福建省福州市台江区九校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷

高一数学试卷第 1页（共 4页） 2024-2025 学年第二学期期末考试 高一数学试卷 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） 班级 姓名 座号 . 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知�为虚数单位，若�� = � − 1，则( )． A. � = 1 − � B. �的虚部为−� C. |�| = 2 D. �在复平面内对应的点在第三象限 2.已知向量� = ( − 1,2)，� = (�,1)，若� 与� 垂直，则实数� =( ) A. 2 B. −2 C. 12 D. − 1 2 3.某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名.从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则这 2 名学生来自不同年级的概率为( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 4.在▵���中，点�在��边上，�� = 2��.记�� = � ，�� = � ，则�� =( ) A. − 12 � + 3 2 � B. 32 � − 1 2 � C. 12� − 3 2� D. − 12� − 3 2 � 5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件� =“至多有一枚硬币正面朝上”，事件� =“两枚硬币正面均朝上”， 事件� =“两枚硬币正面均朝下”，则( ) A. �与�对立 B. �与�不互斥 C. �与�对立 D. �与�对立 6.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形(如图所示)，将该平面图形绕其直角腰��边旋转一周得 到一个圆台，已知∠��� = 45∘，�� = �� = 12�� = 1，则该圆台的体积为( ) A. 7 3� B. 14 3 � C. 7� D. 14� 7.设�，�是两条不同的直线，�，�是两个不同的平面，下列命题为真命题的是( ) A. 若�//�，� ⊂ �，则�//� B. 若�//�，�//�，则�//� C. 若� ⊥ �，� ⊥ �，则�//� D. 若� ⊥ �，�//�，则� ⊥ � 8．如图，圆O内接边长为1的正方形 ,ABCD P 是弧 BC（包括端点）上一点，则 AP AB   的取值范围是（ ） 高一数学试卷第 2页（共 4页） A． 4 21, 4       B． 2 21, 2       C． 1 21, 2       D． 2 ,1 4       二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9.福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生 540 人，女生 360 人.现在按性别进行 分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有 8 位女生的测试成绩，分别是 6，7，7， 7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为 7.5，则( ) A. 样本中有 12 位男生的测试成绩 B. 样本中女生测试成绩的第 70 百分位数是 9 C. 样本中女生测试成绩的方差为 2 D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为 7.75 10.已知△ ���的三个内角�，�，�所对应的边分别为�，�，�，则下列命题为真命题的是( ) A. 若���� > ����，则� > � B. sin(� + �) = ����恒成立 C. 若�2 + �2 > �2，则△ ���为锐角三角形 D. 若����� = �����，则△ ���是等腰三角形 11.如图，正方体���� − �1�1�1�1的棱长为 1，动点�在线段�1�1上，�，�分别 是��，��的中点，则下列结论中正确的是( ) A. ��//�1�1 B. 当�为�1�1中点时，�� ⊥ �� C. 存在点�，使得平面���//平面��1�1� D. 三棱锥� − ���的体积为定值 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.已知向量� = ( − 3,4)，� = (2,2)，则� 在� 上的投影向量的坐标是______． 13.已知事件�和事件�相互独立，事件� − 是事件�的对立事件，�(�) = 12，�(�) = 3 4，则�(�� − ) = ______． 14.在▵���中，�是��边上一点，且� = �3， �� �� = 1 2，则 �� �� = ；若�� = 2，则▵���的 面积的最大值为 ． 高一数学试卷第 3页（共 4页） 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题 13 分) 四边形����是复平面内的平行四边形，�，�，�，�四点对应的复数分别为 1 + 3�，2�，2 + �，�． (1)求复数�； (2)�是关于�的方程 2�2 − �� + � = 0 的一个根，求实数�，�的值． 16.(本小题 15 分) 在△ ���中，角�，�，�的对边分别为�，�，�，且向量� = ( 3� − �, � − �)，� = (���� + ����, ����)，� //� ． (1)求角�； (2)若△ ���的面积为 3，���� = 1 + ����，点�为边��的中点，求��的长． 17.