精品解析：山东省淄博市高新区2024-2025学年（五四学制）八年级下学期期末数学试题

2024~2025学年度第二学期期末学业水平检测初三数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（ ） A B. C. 2 D. 不能确定 4. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 7. 根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 9. 如图所示，为丰富市民的业余生活，某市体育场馆内的一块长为，宽为的矩形场地进行升级改造，设置了两条长为，一条长为的草坪隔离带．将矩形场地划分为六块不同的娱乐活动区域，已知无隔离带区域（空白部分）的面积为，若设隔离带的宽度均为，那么满足的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知：在中，为的平分线．已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点且AC＞BC，则BC等于_____． 12. 若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值为_____． 13. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 14. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 15. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，若第个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，则的值为_____． 三、解答题（本题共8小题，共90分，请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点均为格点（网格线的交点）． （1）以为位似中心，在网格中画出的位似图形，且满足与的位似比为； （2）若的面积为，求的面积． 19. 如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 20. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 21. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形菱形； （2）连接，若，，求长． 22. 某商场在去年年底以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1月份以每台2900元的售价销售，1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份的销售量达到了288台． （1）求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率； （2）从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，每台洗衣机的售价应为多少元？ 23. 四边形中，点是边的中点，连接，过点作的垂线，与四边形的外角平分线交于点． （1）如图1，当四边形为正方形时，求证：； （2）如图2，已知四边形为矩形，且． ①求的值； ②若点为边上一点，连接，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期末学业水平检测初三数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可知，被开方数必须非负，即，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：式子有意义， ， 解得， 故选：C． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】A.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B.，∴四条线段成比例，故符合题意； C.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； 故选择：B 3. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 4. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项即可． 【详解】解：A、由图可知：，所以根据“对角线互相平分且垂直的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； B、根据“四条边相等的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； C、因为，所以根据“同旁内角互补，两直线平行”可知该四边形是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； D、由图可知对角线互相平分的四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 5. 若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原式利用二次根式性质，以及绝对值的代数意义判断即可确定出a的范围． 【详解】解：∵二次根式具有非负性，即， ∴，解得． 故选：B. 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法错误； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误； C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法错误； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法正确； 故选D． 7. 根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半．根据菱形的性质得出，，，求出，根据求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可． 【详解】解：四边形菱形， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图所示，为丰富市民的业余生活，某市体育场馆内的一块长为，宽为的矩形场地进行升级改造，设置了两条长为，一条长为的草坪隔离带．将矩形场地划分为六块不同的娱乐活动区域，已知无隔离带区域（空白部分）的面积为，若设隔离带的宽度均为，那么满足的一元二次方程是（ ） A. B C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解应用题，由题意，数形结合，将隔离带进行平移，如图所示，结合无隔离带区域（空白部分）的面积为，表示出空白部分长方形的长、宽计算面积即可得到答案，数形结合，表示出空白长方形长、宽是解决问题的关键． 【详解】解：将隔离带进行平移，如图所示： 由无隔离带区域（空白部分）的面积为，得到， 故选：D． 10. 已知：在中，为的平分线．已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质求线段长，过点作，，如图所示，由角平分线性质得到，由三角形面积公式分别由两种方法表示，进而由化简得到，代值求解即可得到答案．掌握角平分线性质，得到是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，，如图所示： 为的平分线， ， ， 和若以上的线段为边，则高相等，设高为， ， ， ，即， ，，， ，解得， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点且AC＞BC，则BC等于_____． 【答案】3﹣ 【解析】 【分析】根据黄金比值为计算即可． 【详解】∵点C是AB的黄金分割点，AC＞BC， ∴AC＝AB＝﹣1， 则BC＝AB﹣AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣， 故答案为：3﹣． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键． 12. 若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能够合并，那么这两个最简二次根式的被开方数相同，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：4． 13. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 将代入原方程，可得，再求出，然后将待求式整理为，最后代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，， ∴. 故答案为：． 14. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先证明 再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可． 【详解】解：∵AE⊥BC， ∴ ， ∴ ∴ 补充：或或， ∴四边形AEFD是矩形， 故答案为：或或（任写一个即可） 【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“有三个角是直角的四边形是矩形”是解本题的关键． 15. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，若第个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，则的值为_____． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了图形变换规律，根据所给图形得到第个图案中点的个数和三角形的个数，再组合题意即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图可知： 第个图案中点的个数为：， 第个图案中点个数为：， 第个图案中点的个数为：， ， ∴第个图案中点的个数为：， 第个图案中三角形的个数为：， 第个图案中三角形的个数为：， 第个图案中三角形的个数为：， ， ∴第个图案中三角形的个数为：， ∵第个图案中，三角形的个数是点个数的3倍， ∴， 解得：或， ∵为正整数， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分，请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式加减法去括号，接着计算二次根式除法，最后计算加法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 原式变形 或 ． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点均为格点（网格线的交点）． （1）以为位似中心，在网格中画出的位似图形，且满足与的位似比为； （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了位似的作图和相似三角形的性质，正确作图是关键． （1）根据位似的作图方法作图即可； （2）根据位似图形的相似比进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 由题意可知，与的位似比为 ∴与的面积比为， ∴的面积为． 19. 如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴，即， 又， ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∵， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解： ， 解得：或 ∵方程有一个根为负数， ∴． ∴． 21. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形的中位线的性质得到，，推出，由此得到结论； （2）连接交于M，由菱形的性质得到，，根据三角形中位线得到，，即可利用勾股定理求出，． 【小问1详解】 证明：∵，． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵D，E分别是，中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 连接交于M ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵是的中位线， ∴，， 在中，， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的判定及性质定理，正确掌握各知识点并应用是解题的关键． 22. 某商场在去年年底以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1月份以每台2900元的售价销售，1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份的销售量达到了288台． （1）求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率； （2）从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，每台洗衣机的售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）2750元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为，根据1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，三月份的销售量达到了288台，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每台洗衣机的售价降低y元，则每台洗衣机的售价应为元，根据以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为， 由题意，得， 解得，（舍）， 答：二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每台电器降了元，由题意， 得， 整理得，， 解得，， ， 答：每台电器的售价应为2750元． 23. 四边形中，点是边的中点，连接，过点作的垂线，与四边形的外角平分线交于点． （1）如图1，当四边形为正方形时，求证：； （2）如图2，已知四边形为矩形，且． ①求的值； ②若点为边上一点，连接，，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①2；② 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）取的中点，连接，由正方形的性质可得，，可证明，得到，则，由角平分线的定义可得，则可证明；证明，即可证明． （2）①在上截取，连接，同理可证明，，则可证明，得到，根据，得到．则，据此可得答案； ②过点作，证明，再证明为等腰直角三角形， 得到，证明四边形为正方形． 得到，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：取的中点，连接， 四边形是正方形， ，， 、分别为、中点， ， ， ， ， 为正方形的外角平分线， ， ， ∴； ， ， 又∵， ． 在与中， ， ， ． 【小问2详解】 解：①如图所示，在上截取，连接， 四边形是矩形， ， ， ∴， 为矩形的外角平分线， ， ， ∴； ， ， 又， ， ． ， 为中点， ， ， ， ． ②过点作， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， 为的中点， ， 又， ， 又，， 四边形为正方形． ， ， 在中，设，则， 由勾股定理可得 ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$