福建省福州市九校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2024-2025学年第二学期期末考试 高二数学答题卡 姓名：                班级：                 考场/座位号：                 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 留痕迹。 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 4．在草稿纸、试题卷上答题无效。 5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 客观题(1~8为单选题;9~11为多选题) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 16. 17. 18. 19. 请勿在此区域作答或 者做任何标记 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 2024-2025 学年第二学期期末考试 高二数学试卷 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） 班级 姓名 座号 一、 选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合要求的） 1．集合 { 2 3}A x x   ∣ ， { 1}B x x ∣ 则 A B  （ ） A． (1,3) B． ( 2,3) C．[1,3) D．[1,3] 2．复数  2i 1 iz     的虚部为（ ） A． 2 B． 2i C．2 D． 2i 3．已知 aR ，则“ 2 3 4 0a a   ”是“ 4a  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知平面向量 a  ，b  满足  1, 3a   ，  2,b x ，若 / /a b ，则 x （ ） A． 3 B． 2 3 C． 3 D． 2 3 5．若 1( 0)m n mn   ，则 1 1 m n  的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知角�的顶点为坐标原点，始边与�轴的非负半轴重合，点�( − 1, 2)在角�的终边上， 则 sin(� + �) =（ ） A. − 6 3 B. − 3 3 C. 3 3 D. 6 3 7．甲、乙、丙、丁、戊 5名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件A，“甲不站在两端”为事件 B， 则 ( )P B A ∣ （ ） A． 1 6 B． 1 4 C． 12 D． 3 4 8．设随机变量  ,1Z N  ，函数   3 23f x x x Z x    在定义域R 上是单调递增函数的概率为 12 ， 则 (1 2)P Z  （ ） 附：若  2,Z N   ，则 ( ) 0.683, ( 2 2 ) 0.954P Z P Z                 . A. 0.1587 B. 0.1355 C. 0.2718 D. 0.3413 高二数学试卷 第 2 页（共 4 页） 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分． 部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列选项正确的是（ ） A．命题“ 0x  ， 2 1 0x x   ”的否定是 0x  ， 2 1 0x x   B．满足   1 1,2,3M  的集合M的个数为 4 C．已知 lg3x  ， lg5y  ，则 lg 45 2x y  D．已知指数函数   xf x a （ 0a  且 1a  ）的图象过点  2, 4 ，则 log 2 1a  10．在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，M ， N分别为棱 1 1C D ， 1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A． 1D N 平面 ADM B． //BN AM C． B，D，M ， N四点共面 D．平面 ADM 平面 1 1ABB A 11．在锐角△ABC中，角A， B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 2 cosa b B ，且b c ，则下列说法中正 确的是（ ） A． 2A B B． a b 的取值范围是  2, 3 C．点 P是△ABC所在平面内任一点，若 2c  ，则 PA PB   的取值范围是  1, 2 D．点 P是△ABC所在平面内任一点， 2 1 3 2 AP AB AC     ，则△ABC与 PBC△ 的面积比为6 :1 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12. 6 12 x x       的展开式中常数项的二项式系数为__________. 13．若正方体的表面积为 6，则它的外接球的表面积为 __________. ． 14．已知抛物线C的准线是圆 2 2 4 0x y   与圆 2 2 2 2 0x y x    的公共弦所在的直线，则抛物线C的标准方 程为__________. 高二数学试卷 第 3 页（共 4 页） 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题 13 分）已知 nS 为等差数列 na 的前 n项和， 2 7a  ， 5 55S  . (1)求 na ， nS ； (2)若数列 1 1 n na a        的前项和为 nT ，求满足 2 25n T  的最小正整数 n. 16. （本题 15 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形，PA 平面 ABCD，且 M 是 PD的中点， 4PA AD  ， 2AB  . (1)求证： AM 平面 PCD； (2)求 AM 与平面MBC所成角的余弦值. 17. （本题 15 分）在△ABC 中，内角 A､B､C 所对的边分别是 a､b､c，已知 3 sin cos 3a C c A c  ，A 为锐角. (1)求角 A的大小； (2)在①△ABC 的面积为 2 3，② 12AB AC    ，③ BA BC AC     这三个条件中任选一个补充在下面的横线上. 问题：若 2,a b c  ，___________，求 b､c 的值. 18.（本题 17 分）已知函数   2ln 2f x x x ax    在点   2 2f, 处的切线与直线 2 3 0x y  垂直． (1)求 a； (2)求  f x 的单调区间和极值． 高二数学试卷 第 4 页（共 4 页） 19.（本题 17 分）如图，已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)C b bx a ay    的上下焦点分别为 1F ， 2F ，左顶点为 P，焦距为 2， 若 1 2PFF 为正三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点 1F ，斜率为 3 3 的直线与椭圆相交M ， N两点，求MN的长； (3)过点 1F 的直线与椭圆相交于 A､B 两点，若 BFAF 11 2 ，求直线 AB 的方程. 2024-2025学年第二学期期末考试 高二数学参考答案及评分标准 1、 选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B D A D B 1．C 【分析】根据交集运算即可求解. 【详解】解：集合，，所以. 故选：C. 2．C 【分析】根据给定条件，利用复数乘方乘法运算求出复数，再根据虚部概念即可作答. 【详解】，所以复数的虚部为. 故选：C. 3．A 【分析】解不等式，根据解的范围与的范围的大小关系，即可得出答案. 【详解】解可得，，显然该范围小于的范围. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．