(本小题 15 分) 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变.消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之 一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60,80)的老年人的年收入按年 龄[60,70)，[70,80)分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在[60,70)的老年人 500 人.年龄在[70,80)的 老年人 300 人.现作出年龄在[60,70)的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示)． (1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数及第 95 百分位数； (2)已知年龄在[60,70)的老年人年收入的方差为 3，年龄在[70,80)的老年人年收入的平均数和方差分别为 3.75 和 1.4，试估计年龄在[60,80)的老年人年收入的方差． 高一数学试卷第 4页（共 4页） 18.(本小题 17 分) 如图，在直三棱柱��� − �1�1�1中，�� ⊥ ��，�� = �� = ��1，点�是��的中点 求证：(1)��1//平面�1��； (2)�1� ⊥ �1�. (3)若平面���1与平面���1的交线�为，求�与平面���1�1所成的角。 19.(本小题 17 分) 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比 赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另 一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2． (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2024-2025学年第二学期期末考试 高一数学答题卡 考场/座位号：         姓名：                班级：                贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 单选题 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 多选题 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 第1页 共6页 16. 第2页 共6页 17. 第3页 共6页 18. 第4页 共6页 19. 第5页 共6页 请勿在此区域作答或 者做任何标记 第6页 共6页 2024-2025学年第二学期期末考试 高一数学参考答案及评分标准 1.【答案】D 【解析】【分析】 本趣考查复数的乘法，属于基础题， 直接根据复数乘法即可得到答案。 【解答】 解：由题意得z=i(i-1)=-1-i, 故选：D· 2.【答案】A 【解析】解：根据题意，向量=(-1,2)，=（m1: 若a与6垂直，则a.弓=一m+2=0,解可得m=2 故选：A: 3.【答案】D 【解析】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名， 从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演， 基本事件总数n=6, 这2名学生米自不同年级包含的基本事件个数m=4, 则这2名学生来自不同年级的概率为P=晋=手=号， 故选：D 4.【答案】A 【解析】【分祈】根据平面向量的加法法则和减法法则即可求解， 【详解】根据题意， D 在·ABD中，BD=AD-A=6-a, 故c=D=是前-专， 高一数学参考答案第1页（共10页） 又在。ADC中，Ac=A而+c=i+是i-专日=是i-, 故选：A 5.【答案】C 【解析】解：根据题意，抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有2={正反，正正，反正，反反共4 种情况， 其中事件A={正反，反正，反反}；事件B={正正，事件C={反反， 依次分析选项： 对A,事件A为事件C可能同时发生，即反反这种情况，即事件A,C不对立，故A错误： 对B,事件B与事件C显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故B错误： 对C,显然事件A和事件B不可能同时发生，即它们互斥，且两者构成了所有的发生情况，即事件A和事件B必 有一个发生，则A与B对立，故C正确： 对D,事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误. 故选：C 根据题意，由互斥事件和对立事件的定义依次分析选项，即可判断， 本趣考查对立事件、互斥事件的定义，注意两者的不同，届于基础题. 6.【答案】B 【解析】解：作出其平面图形， B 则在平面图形中AD=1,AB=2,BC=2,∠ABC=90°， 所以圆台的上底面半径r=AD=1,下底面半径R=2,高h=2, 则圆台的体积： V=(S上+VSS下+S)h=专×（π+Vπ×4r+4n×2=号π 故选：B 7.【答案】D 高一数学参考答案第2页（共10页） 【解析】解：若m//a,nca,则m//n或m与n异面，故A错误： 若m//a,a//B,则m//B或mcB,故B错误： 若m⊥c,m⊥n,则n//a或nca,故C错误： 若m//B,过m作平面y交B于n,则m//n, 又m⊥e,则n⊥a,可得a⊥B,故D正确. 故选：D· 由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案， 本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平而与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基 础题。 