湖北省宜昌市葛洲坝中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

高一年级数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D c 0 A D A 0 AC ABD 题号 11 答案 ACD 12. 224W2 13.元 15. 【详解】(1)同=25=2，(a,b）=60°.a.6=2×2×c0s60=23 分 (2)(2a+而2=4a2+4a.万+6=16+8+4=28，.2a+0=2万；…8分 (2a+B)B (3)(2i+b)b=2ā.b+b2=4+4=8,cos8 2万 2a+万 2W7x2713分 16.【详解】(1)由题可知，打分在[70,80)内的频率为 1-10×(0.005+0.010+0.015+0.015+0.025)=0.30,所以样本中打分在[70,80)内的客户人数为 200×0.30=60人. 由图可知，打分在[40,70)内的频率为0.35，在[70,80)内的频率为0.30， 设样本的中位数为m,则me[70,80),则0.35+(m-70)×0.030=0.5,解得m=75, 故样本的中位数为75. 元=45×0.05+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.1=73.5..9分 (2)根据频率分布直方图可知，打分在[60,70)，[70,80)内的样本数据的频数分别为30,60， 所以打分在[60,80)内的样本数据的平均值为30x68+60x78.73.打分在60,80)内的样本数据 30+60 的方差为0×30x5+63-73)门60x[+08-73j]}53 .15分 答案第1页，共4页 17.【详解】(1)解：因为（亿+c(sinC-sinB)=a(sinA-sinB), 由正弦定理，可得(b+cc-b)=a(a-b),即ad2+b2-c2=ab, 所以cosC=a+b-cab_1 2ab 2ab2 又因为Ce(0,),所以c=正 3 5分 (2②)解：因为CD为AB上的中线，且CDl=V反，可得CD=aB+AC), 2 可得c可-a+4c+2丽.4 ACo)=a2+6+a. 即a2+b2+ab=8,又由余弦定理c2=a2+b2-2 ab cosC,可得a2+b2-ab=4, 联立方程组，可得b=2,所以vABC的面积为S=b血C=×2x5.5 2 22 .10分 (3)油1)知C=号且c=2,设vABC的外接圆的半径为R,可得2R=C 4 sinc3' 又由正弦定理，可得a=2RimA=4 5咖4b-2RmB-4 3 m五且A+B=2 3咖B4 咖48。 则a+2b=4 3sn一A 4 45cosA号imA)-sn19,其中n0=2:且0为锐角 3 2 因为0<4<，所以4+0=子时，a+2b取得最大值，最大值为 3 15分 18.【详解】(I)CD⊥平面PBD,CDC平面ABCD,.平面PBD⊥平面ABCD, 又，PB⊥BD,PBC平面PBD,平面PBD∩平面ABCD=BD,∴.PB⊥平面ABCD, 又，ABC平面ABCD,.PB⊥AB,.△PAB为直角三角形， .PA2=PB2十AB2=5,即PA=V5。…4分 (2)连接AC与BD交于点O,连接NO, B 答案第2页，共4页 ,PAI∥平面BDN,PAC平面PAC,平面PAC∩平面BDN=NO, ∴.PA/NO,可知N为PC的中点，而CD⊥平面PBD,BDc平面PBD,故CD⊥BD, 在△BcD中，CD=AB=1,∠BCD=∠B4D-子BC= BD=5,AD=BC=2,∠ADC=2 .mo-c 】x-x PBx-x DAx DCxsin∠ADC 2 2 23 s11 232 26 10分 (3)由题意知PB⊥平面ABCD,过点N作PB的平行线交BC于点H, ∴NH⊥平面ABCD,再作HK⊥BD(K为垂足)， 因为DBC平面ABCD,故NH⊥DB,而NHOH=H,NH,KHC平面WHK, 所以BD⊥平面WHK,而NKC平面HK,故BD⊥NK, ANK为二面角V-BD-C的平面角，∠NW=聋 由(2)可知BC=PB=2,∴.△PBC是等腰直角三角形， 同理△MHC也是等腰直角三角形，从而PC=2√2， 在△BCD中，∠BDC=T BcD=骨CBD 6 不妨设CH=NH=x=KH,NC=√2x,则BH=2-x且BH=2H, .x= 2-NH,PN-2. .17分 NC 19.