B 【分析】由向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因，，，则. 故答案为：B 5．D 【分析】利用基本不等式和“1”的巧用进行求解. 【详解】因为， 所以， （当且仅当且，即时取等号）, 即的最小值为4. 故选：D. 6．A 【解析】解：由题意可得， 所以：， 故选：． 7．D【详解】“甲、乙相邻”，可将甲、乙看成一个整体，与丙、丁、戊全排列，同时甲、乙两人之间也需要全排列.甲、乙两人全排列的方法数为种；将甲、乙整体与丙、丁、戊全排列的方法数为种.所以事件包含的基本事件数为种.名学生全排列的方法数为种.根据古典概型概率公式可得. “甲、乙相邻且甲不站在两端”，当甲、乙相邻时，若甲不站在两端，甲只能站在中间3个位置上，所以事件AB包含的基本事件数为种.则. 根据条件概率公式，将，代入：. 8. B解：因为，所以， 若对任意实数恒成立，则， 所以，又，所以，，，，，，所以，， 则. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．漏选得3分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BC AD ABD 9．BC 【详解】对于A，存在量词命题的否定是全称命题，但前提条件不变， 所以命题“，”的否定是，， 故选项A错误； 对于B，满足的集合M的个数为， 故选项B正确； 对于C，，，所以， 故选项C正确； 对于D，已知指数函数（且）的图象过点， 所以，所以，故选项D错误. 故选：BC. 10．AD 【详解】如图，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则, 则, 则， 故，即， 而平面，故平面，A正确； 由于，且没有倍数关系， 即两向量不共线，故不平行，B错误； 由于平面，平面，, 故为异面直线，则，，，四点不共面，C错误； 由于平面， 故平面，又平面，故平面平面，D正确， 故选：AD 11．ABD 【分析】A选项，由正弦定理和正弦二倍角公式得到或，由即可得解判断；B选项，由正弦定理得到，根据为锐角三角形求出，再根据余弦函数单调性即可得解判断；C选项，推出，再由即可求解判断；D选项，作出辅助线，设得，根据向量共线定理的推论得到方程求解即可求解判断. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 故或， 当时，因为，所以， 但，故，所以不合要求， 所以，A正确； B选项，由A知，，， 其中， 因为为锐角三角形，所以， 即，解得， 因为在上单调递减，所以，B正确； C选项，点是所在平面内任一点，， 取的中点，连接，则且， 则， 由于点是所在平面内任一点，则， 所以，C错误； D选项，点是所在平面内任一点，， 在上取点，使得，取的中点， 则，设直线交于点，设， 所以，即， 因为三点共线，所以，解得， 所以，故与的面积之比为，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．解：此二项式展开式的通项公式为， ，则当时，对应的为常数项，故常数项的二项式系数为， 13． 解：设正方体的棱长为，则，得． 正方体的体对角线长为． 即正方体外接球的半径为． 正方体外接球的表面积． 故答案为：． 14． 【分析】利用两圆方程相减后求出公共弦方程，再结合抛物线的性质求解即可； 【详解】两圆的公共弦方程为， 所以，所以抛物线的标准方程为． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．(1)， (2)19 【详解】（1）解：设等差数列的公差为d， 则，即，解得， ........................................................4分 所以， .......................................................6分 （2）解：由（1）得， . ....................................8分 故 .....................10分 令，有， ...................................11分 即，解得， ......................................12分 故满足满足的最小正整数为19 .......................................13分 16．(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）∵平面，平面， ∴，又四边形是矩形，则， .....................................2分 ∵，、平面， .....................................3分 ∴平面，平面PAD， ....................................4分 ∴， .....................................5分 又M是PD的中点，，则， ....................................6分 而，、平面， 所以平面； ....................................7分 （2）由题易知：两两互相垂直， 以A为空间坐标系的原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ...................................8分    则，，，，故，........................10分 设平面MBC法向量为，则， 即，令，，则，即， .................................... 12分 而，则， .....................................13分 设MA与平面MBC所成角为，则， ....................................14分 所以 . .....................................15分 17．(1)；(2)b=4，c=. 【详解】（1）∵， ∴， .....................................2分 ∵ .....................................3分 ∴， .....................................4分 ∴即，又A为锐角， .....................................5分 ∴， ∴，即； .....................................7分 （2）选①，△ABC的面积为， ∴， ....................................10分 ∴，又， .....................................12分 ∴，， ...................................13分 ∴，又， ....................................14分 解得； ....................................17分 选②，， ∴，即， ....................................10分 又， .....................................12分 ∴，， .....................................13分 ∴，又， .....................................14分 解得； .....................................17分 选③，， .....................................12分 ∴， .....................................14分 ∴即，又，， .....................................15分 ∴. .....................................17分 18． (1)(2)单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【详解】（1）， .....................................1分 则， .....................................2分 由题意可得， .....................................3分 解得； .....................................5分 （2） 由，故， .....................................6分 则，， .....................................8分 故当时，，当时，，当时，， .....................................11分 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， ..............................13分 故有极大值， .....................................15分 有极小值. .....................................17分 19．