8.【答案】C 【解析】法一：以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐 标运算即可求解，法二：连接4C,CP,设∠PAB=0,0≤0≤，则∠PAC=子-0，P.Pcose0= 4 |ABAC1cos∠PAC,即可求解. 【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0),B(1,0)). 设P(x,y),则AP=(x,y).因为AB=(1,0),所以APAB=x 由题意知，圆O的半径，=5.因为点P在弧BC(包括端点)上， 2 所以1≤x≤ +5,所以炉B的取值范围是 22 42 D D 0. B 图1 图2 方法二：如图2，连接AC,CP,易知∠BAC= 4 设∠P48=0.,0s0s子则∠P1C=-0. 由已知可得=L4C卡5，∠APc=交所以币PC=-5co任-0】 高一数学参考答案第3页（共10页） 所以亦co0=5co任-0小o0=9ms0+90o0 =w0+a0o0=s0+m0a0-1g20,9-号n0引 2 因为00所以好20+所以号≤m20+到}1， 4 11+2 22 2 故选：C 9.【答案】ABC 【解析】解：对于A,由题意得。该学校高一年级共有540十360=900人，则样本容量为斋=20， 所以样本中男生有20-8=12人，A正确： 对于B,由于8×70%=5.6，所以样本中女生成绩的70百分位数是第6项9，故B正确： 对于C,样本中女生成绩的平均数为言×(6+7+7+7+8+9+10+10=8， 所以样本中女生成绩的方差为 音×[(6-8+(7-8+7-8)+(7-8)+(8-8)+(9-8)+(10-8)+(10-8的=2 所以样本中女生成绩的方差为2，故C正确： 对于D,样本中所有学生测试成绩的平均数为品×8+号×7.5=7.7，故D错误. 故选：ABC 根据分层抽样的定义可知样本容量为20，进而求出样本中男生人数，再结合百分位数、标准差和平均数的定 义求解。 本题主要考查了分层随机抽样的定义，考查了平均数、百分位和方差的定义，属于基础题. 10.【答案】AB 【解析】解：对于A,在△ABC中，设外接圆的半径为R, 若sinA>sinB,则2 RsinA>2 RsinB,可得a>b,所以A>B,可知A项正确： 对于B,由内角和定理得B十C=π-A,sin(B+C=sin(π-A=sinA故B项正确： 对于C,b2+c2>a2得A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故C项错误： 对于D,若acosA=bcosB,则由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B, 可得A=B或A十B=90·,所以△ABC是等腰或直角三角形，故D项错误. 高一数学参考答案第4页（共10页） 故选：AB 11.【答案】ABD 【解析】解：对于A,由于F,M分别是DA,DC的中点，故FM//AC. 而AC//AC1,所以FM//A:C1,故A正确： 对于B,当E是A1C1的中点时，由于BA=BC1,故BE⊥A1C1,而FM//A1C1,所以BE⊥FM,故B正 确： 对于C,假设平面BEF//平面CCD1D,则两平面没有公共点，从而两直线BF,CD没有公共点，又由于 两直线BF,CD都在下底面内，故BF//CD 而BA//CD,这意味着F和A重合，矛盾，故C错误； 对于D,设E到平面BCF的距离和F到直线BC的距离分别为hg-Bcr和hg-BC,则hg-BcF=hg-Bc=BC=1 从而三棱锥B-CEF的体积V=专·hg-BCFS△Bcr=专·hg-BCFBG.hp-BC=合，故D正确， 故选：ABD 12.【答案】(3，) 【解析】解：因为=(-3,4,6=(2,2 所以6上的投影有量的坐标足背音=学方=北，2习-=(，》 故答案为：（侵，） 由投影向量的求法计算即可. 本题考查投影向量的求法，属于基础题. 13.【答案】言 【解析】解：事件A与事件B相互独立，则A与事件B也相互独立， 且P(A)=,P(B)=, P(AB)= P(AB=P(APB=·=日 故答案为：言。 高一数学参考答案第5页（共10页） 根据相互独立事件的概率公式即可求解。 本题考查了相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式的相关知识，属于基础题， 14.(第一空2分，第二空3分)【答案】5；2+V5 【解析】【分析】设AC=b,则BD=2b画出图形，运用余弦定理得到A=5b,进而得到是=V5.再用 余弦定理得到号=生品，借助基本不等式计算即可。 2ac 【详解】设AC=b,则BD=2b, A 6 26 D 在·ABC中，由余弦定理得 AB=-VBC2+AC2-2BC·AC·cos5=V(2b2-b2-22b-b.号=5b 是==5. 在·ABC中，由余弦定理cosB=+ 2ac 2ac V3ac=a2+c2-4≥2ac-4,当且仅当a=c时取等号， ac≤有=8+45. S.ABC=支ac·sdnB, S48c≤(8+43×支=2+5， 面积最大值为2+5. 故答案为：5：2+V5 15.【答案】 解：(1)复平面内A,B,C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1) 设D的坐标为(x,y),由于而=Bc, 2 所以(x-1,y-3)=(2,-1), 所以x-1=2,y-3=-1, 解得x=3,y=2,故D(3,2), 5 高一数学参考答案第6页（共10页） 则点D对应的复数z=3+21. 6 (2) 法一： 因为3+21是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根， 所以3-21是关于x的方程2x2-px+q=0的另一个根， n.9 由韦达定理得3+2i1+3-2i=号，(3+2i)·(3-21)=号， 11 解得p=12,q=26. 