【详1Deo10,则g+晋e[品 [π41π 当40时，=m在[上有两个大做点 2 故f(x)在[0,10]上有2个最大值点： 4分 (2)曲线y=f9)与直线y=1在34 π3 上有且仅有1个交点， 即方程sin 0s+) 1在xe 3π 34 上有且仅有1个根， 可知ar+π∈ or+，3r+ 123+24+12 又因为T 8π8r (295 即 8r2π8π 29 @5 答案第3页，共4页 所以<<2， 4 放m+5红 23122 则只需令5π3am, 解得 29 412 2 <ws 53 9 , 2953 即ω的取值范围为 9’9 …10分 (3)(=/(+4,棋子移动的周期为4， 因为o以=4sm2=4s径.6到=4mgy4=4s音 由正弦函数的单调性得/(2)>f1)>/(3)>f4外， 若以，f02f6训/④倒中至少三个大于或等于，满足题意，即： 4mg分则4山 若/(，f以，f(2以f3,(4纠中只有二个大于或等于：，棋子落在棋盘右上角亦满足题意， 即：4m则45： 3 故A的取值范围是 …17分 答案第4页，共4页数学试卷第 1页 共 4页 葛洲坝中学 2024--2025学年一年级下学期期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名，并粘贴条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色水性笔将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1．设 i是虚数单位，则复数 4 3i 1 2i z   的虚部为（ ） A． i B．1 C．2 D． i 2．某班有30位同学，他们依次编号为 01，02，….29，30，现利用下面的随机数表选取 5位同学 组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表的第 1行的第 5列数字开始，由左到右依次选取两 个数字，则选出来的第 5位同学的编号为（ ） 41 79 27 35 16 86 08 16 21 57 95 62 39 41 59 49 54 27 49 55 12 83 59 83 78 83 51 34 78 70 20 79 93 21 22 41 A．20 B．21 C．27 D．12 3．下列各式化简结果为 12 的是（ ） A． 21 2cos 75  B． sin15 cos15  C． sin14 cos16 sin 76 cos74     D． tan 20 tan 25 tan 20 tan 25    4．已知直线 ,m n为异面直线， ,  为不重合的两个平面，则（ ） A．若 / /m  ， / /m  ，则 / /  B．若 / /m  ， / /n ，则 //m n C．若m  ，m  ，则 / /  D．若m  ，n  ，则m n 5．如图，在△ABC中， 1 3 AD AB ，点 E是CD的中点．设CA a   ，CB b   ，则 EA   （ ） A． 2 1 3 6 a b  B． 2 1 3 6 a b  C． 1 2 6 3 a b  D． 1 2 6 3 a b  6．关于函数 sin (sin cos )y x x x  描述正确的是（ ） A．最小正周期是2 B．最大值是 2 C．一条对称轴是 4 x  D．一个对称中心是 1, 8 2       7．已知角  , 0, π   ，   1tan 2    ， 7 2cos 10   ，则2  （ ） A． π 4 B． π 3 C． 4π 3 D． 9π 4 数学试卷第 2页 共 4页 8.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的 凸多面体，体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方 体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为 2，则下列结论中，错误．．的 是（ ） A．该石凳的表面积为 24 8 3 B．该石凳的体积为 40 2 3 C．直线 LH与 BC的夹角为60o D．DH 平面 LEI 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分；全部选对的得 6分，部分选对得部分分， 有选错得 0分。） 9．下列说法正确的是（ ） A．一组数据 2，3， x，5，7的平均数是 4，则这组数据的众数是 3 B．数据 12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的第70%分位数是 23 C．用简单随机抽样的方法从含有 50个个体的总体中抽取一个容量为 10的样本，则总体中 某个体被抽到的概率是 0.2 D．若样本数据 1 2 10, , ,x x x   的标准差为 6，则数据 12 1x  ， 22 1x  ，  ， 102 1x  的标准差为 11 10．在△ABC中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，则下列说法正确的是（ ） A．若 2 2 2sin sin sinA B C  ，则△ABC是钝角三角形 B．若△ABC是锐角三角形，则 sin cosA B C．若 4b  ， 3c  ， π 3 C  ，则满足这组条件的三角形有两个 D．若 2 2c b ab  ，则 2C B 11．在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， ,M N分别为棱 1 1 1,C D C C 的中点，则下列选项正确 的有（ ） A．