直线与圆篇专题八：有关圆的切线问题训练-2026届高三数学一轮复习回归教材版微专题

2026届高三一轮复习回归教材版微专题——直线与圆篇 专题八 直线与圆的切线问题 回归教材典题 回归教材不是简单的重复，而是要注意挖掘教材的典型例题习题的内在价值，开展变式教学，多维度拓展。本专题分两部分：第一部分是回归教材、知识梳理；第二部分是针对教材习题的变式跟踪练习，对于回归教材可以起到事半功倍的效果。 题型概览 01 人教A版2019年选择性必修一P92页例2 02 人教A版2019年选择性必修一P93页练习2 03 人教A版2019年选择性必修一P98页习题2.5第2题 04 人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3B第1题 05 人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3B第2题 06 人教B版2020年选择性必修一P116页练习A第5题 07 人教B版2020年选择性必修一P116页练习B第1题 08 人教B版2020年选择性必修一P116页练习B第3题 09 人教B版2020年选择性必修一P113页例2 1、人教A版2019年选择性必修一P92页例2： 过点作圆的切线l，求切线l的方程． 【分析】如图，容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为，k为斜率．由直线与圆相切可求出k的值． 【解析】 法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，即． 由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得， 解得或． 因此，所求切线l的方程为，或． 法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为． 因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解．消元，得 ①， 因为方程①只有一个解， 所以，解得或． 所以，所求切线l的方程为，或． 2、人教A版2019年选择性必修一P93页练习2： 已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程． 【答案】 【分析】依题意，利用直线与圆相切的几何特征，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求半径，即可得到圆的方程. 【详解】圆心在原点即圆心为，因为直线与圆C相切，故圆心到直线的距离等于半径， 则，所以圆的方程为. 3、人教A版2019年选择性必修一P98页习题2.5第2题： 求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： （1）圆心为，且与直线相切； （2）圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； （3）半径为，且与直线相切于点． 【分析】（1）根据点到直线的距离求得半径,进而得答案; （2）设圆心坐标为，再根据题意得，解得或，进而求得答案； （3）设圆心坐标为,则，解方程得或，进而求得答案. 【详解】（1）因为圆与直线相切，所以点到直线的距离即为圆的半径，所以，所以圆的方程为：，图像如图： （2）因为圆心在直线上，半径为2，所以设圆心坐标为，又因为所求圆与直线相切， 所以，解得或，所以所求圆的方程为 或，图像如图： （3）半径为，且与直线 相切于点，所以设圆心坐标为, 则，解得或， 所以所求圆的方程为： 或 ，图像如下： 4、人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3B第1题： 求过点且与两坐标轴都相切的圆的方程。 【解析】设圆心坐标为，又因过点，故，则半径，故圆方程为， 把点的坐标代入得，展开整理得，即， 解得或 当时，圆的方程为；当时，圆的方程为。 5、人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3B第2题： 求通过圆上的一点所作的该圆的切线方程。 【解析】方法一：由已知得，圆心，点在圆上，则，因为切线与CA垂直， 故切线斜率为，则切线方程：，整理： 方法二：设切线方程为，即，圆心到切线距离等于半径5， 由点线距离公式得，两边平方整理的，所以，故切线方程：。 6、人教B版2020年选择性必修一P116页练习A第5题： 已知直线与圆相切，求的值。 【解析】方法一：由得圆心，半径为2，由直线得， 因为圆心到直线距离等于半径，则有 。 方法二：联立方程得，消去y得， 因为直线与圆相切，故 。 7、人教B版2020年选择性必修一P116页练习B第1题： 1．（1）已知圆，求经过圆上的点的切线方程． （2）已知是圆上一点，求证：过点M的圆的切线方程为． 【分析】（1）由题意结合圆的切线的性质，求出切线的斜率，即可得切线返程； （2）分两种情况考虑：当切线方程的斜率不存在时，显然切线方程为；当切线方程的斜率存在时，要求过的切线方程，就要求直线的斜率，先根据和的坐标求出直线的斜率，根据直线与圆相切时切线垂直与经过切点的半径得到直线与切线垂直，即可求出切线的斜率，得到切线方程 【详解】（1）设原点为O,M(-1,1),则 ,所以经过圆上的点的切线的斜率为1， 故切线方程为 ，即 ； （2）证明：当切线方程的斜率不存在时，或，，则切线方程为：,此时过点M的圆的切线方程可写为； 当切线方程的斜率存在时，由，可知圆心为原点，，， 所以直线的斜率，根据所求切线与直线垂直得到切线的斜率， 则切线方程为，即，而 ， 综上，所求切线方程为． 8、人教B版2020年选择性必修一P116页练习B第3题： 求斜率为2且与圆相切的直线的方程。 【解析】方法一：由已知得圆方程化为，则圆心，半径， 设直线方程为，即，由圆心到直线距离等于半径得 ，解得或，故直线方程为或。 方法二：设切点，由已知得圆心为，又切线斜率为2， 则，又，联立， 将代入圆方程，得或 对应得或 切线过时，方程，即； 切线过时，方程，即。 9、人教B版2020年选择性必修一P113页例2： 已知点M（1,2）是圆上一点，求圆的过点M的切线方程。 【修改】方法一：设切线斜率为k，圆心，因切线与OM垂直，则切线斜率 故切线方程为，整理得。 方法二：设切线上任一点，， 因，则，即，展开得，整理得。 基础知识梳理： 1、求圆的切线方程的两种方法： 几何法 设切线方程为，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离，然后令，进而求出 代数法 设切线方程为，与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，然后令判别式，进而求出 2.