13 法二： 将3+21代人2x2-px+9=0中， 得到2(5+12i)-p(3+2i)+q=0 整理得(10-3p+q+(242p)i=0 9 所以10-3p+q=0且24-2p=0 m.11 解得p=12,9=26… 16.【答案】 解：()由题意可得W5a-b小inB-(a-c(sinA+sinC=0, 由正弦定理得a2+b2-c2=5ab, .3 由余弦定理得c0sC=4e= .4 2ab 因为C∈(0，π)， 所以C=晋； .6 (②)因为sinB=1+cosA, 所以sinB=l+cosξ-B, 由差角余弦公式展开，整理符5imB+号cOsB=1, 8 即sin(B+)=1, 49 又0<B<誓，所以肾<B+晋<吾， 10 则B+号=受，所以B=晋， .11 故b=c,A=牙 12 高一数学参考答案第7页（共10页） 所以SLABC=专bcsinA=号P=V5. 所以b=c=2, 44.13 在△ABD中，由余弦定理可得 BD2=AB2+AD2-2AB·AD.cos9=22+12-2×2×1×(-)}=7,即BD=V5.15 17.【答案】 解：(1)颜率分布直方图中，该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数约为： 0.04×2+0.08×3+0.18×4+0,26×5+0.20×6+0.15×7+0.05×8+0.04×9=5.35,… 3 由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为1一0.04×1=0.96， 年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为1-(0.05×1+0.04×1)=0.91， 因此，第95百分位数一定位于7.5,8.5)内，4 由7.5+1×09591=8.3 0.05 可以估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的第95百分位数为8.3.… (②)设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为x,方差记为s: 年龄[70,80)的老年人样本的平均数记为y,方差记为s: 年龄在60,80)的老年人样本的平均数记为z,方差记为s2. (1)得x=5.35,由题意得，s爱=3，y=3.75,s号=1.4， .7 则2=D08m×x+50393×了=4.75， 9 由=亦×500×[保+任-月+300×[s号+-》 .12 可得s=亦×{500×[3+(5.35-4.75)7+300×[1.4+(3.75-4.75)=3. 14 即估计该地年龄在[60,80)的老年人的年收入方差为3， .15 18.【答案】解：（①）证明：连接BC1,交B1C于0点， 可知四边形BC:B,C是平行四边形，可得0为BC1中点， 又D是AB的中点，则0D//AC1,… 又ODc平面B,CD,AC1丈平面B1CD, 3 高一数学参考答案第8页（共10页） 所以AC1//平面B1CD. (②)证明：根据题意，三棱柱ABC-AB1C1为直三棱柱，则CC1⊥AC1, 又由AC⊥BC,AC//A1C1则A1C1⊥BC, BCnCc1=C,BCc面BCCB1,CC1C面BCCB1 则有A1C1⊥面BCC1B1,… 5 又CB1C面BCC1B1,所以AC1⊥CB1, 又由BC=CC1,则四边形BCCB1为正方形，则BC1⊥CB1, 又由BC1∩A1C1=C1,BC1C面BA1C1,A1C1面BA1C1,则有CB1⊥面BA1C1,8 A1BC面BA1C1,则A1B⊥B1C. 9 (3) 延长B1D交A1A于M,连接CM, 10 则MEB1DC面B1DC,MEA1AC面ACC1A1,又CE面B1DC,CE面ACC1A1, 则直线CM即为直线1. .12 由AD//A1B1,且AD=克A1B1,则AM=A1A, 又AA,兰CC,所以AM CC,则四边形AMCC为平行四边形，故CM/AC1,14 故∠AC1C为1与平面CBB:C1所成的角 .15 因为AC=CC1,所以∠AC1C=45° 16 即1与平面CBB1C1所成的角为45°， .17 19.【答案】()甲连胜四场只能是前四场全胜，P=()=古 (②)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行5场比赛， 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜4场的概率为)=古： 乙连胜4场的概率为()=六 丙上场后连胜3场的概率为()=言： ..6 所以需要进行第5场比赛的概率为1一。一古一音=圣， 8 (③)丙最终获胜有两种情况： )比赛四场结束且丙最终获胜，概率为言， 49 )比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有3种情况： 高一数学参考答案第9页（共10页） 胜胜负性，胜负空胜，负空胜胜， .12 概率分别为市，日，音， n15 根据互斥事件的加法公式， 丙最终获胜的概率为哈+六+合+合=品· 17 高一数学参考答案第10页（共10页） 2024-2025学年第二学期期末考试 高一数学试卷 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） 班级 姓名 座号 . 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知为虚数单位，若，则    ． A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 2.已知向量，，若与垂直，则实数(    ) A. B. C. D. 3.