 水州市2025年上期高一期末质量监渊试卷·数学第4页（共4页）永州市2025年上期高一期末质量监测试卷 数学参考答案及评分标准 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 答案 B y D B C D C 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 BD ABC ABD 三、填空题 12.15π 36 14.35 部分小题的解析： 8.解析：在锐角△ABC中，2S+acsin A=c2sinC, 所以acsin B+acsin A=c2sinc,即asin B+asinA=csin C 由正弦定理有ab+a2=c2,又由余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C ..ab+a2=a2+b2-2abcosC,.a+2acosC=b 由正弦定理有sinA+2 sin Acos C=sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C .sin A sin Ccos A-cos Csin A=sin(C-A) △ABC,所以A=C-A,即C=2A 0<4号 又锐角△ABC中， 0<B=π-A-C=π-3A< 2 0<C=2A< <A<anAe 6 4 3 ..tan(C-)+ 2 tan+ 2 73 tan A tan A 故anC-)+,2的可能取值为4，答案选C tan A 永州市2025年上期高一期末质量监测试卷·数学参考答案及评分标准第1页（共7页） 11.解析： 对于A选项，因为平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD, 又CDC平面ABCD,CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD, 又因为APC平面PAD,所以AP⊥CD, 又因为AP⊥PD,PD∩CD=D,PDc平面PCD,CDC平面PCD, 所以AP⊥平面PCD,故A正确： 对于B选项，取AD中点为F,连接EF,BF,又因为E为AP中点， 所以EF∥PD所以∠BEF为BE与PD所成角（或补角）， 又EFa平面PCDPCD,PDc平面PCD,所以EF∥平面PCD, 又因为BE∥平面PCD,EF∩BE=E,EFc平面BEF,BFC平面BEF, 所以平面BEF∥平面PCD,又平面BEF∩平面ABCD=BF,平面PCD∩平面 ABCD=CD,所以CD/BF,又CD⊥平面PAD,所以BF⊥平面PAD,EFC平面PAD, 所以F1F,F-AF=2,F=,所以m∠B5F=距=2，所以B正确 对于C选项，因为△APC和△ADC为直角三角形，所以三棱锥P-ACD的外接球球心 为4C的中点，半径为号所以三棱锥P-4CD的外接球表面积为9，故C铅误 对于D选项，连接PF,则PF为三棱锥P-ABCD的高，又Pg=√3，故QF=1, 所以动点Q的轨迹是以F为圆心1为半径的半圆，故D正确： 故正确答案为：ABD 14.解析： 令CM=2c8.=3Ci,1cMH=6,c-号 所以△CMN为等边三角形， |1×2CB+(1-)×3×CAH2CM+(1-)CW 记CO=ACM+1-)C,M,N,Q三点共线 当CQ垂直MN时，|CO最小， 则1C01的最小值为V62-32=35. 永州市2025年上期高一期末质量监测试卷·数学参考答案及评分标准第2页（共7页） 四、解答题 15.解析： (1)由题可知，a⊥b a-b=0… …2分 Q=(1,-2),b=(元，1）… …小心3分 ·.a.b=1×元+(-2)×1=0 ·5分 解得入=2……… …6分 (2)由a=(1,-2),c=(-2,3),得a+2c=(-3,4) …7分 ka-c=(k+2,-2k-3)… …8分 :五+2元与ka-c平行… …9分 d+2C=(ka-C)… 10分 -3×(-2k-3)-4(k+2)=0…12分 “=-」 …13分 2 16.解析： (1)因为(0.015+a+a+0.030+0.003+0.002)×10=1…1分 所以a=0.025…2分 参加这次测评学生成绩的众数为75分………3分 由所给频率分布直方图知 100名学生成绩在[40,60)的频率为0.4，在40,70)的频率为0.65，…4分 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数在[60,70)内…5分 设中位数为x,则0.40+(x-60)×0.025=0.50,…6分 解得x=64 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数为64。……………7分 (2)在抽查的100名学生中，成绩在80,90)中的学生有0.003×10×100=3人，…8分 成绩在[90,100]中的学生有0.002×10×100=2人，…9分 ∴.记8090)中的3人为1,2,3， 记90,100]中的2人为a,b…10分 所有基本事件有： 永州市2025年上期高一期末质量监测试卷·数学参考答案及评分标准第3页（共7页） (1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b)共10种，…12分 来自同一组的有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，(a,b),共4种情况，…13分 故恰好来自同一组的概率p= 42 105 …15分 17.