精品解析：福建省福州市2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，考生必须将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则的值为（ ）． A. i B. C. 1 D. 2. 已知平面向量，，若⊥，则实数（ ）． A. B. C. D. 3. 福清市某天的5个时刻的气温如图所示，关于这5个时刻的气温，下列说法错误的是（ ）． A. 23点的气温最低 B. 这5个时刻的气温极差为8℃ C. 平均气温为22℃ D. 气温的中位数为23℃ 4. 如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（ ）． A. B. C. D. 5. 一个盒子中装有4支铅笔，其中2支一等品，1支二等品和1支三等品．若从中任取2支铅笔，则恰有1支铅笔是一等品的概率为（ ）． A. B. C. D. 6. 一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（ ）． A. B. 2 C. D. 8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件M，“点数为奇数”记为事件N，“点数小于4”记为事件Q．下列说法正确的是（ ）． A. M与N为互斥事件 B. M与Q为对立事件 C. N与Q不为互斥事件 D. N与Q为相互独立事件 10. 已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 在方向上的投影向量为 C. D. 当时，与的夹角为锐角 11. 已知球的表面积为，一个正四面体的四个面都与球相切，且该正四面体的四个顶点都在球的球面上，则（ ）． A. 该正四面体的表面积为 B. 该正四面体的体积是 C. 球的表面积是 D. 球与球的体积比是 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校高一年级的学生共有800人，按性别进行分层，现用分层随机抽样的方法从该年段的学生中按比例分配抽取100人进行肺活量测试，这100人中有60人是女生，则该校高一年级女生共有______人． 13. 如图，棱长为1的正方体中，二面角的正切值为______． 14. 已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，则 （1）当实数m取什么值时，z是实数； （2）当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 16. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在长二F遥二十运载火箭的托举下，圆满完成飞行任务．为发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取600名学生进行航天知识竞赛并记录学生的成绩（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求n的值； （2）求第70百分位数； （3）求这600名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若的平分线交于点D，求． 18. 小林和小郑都参加英语口语面试，小林通过的概率为，小林和小郑都能通过的概率为，并且在面试过程中小林与小郑互不影响． （1）求小郑通过的概率； （2）求小林、小郑恰有一人通过的概率； （3）求小林、小郑中至少有一人不通过的概率． 19. 如图几何体是以矩形（及其内部）的一边所在直线为轴旋转得到的．已知，，P是上的中点，Q是的中点，与交于点O． （1）求证：平面； （2）求该几何体的表面积； （3）在弧上是否存在的一点M，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，考生必须将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则的值为（ ）． A. i B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘方性质计算可得，可求. 【详解】由，可得，所以，所以，所以， 所以. 故选：C. 2. 已知平面向量，，若⊥，则实数（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】由于⊥，所以，解得. 故选：A 3. 福清市某天的5个时刻的气温如图所示，关于这5个时刻的气温，下列说法错误的是（ ）． A. 23点的气温最低 B. 这5个时刻的气温极差为8℃ C. 平均气温为22℃ D. 气温的中位数为23℃ 【答案】D 【解析】 【分析】观察统计图，得到A正确，再根据极差，平均数和中位数的定义进行求解，得到答案. 【详解】A选项，根据统计图可知，23点的气温最低为18℃，A正确； B选项，这5个时刻的气温极差为（℃），B正确； C选项，平均气温为（℃），C正确； D选项，从小到大，选取第3个数据作为中位数，故气温的中位数为22℃，D错误. 故选：D 4. 如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合平行六面体的性质判断选项中各线段与的位置关系，即可得答案. 【详解】由图可知、与均在平面内，故A、D不符合题意； 位于平面内，位于平面内，平面平面， 故与不相交； 又，与相交，故与不平行，则与异面，B正确； 连接，由于，故四边形为平行四边形， 则，又，故，C不符合题意， 故选：B 5. 一个盒子中装有4支铅笔，其中2支一等品，1支二等品和1支三等品．若从中任取2支铅笔，则恰有1支铅笔是一等品的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法并根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】由题意将4支铅笔中2支一等品用，表示，1支二等品用表示，1支三等品用表示， 则从中任取2支的情况为：，，，，，共6种情况， 则恰有1支铅笔是一等品的情况有，，，，共4种符合， 所以恰有1支铅笔是一等品的概率为，故D正确. 故选：D. 6. 一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设航船方向与河岸夹角为，根据求出即可求解. 【详解】设航船方向与河岸夹角为， 所以，所以， ， 分钟. 故选：C. 7. 如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，可求点到平面的距离. 【详解】由题意可得，平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面，所以， 又直三棱柱各棱长均为2，所以， ， 所以，， 设点到平面的距离为， 由，得，所以， 解得. 故选：A. 8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求出,再根据正切函数定义求解. 【详解】在中，，，，则夹， 由正弦定理可得： 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件M，“点数为奇数”记为事件N，“点数小于4”记为事件Q．下列说法正确的是（ ）． A. M与N为互斥事件 B. M与Q为对立事件 C. N与Q不为互斥事件 D. N与Q为相互独立事件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件、以及独立事件的概念一一判断各选项，即得答案. 【详解】由于偶数点和奇数点不会同时发生，故M与N为互斥事件，A正确； 由于出现2点时，事件M与Q同时发生，故M与Q不为对立事件，B错误； 由于出现1、3点时，事件N与Q同时发生，N与Q不为互斥事件，C正确； ，, 则，即N与Q不为相互独立事件，D错误， 故选：AC 10. 已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 在方向上的投影向量为 C. D. 