直线MN与直线 AC所成的角是 π 3 B．二面角M AB C  的平面角是 π 3 C．平面 BMN截正方体所得的截面面积为 9 8 D．三棱锥 1B MNC 外接球半径为 11 4 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。） 12．已知正四棱台 1 1 1 1ABCD ABC D 的上下底面分别是边长为 4和 8的正方形，侧棱长为 4，则该 正四棱台的体积为 ． 13．将函数   sin cosf x x x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 4倍(纵坐标不变)，再向左平移 m  0m  个单位长度，得到函数  g x 的图象．若函数  g x 为偶函数，则m的最小值为 ． 数学试卷第 3页 共 4页 14．已知梯形 ABCD中， 90BAD  ， / /AB CD， 3AB  ， 3AD  ， 1DC  ，若 BH BC   ， CE CD   ，  01  ，，则 AE AH   的取值范围为 . 四、解答题（本题共 5小题，其中第 15题 13分，第 16，17题 15分，第 18，19题 17分，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（本题满分 13分）．已知向量 a和b  ，且 2, 2a b   ， , 60a b    求： (1)a b   的值 (2) 2a b   的值 (3) 2a b b   与 的夹角的余弦值. 16．（本题满分 15分）汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势．某汽车研发部门为 了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取 200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分， 发现打分均在[40，100]内，将这些数据分成 6组： 40,50 ， 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ，  90,100 ，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示． (1)求样本中打分在  70,80 内的客户人数，估计样本的中位数，并求出样本的平均数； (2)已知打分在  60,70 内的样本数据的平均值为 63，方差为 5，打分在 70,80 内的样本数据的平 均值为 78，方差为 2，求打分在 60,80 内的样本数据的平均值与方差． 17．（本题满分 15分）在△ABC中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知 2c  ， ( )(sin sin ) (sin sin )b c C B a A B    ． (1)求角C的值； (2)若 AB边的中线 CD长为 2，求△ABC的面积 (3)求 2a b的最大值； 数学试卷第 4页 共 4页 18．（本题满分 17分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形， π 3 BAD  ， 2 2PB AB  ， PB BD ，CD 平面 PBD，点 N在棱 PC上． (1)求 PA； (2)若 / /PA 平面 BDN，求三棱锥 N PAD 的体积； (3)若二面角 N BD C  的大小为 π 4 ，求 PN NC ． 19.（本题满分 17分）设 0  ，函数  y f x 满足    πsin 0 12 f x A x A       ． (1)当 π 3   ， 0A  时，若存在实数M ，对任意的 x I （ I 是函数  y f x 的定义域的子集）， 都有  f x M ，且存在 0x I ，使得  0f x M ，则称M 为函数  f x 在区间 I 上的最大值， 0x 称 为最大值点， 求  f x 在  0,10 上最大值点的个数； (2)若 1A  ，函数 ( )y f x 的最小正周期 8π 8π, 29 5 T      ，且函数 ( )y f x 的图像与直线 1y  在区间 π 3π, 3 4       上有且仅有 1个交点，求的取值范围； (3)当 π 4   时，小明利用函数 ( )y f x 进行一个棋盘游戏：有一个 2025 2025 的正方形棋盘，小 明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移 动 1格，且在第 ( 1, )n n n N  步时，若   1 2 f n  ，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前 进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界 线，求A的取值范围。