(1)(2)(3) 【分析】(1) 由题意求出即可得到答案. (2)先方程联立，得出韦达定理，再由弦长公式可得答案. (3) 设直线的方程为，设，,根据条件可得，然后联立直线与椭圆方程，求出参数，得到答案. 【详解】（1）由题意可得，则 .....................................1分 为正三角形，所以 所以 ....................................3分 椭圆的标准方程为： .....................................4分 （2）设， .....................................5分 由题意，过点，斜率为的直线方程为 .....................................6分 由 ，得 ....................................7分 则 ....................................9分 所以 .....................................10分 （3）当直线的斜率不存在时，其方程为，显然不满足条件. .....................................11分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设， ......................12分 由，得 .....................................13分 所以 .....................................14分 由, 可得，代入上面的韦达定理中可得 .....................................15分 由此消去可得，解得，即 .....................................16分 所以直线的方程为： .....................................17分 高二数学参考答案第1 页 （共1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期末考试 高二数学试卷 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） 班级 姓名 座号 1、 选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1．集合，则（ ） A． B． C． D． 2．复数的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 3．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知平面向量，满足，，若，则（ ） A． B． C． D． 5．若，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6． 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上， 则（ ） A. B. C. D. 7． 甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件，“甲不站在两端”为事件， 则（ ） A． B． C． D． 8．设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（ ） 附：若，则. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（ ） A．命题“，”的否定是， B．满足的集合M的个数为 C．已知，，则 D．已知指数函数（且）的图象过点，则 10．在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．平面 B． C．，，，四点共面 D．平面平面 11．在锐角△ABC中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则下列说法中正确的是（ ） A． B．的取值范围是 C．点是△ABC所在平面内任一点，若，则的取值范围是 D．点是△ABC所在平面内任一点，，则△ABC与的面积比为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的展开式中常数项的二项式系数为__________. 13．若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为 __________.          ． 14．已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题13分）已知为等差数列的前n项和，，. (1)求，； (2)若数列的前项和为，求满足的最小正整数n. 16. （本题15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且M是的中点， ，.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的余弦值. 17. （本题15分）在△ABC中，内角A､B､C所对的边分别是a､b､c，已知，A为锐角. (1)求角A的大小； (2)在①△ABC的面积为，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的横线上. 问题：若，___________，求b､c的值. 18.（本题17分）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求； (2)求的单调区间和极值． 19.（本题17分）如图，已知椭圆的上下焦点分别为，，左顶点为，焦距为，若为正三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于A､B两点，若，求直线AB的方程. 高二数学试卷 第1 页（共1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高二数学 双向细目表 考查范围：高考内容（除了成对数据分析一章）难度：0.55-0.6 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 集合 2 容易 复数代数形式的四则运算,复数综合 3 较易 常用逻辑用语 4 较易 平面向量 5 适中 基本不等式,不等式的性质 6 较易 三角函数的定义、求值 7 适中 计数原理,条件概率 8 较难 正态分布、函数导数 二、多选题 9 容易 指对幂函数 10 适中 空间几何体、球的表面积 11 较难 解三角形,三角函数与解三角形综合 三、填空题 12 较易 二项式定理 13 适中 球的体积和表面积 14 适中 抛物线 四、解答题 15 适中 等差数列,数列求和 16 适中 空间几何体,点、直线、平面之间的位置关系,空间向量与立体几何 17 适中 平面向量的数量积,解三角形 18 适中 函数与导数、单调性与极值 19 较难 椭圆,直线与圆锥曲线的位置关系,圆锥曲线综合 学科网（北京）股份有限公司 $$