圆的切线方程的常用结论： （1）过圆上一点的圆的切线方程为. （2）过圆上一点的圆的切线方程为. （3）过圆外一点可引圆的两条切线，切点为,，则切点弦所在的直线方程为. （4）过圆外一点可引圆的两条切线，切点为,，则切点弦所在直线的方程为. 八、直线与圆的切线问题跟踪训练卷 一、单选题：共8道，每道题5分。 1．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，即可求得结果. 【详解】因为点到直线的距离是， 所以圆的半径为，所以圆的方程为. 故选：A. 2．过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线性质可知切线l斜率，进而可求切线方程. 【详解】因为圆的圆心为，且，可知点在圆上， 则，可得切线l斜率，所以直线l的方程为，即. 故选：B． 3．过点作圆的两条切线，设两切点为A，B，圆心为C，则过A，B，C的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆的圆心坐标，利用圆的切线性质确定所求方程的圆的圆心半径即可. 【详解】圆的圆心，半径为，而， 由，得四点共圆，该圆是以线段为直径，则该圆的圆心坐标为，半径，所以过的圆的方程为. 故选：A 4．已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四边形PACB的外接圆的直径为PC，且其最小值为圆心C到直线的距离求解. 【详解】圆的方程，即为，圆心，易知四边形PACB的外接圆的直径为PC，PC的最小值为圆心C到直线的距离，即，则四边形PACB的外接圆的半径为，所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为. 故选：D 5．已知圆，过平面上的点引圆的两条切线，使得，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接圆心和切点，能得到正方形，则为定长，即点P在以C为圆心，2为半径的圆上. 【详解】圆，半径，设，设切线与圆分别切于， 所以，因为两切线，所以四边形为正方形，所以，点P在以C为圆心，2为半径的圆上,则的轨迹方程为． 故选：B．    6．从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切求得直线的斜率，得到切线的倾斜角，结合图形求得两条切线间圆的劣弧所对的圆心角，用弧长公式即得. 【详解】    由配方得：，即圆心为,半径为. 如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接.设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：，设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故,则两条切线间圆的劣弧长为. 故选：B. 7．已知圆，过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，三角形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件设，得，在中，用表示，由此得到关于的方程，三角恒等变换化简解得，即可在中求解. 【详解】因为可化为，设，， 三角形直角三角形，，，所以，所以， 即，所以，整理可得：，，，所以，解得，，所以；因此在中，. 故选：B 8．已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意作图，根据相似三角形以及勾股定理，建立所求圆的半径与的等量关系，利用数形结合，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由圆，则圆心，半径，因为与圆分别相切于，所以，，设，，，易知，易知，则，可得，即，在中，，则，即， 由图可知，则，整理可得， 由图易知当垂直于直线时，取得最小值，则， 由函数在上单调递增，则的最小值为， 以为直径的圆的面积，所以面积的最小值为. 故选：C. 二、多选题：共3道，每道题6分。 9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为．若直线上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】BCD 【分析】先由题意得出，然后根据点到直线的距离与的大小关系即可求出，从而得解. 【详解】圆C的方程可化为，其半径，圆心，因为过P所作的圆的两条切线相互垂直，所以点P、圆心C以及两切点构成正方形，所以．∵P在直线上，∴圆心到该直线的距离，计算得．对照选项，可知BCD均有可能． 故选：BCD. 10．已知圆和圆外一点，过点作圆的切线，其中是切点，则下列结论正确的是（     ）. A． B． C．四边形的面积为8 D．点在外接圆的外部 【答案】AB 【分析】画出图形，由勾股定理可得A正确；由圆的中点弦的性质可得B正确；由三角形的面积公式可得C错误；由，可得D错误. 【详解】圆心为，半径为，如图： A，因为为直角三角形，且，，所以，故A正确； B，由可得，又圆的中点弦的性质可得，故B正确； C，四边形的面积，故C错误； D，因为，，故点在的外接圆上，圆心为中点，故D错误； 故选：AB. 11．已知圆：，是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A．有最小值 B．四边形的周长最小为8 C． D．外接圆的面积最大为 【答案】ABC 【分析】对A，设，得到的表达式，根据二次函数性质即可得到其最小值，对BCD，均用写出各自表达式即可判断. 【详解】设，，所以当，即时，取得最小值，A正确；四边形的周长为，当取最小值时，四边形的周长最小为8，B正确；因为，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，则，C正确；对D，因为，，则有外接圆即为四边形的外接圆，而四边形的外接圆是以为直径的圆，显然外接圆面积，当且仅当时等号成立，故外接圆的面积最小为，无最大值，D错误，故选：ABC．    3、 填空题：共3道，每道题5分。 12．若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】①点到直线距离等于半径，∴，∴圆的标准方程为；②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点；由圆的切线的性质可知，，∴，∴，即。 13．