某校文艺部有名学生，其中高一、高二年级各名从这名学生中随机选名组织校文艺汇演，则这名学生来自不同年级的概率为(    ) A. B. C. D. 4.在中，点在边上，记，，则(    ) A. B. C. D. 5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则(    ) A. 与对立 B. 与不互斥 C. 与对立 D. 与对立 6.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形如图所示，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为(    ) A. B. C. D. 7.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8．如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生人，女生人现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本样本中有位女生的测试成绩，分别是，，，，，，，，样本中男生测试成绩的平均数为，则(    ) A. 样本中有位男生的测试成绩 B. 样本中女生测试成绩的第百分位数是 C. 样本中女生测试成绩的方差为 D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为 10.已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，则下列命题为真命题的是(    ) A. 若，则 B. 恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则是等腰三角形 11.如图，正方体的棱长为，动点在线段上，，分别是，的中点，则下列结论中正确的是(    ) A. B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量，，则在上的投影向量的坐标是______． 13.已知事件和事件相互独立，事件是事件的对立事件，，则 ______． 14.在中，是边上一点，且，，则          ；若，则的面积的最大值为          ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.本小题分 四边形是复平面内的平行四边形，，，，四点对应的复数分别为，，，． 求复数； 是关于的方程的一个根，求实数，的值． 16.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，且向量，，． 求角； 若的面积为，，点为边的中点，求的长． 17.本小题分 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人年龄在的老年人人现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图如下图所示． 根据频率分布直方图，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； 已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差． 18.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，点是的中点 求证：平面； 若平面与平面的交线为，求与平面所成的角。 19.本小题分 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为． 求甲连胜四场的概率； 求需要进行第五场比赛的概率； 求丙最终获胜的概率． 高一数学试卷 第1 页（共1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$Sheet1 2024-2025学年第二学期期末考试高一数学试卷命制双向细目表 题型 题号 分值 考查知识点 核心素养目标 难度系数 单选题 1 5 分 复数的运算、共轭复数、模、几何意义 数学运算、数学抽象 0.9 单选题 2 5 分 向量垂直的坐标表示 数学运算、逻辑推理 0.9 单选题 3 5 分 古典概型概率计算 数学建模、数据分析 0.7 单选题 4 5 分 平面向量线性运算（基底表示） 直观想象、数学运算 0.7 单选题 5 5 分 事件的对立与互斥关系 逻辑推理、数学抽象 0.65 单选题 6 5 分 斜二测直观图、圆台体积计算 直观想象、数学运算 0.6 单选题 7 5 分 空间线面位置关系的判定 逻辑推理、直观想象 0.6 单选题 8 5 分 向量数量积范围问题 数学运算、直观想象、逻辑推理 0.45 多选题 9 6 分 分层抽样、百分位数、方差、平均数 数据分析、数学运算 0.6 多选题 10 6 分 正余弦定理、向量数量积、三角形形状判断 逻辑推理、数学运算 0.55 多选题 11 6 分 正方体中线面平行垂直、三棱锥体积定值 直观想象、逻辑推理、数学运算 0.4 填空题 12 5 分 向量投影向量的坐标计算 数学运算、直观想象 0.7 填空题 13 5 分 相互独立事件的概率计算 逻辑推理、数学运算 0.7 填空题 14 5 分 正余弦定理应用、三角形面积最值 数学建模、数学运算、逻辑推理 0.35 解答题 15 13 分 复平面平行四边形与复数关系、实系数方程根 数学抽象、数学运算 0.55 解答题 16 15 分 正余弦定理、面积公式、三角恒等变换 逻辑推理、数学运算、数学建模 0.5 解答题 17 15 分 频率分布直方图、数字特征（平均数 / 方差） 数据分析、数学运算 0.5 解答题 18 17 分 线面平行判定、线线垂直证明、线面角计算 直观想象、逻辑推理、数学运算 0.4 解答题 19 17 分 独立事件概率建模与复杂概率计算 数学建模、逻辑推理、数学运算 0.35 $$