解析： (1)依题意，由正弦定理a= b …1分 sin A sin B sin C 得2sinA(sin Ccos B+sin BcosC)=√3sinA…2分 2 sin Asin(B+C)=√3sinA… ……3分 即2 sin AsinA=√3sinA …4分 又在锐角△MBC中，有Ae0 所以sinA>0,…5分 所以sin4= …6分 2 所以A=；…7分 3 (2)结合(1)可得A=交，B+C=π-A= 2π 3 3， 由a=V5,则根据正弦定理有a=b =2,…8分 sinA sinB sinC 得b=2sinB,C=2sinC,…9分 根据余弦定理有a2=b2+C2-2 bccos A,得b2+c2=3+bc,…10分 六b2+c2+bc=3+2bc=3+8 sin Bsin C=3+8 ssin Bsin(2-B…11分 3 =3+43 sin Bcos B+4sin2B=3+23sin 2B-2cos2B=5+4sin(2B-) …12分 6 又△Bc为角三角形，则有8e0引-B0引得8到引 13分 sin an-) …14分 故+c2+hc=5+4sin2B-(.9…15分 永州市2025年上期高一期末质量监测试卷·数学参考答案及评分标准第4页（共7页） 18.解析： (I)(i)连接AC交BD于点O,连接EO,…1分 因为底面ABCD为正方形，所以点O为AC的中点，…2分 当PE=EC时，E为PC中点，所以PA∥OE…3分 因为PAE平面BDE,OEC平面BDE .PA∥平面BDE…5分 (ii)由(i)知PA∥平面BDE, 所以点A到平面BDE的距离即为点P到平面BDE的距离…6分 :PA⊥底面ABCD,PA∥OE EO⊥底面ABCD,.EO⊥AO,…7分 因为底面ABCD为正方形，所以AO⊥BD,所以AO⊥平面BDE…8分 所以AO即为点A到平面BDE的距离， A0=AC=2…9分 2 所以点P到平面BDE的距离为√2，…I0分 (2)当PE=2EC时，点E为PC上靠近于C的三等分点，…11分 连接E0,PC=VPm2+4AC2=2W5,EC=25 …12分 又PB=PD,BC=DC,PC=PC,.4PBC=APDC,点E在公共边PC上·13分 .BE=DE,∴.EO⊥BD又OC⊥BD ∠EOC为二面角P-BD-C的平面角…14分 在RAP1C中，cos∠PCA=4C-22-V6 PC 23 3 永州市2025年上期高一期末质量监测试卷·数学参考答案及评分标准第5页（共7页） 在4EOC中，在由余弦定理得： E02=0C2+EC2-200ECc0s∠P04=2+4-2x2×25x6_2.…15分 3 333 4 cos∠EOC= E02+0C2-EC2 +2-3 3 2EO.OC 2x V6 3* 3 …16分 所以二面角P-BD-C的余弦值为 …17分 3 (其它非空间向量方法酌情给分) 19.解析： 3 (1)记接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件A,由已知户=行乃=4…1分 事件A包含两种情况： 第一种数字0接收正确数字1错误，概率为： 2分 第二种数字0接收错误数字1正确，概率为：1- 小…3分 所以A=子x0-子+1-子》 35 …4分 (2)(i)由发送的数据为011”可知，事件(X)=2表示接收到的数据中含两个0， 包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误， ②数学0错误，数字1都错误，……5分 所以P叫(X)=2)=2A乃(1-乃)+(1-乃1-及)…6分 事件(X)=3表示接收到的数据中含三个0， 只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误，……7分 所以P(n(X=3)=乃(0-及了… …8分 由2P(n(X)=2)=13rM9=3到得： 2[2p,P01-p2)+1-A1-p}]=13p1-p) 化简得19p,B2+2-15月-2p2=0…9分 又因为A×n分∴A上式可化为： 2p2 永州市2025年上期高一期末质量监测试卷·数学参考答案及评分标准第6页（共7页） 4p2-23n+15=0n-2或n,=舍去)…10分 (i)当发送的数据为0101”，事件(X)=2包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为'，'=} ……11分 ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确， 其概率为20-B)×2P21-P)=4BP20-B-P2+乃P2)=3-2(B+P2),…12分 ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为 0-p)'0-P)2=1-A-B+BP)2= ……13分 所以ra0=2)-+3-2a+A)H}a+a, 14分 令月*，则An-空A站0<n0nA …15分 所以 Pa0=2-+3-2a+a)[}n+a=a+ai-a+g) [a*哥月 记m-u-多-，x5别 …16分 由二次函数的性质可知，在巨，引 单调递减， 所以)得最大值为fW2)=5-5√2， 即代0-2)的最大值为5-55。 …17分 永州市2025年上期高一期末质量监测试卷·数学参考答案及评分标准第7页（共7页）