在平面直角坐标系中，的坐标满足，，已知圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当最大时，圆关于点对称的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出点的轨迹，利用切线的性质探讨取最大的等价条件，由此求出点的坐标，再由对称求出圆方程. 【详解】依题意，点的轨迹为直线上，显然，要最大，当且仅当最大，在中，，而正弦函数在上单调递增，则只需最大，即圆心到点的距离最小，因此，又圆心， 此时直线的方程为，由解得点，于是圆心关于点对称的点的坐标为，所以圆关于点对称的圆的方程为． 14．已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】设，根据题意确定出四点共圆并求解出圆的方程，然后根据两圆相交弦所在直线方程的求法求解出结果. 【详解】设，如下图， 因为为圆的切线，所以，所以， 所以四点共圆，且为圆的直径，记的中点为，因为，所以，所以经过四点的圆的方程为，显然与的相交弦为，所以所在直线的方程为，即为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高三一轮复习回归教材版微专题——直线与圆篇 专题八 直线与圆的相切问题 回归教材典题 回归教材不是简单的重复，而是要注意挖掘教材的典型例题习题的内在价值，开展变式教学，多维度拓展。本专题分两部分：第一部分是回归教材、知识梳理；第二部分是针对教材习题的变式跟踪练习，对于回归教材可以起到事半功倍的效果。 题型概览 01 人教A版2019年选择性必修一P92页例2 02 人教A版2019年选择性必修一P93页练习2 03 人教A版2019年选择性必修一P98页习题2.5第2题 04 人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3B第1题 05 人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3B第2题 06 人教B版2020年选择性必修一P116页练习A第5题 07 人教B版2020年选择性必修一P116页练习B第1题 08 人教B版2020年选择性必修一P116页练习B第3题 09 人教B版2020年选择性必修一P113页例2 1、人教A版2019年选择性必修一P92页例2： 过点作圆的切线l，求切线l的方程． 2、人教A版2019年选择性必修一P93页练习2： 已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程． 3、人教A版2019年选择性必修一P98页习题2.5第2题： 求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： （1）圆心为，且与直线相切； （2）圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； （3）半径为，且与直线相切于点． 4、人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3B第1题： 求过点且与两坐标轴都相切的圆的方程。 5、人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3B第2题： 求通过圆上的一点所作的该圆的切线方程。 6、人教B版2020年选择性必修一P116页练习A第5题： 已知直线与圆相切，求的值。 7、人教B版2020年选择性必修一P116页练习B第1题： 1．（1）已知圆，求经过圆上的点的切线方程． （2）已知是圆上一点，求证：过点M的圆的切线方程为． 8、人教B版2020年选择性必修一P116页练习B第3题： 求斜率为2且与圆相切的直线的方程。 9、人教B版2020年选择性必修一P113页例2： 已知点M（1,2）是圆上一点，求圆的过点M的切线方程。 基础知识梳理： 1、求圆的切线方程的两种方法： 几何法 设切线方程为，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离，然后令，进而求出 代数法 设切线方程为，与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，然后令判别式，进而求出 2.圆的切线方程的常用结论： （1）过圆上一点的圆的切线方程为. （2）过圆上一点的圆的切线方程为. （3）过圆外一点可引圆的两条切线，切点为,，则切点弦所在的直线方程为. （4）过圆外一点可引圆的两条切线，切点为,，则切点弦所在直线的方程为. 八、直线与圆的切线问题跟踪训练卷 一、单选题：共8道，每道题5分。 1．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．过点作圆的两条切线，设两切点为A，B，圆心为C，则过A，B，C的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 4．已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，过平面上的点引圆的两条切线，使得，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆，过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，三角形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：共3道，每道题6分。 9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为．若直线上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 10．已知圆和圆外一点，过点作圆的切线，其中是切点，则下列结论正确的是（     ）. A． B． C．四边形的面积为8 D．点在外接圆的外部 11．已知圆：，是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A．有最小值 B．四边形的周长最小为8 C． D．外接圆的面积最大为 3、 填空题：共3道，每道题5分。 12．若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 13．在平面直角坐标系中，的坐标满足，，已知圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当最大时，圆关于点对称的圆的方程为 ． 14．已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$