当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量模的知识即可求解A；利用投影即可求解B；利用数量积即可求解C；当时，与共线可求解D. 【详解】A：由，是夹角为的单位向量则，则对两边同时平方得，则，故A正确； B：在方向上的投影向量为，故B正确； C：由，，则，故C错误； D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误； 故选：AB. 11. 已知球的表面积为，一个正四面体的四个面都与球相切，且该正四面体的四个顶点都在球的球面上，则（ ）． A. 该正四面体的表面积为 B. 该正四面体的体积是 C. 球的表面积是 D. 球与球的体积比是 【答案】ACD 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为，内切球半径为，外接球半径为，利用体积分割法求得，将正四面体放入正方体可得，从而可逐项判断求解. 【详解】A：设正四面体的棱长为，如图所示正四面体，点在底面的投影为点且为底面重心，为内切球圆心，分别连接，，， 设内切球的半径为，则，则得， 因，， 又， 由 即， 解得：，则，所以该正四面体的表面积为，故A正确； B：由A可得，故B错误； C：将正四面体放到一个正方体内，则正方体的外接球就是正四面体的外接球，设外接球半径为， 则，解得：， 由A得，则， 所以球的表面积是，故C正确； D：由，，则，所以球与球的体积比是，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校高一年级的学生共有800人，按性别进行分层，现用分层随机抽样的方法从该年段的学生中按比例分配抽取100人进行肺活量测试，这100人中有60人是女生，则该校高一年级女生共有______人． 【答案】 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质直接求解． 【详解】设该校高一年级女生共有人， 由分层抽样的性质得：，解得． 故答案为：． 13. 如图，棱长为1的正方体中，二面角的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质可得即为所求的二面角的平面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】取的中点为，连接, 由于正方体中,, 故，， 故即为所求的二面角的平面角， 由于平面，平面，故， 因此, 故答案为： 14. 已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 【答案】 ①. 0.6 ②. 0.3 【解析】 【分析】根据事件A的对立事件为求出，因为，则，，从而求出相应概率值. 【详解】已知事件A的对立事件为，则, 因为，根据并事件的性质： 所以; 因为，根据交事件的性质：. 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，则 （1）当实数m取什么值时，z是实数； （2）当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的类型得到方程和不等式，求出答案； （2）根据所在象限得到不等式组，求出答案. 【小问1详解】 由题意得且，解得； 【小问2详解】 由题意得，解得， 故当时，z在复平面内对应的点在第二象限. 16. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在长二F遥二十运载火箭的托举下，圆满完成飞行任务．为发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取600名学生进行航天知识竞赛并记录学生的成绩（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求n的值； （2）求第70百分位数； （3）求这600名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1即可求解； （2）利用百分位数的定义求解即可； （3）利有平均数的定义求解即可. 【小问1详解】 由，得； 【小问2详解】 设第70百分位数为，则，解得； 【小问3详解】 这600名学生成绩的平均数为. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若的平分线交于点D，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果； （2）先由余弦定理可得的值，再由等面积法结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即， ， 即，且， 则，，则. 【小问2详解】 由可得， 由正弦定理可得， 即，解得，则， 且为角的角平分线， ，即， 化简可得，解得. 18. 小林和小郑都参加英语口语面试，小林通过的概率为，小林和小郑都能通过的概率为，并且在面试过程中小林与小郑互不影响． （1）求小郑通过的概率； （2）求小林、小郑恰有一人通过的概率； （3）求小林、小郑中至少有一人不通过的概率． 【答案】（1）小郑通过的概率为. （2）小林、小郑恰有一人通过的概率为. （3）小林、小郑中至少有一人不通过的概率为. 【解析】 【分析】（1）设事件A为“小林通过”，事件B为“小郑通过”，则事件A、B为独立事件，根据独立事件运算规则，结合题给条件求解. （2）小林、小郑恰有一人通过分两种情况①小林通过且小郑未通过；②小郑通过且小林未通过，两种情况为互斥事件，概率为两种情况的和. （3）小林、小郑中“至少有一人不通过”为“两人同时通过”的逆事件,根据对立事件公式计算. 【小问1详解】 设事件A为“小林通过”，事件B为“小郑通过”，则事件A、B为独立事件: ，， 所以， 故小郑通过的概率为：. 【小问2详解】 小林、小郑恰有一人通过分两种情况：①小林通过且小郑未通过；②小郑通过且小林未通过.则： ， 故小林、小郑恰有一人通过的概率为：. 【小问3详解】 小林、小郑中“至少有一人不通过”为“两人同时通过”的对立事件，即： 故小林、小郑中至少有一人不通过的概率为：. 19. 如图几何体是以矩形（及其内部）的一边所在直线为轴旋转得到的．已知，，P是上的中点，Q是的中点，与交于点O． （1）求证：平面； （2）求该几何体的表面积； （3）在弧上是否存在的一点M，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由？ 【答案】（1） 证明：因为P是上的中点，所以是的中点，又Q是的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2） （3）在弧上不存在的一点M，使得直线与平面所成的角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，可证结论； （2）利用矩形面积公式求得侧面面积与上下底面面积可得表面积； （3）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的方向向量，进而计算可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以矩形的面积为， 曲面的面积为，上下底面的面积为， 所以该几何体的表面积：； 【小问3详解】 在弧上不存在的一点M，使得直线与平面所成的角的正弦值为. 理由如下： 在底面内作， 以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为在圆弧，所以， 则，又是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 假设在弧上存在的一点M，使得直线与平面所成的角的正弦值为， 则有解，两边平方得， 所以，又， 所以，所以，所以， 因为，方程无解. 所以在弧上不存在的一点M，使得直线与平面所成的角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $