2025年中国科技大学少年班创新班入围考试数学试卷

中国辩学拔术大空 少年班创新班人围考数学试卷 University of Science and Technology of China 1.直线y=a+1与圆x2-2x+y2-3=0交于A,B两点，AB=4,则k 2.半径为13的球面上有三点A,B,C,AB=6,BC=8,AC=10,则球心 到平面ABC的距离为 3.f(x)=ac2-lnx在(1,2)上不单调，a的取值范围是 4.复平面上，z,z2,z对应A,B,C三点.若AB⊥BC,则满足条件的所有 的z为 40000 5. 01 名派 的整数部分为 6.若关于x的方程1og1(√x2+ar+5+1)·log5(x2+ax+6)+1og3=0有 实数解，则a的范围是 7.x∈R,√x2+6x+13-√x2+4x+13的取值范围是 8.an为奇数时，a+1=3a,+1;a,为偶数时a+1=受，已知a十a十a= 1981,则a41= 9.P(x(0y(0),x(0=4cos(-),y(0=3cos(+号)，1∈[0，号]，则 P到原点的距离的最大值与最小值之和为 10.A={1,2,3,4,5},已知A上的映射f(x),满足Vx∈A,f(f(x)=1 求映射f(x)有 种 11.m,n为正整数，m2-n2=2025,记所有(m,m)的个数为M;x,y为正 整数，x2+y2=2025,记所有(x,y)的个数为N,则M-N= 12.f(x)=(x2-4)(x2-1),g()为f(x)在x∈[1,1+1]上的最大值，则 一2≤1≤2时，g()的最大值与最小值的差为 13.掷六面骰子，在掷出奇数点之前，所有偶数点至少掷出一次的概率为 14.AB=3,AC=5,若存在B(B≠0)，使得△ABC外心0有Ad=BAB +(侵-号)C,则5c= 15.命题对于任意的自然数n,存在xn∈R,使得f(xn)川>n”的否定为 16.四棱锥P-ABCD,体积为1，AB∥CD,AB=2CD,E为PA中点， 平面BCE与PD交于F,则-BCD= 17.正实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,n为正整数.求证： Q 18.盒子里有a个白球，b个黑球，每次拿一个球后，放回c+1个与该球 同色的球.问： (1)第n次拿白球的概率； (2)若k<n,第k次拿了白球后，求第n次拿白球的概率