精品解析：贵州省贵阳市普通中学2024-2025学年高一下学期期末监测数学试题

贵阳市普通中学 2024-2025学年度第二学期期末监测 高一数学 2025.7 注意事项： 1. 本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟. 2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分. 3.考试过程中不得使用计算器. 一、选择题（本大题共8小题，每小题 4分，共32分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上.） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知，则与垂直的单位向量坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 新能源汽车凭借环保、节能等优势，受到越来越多消费者的青睐.某品牌为评估旗下新能源汽车在市场中的竞争力，统计了6个不同地区该品牌新能源汽车专卖店在一周内的销售数量（单位: 辆）， 数据如下: 18，22，25，28，30，35.则这组数据的上四分位数（第75百分位数）是（ ） A. 22 B. 28 C. 30 D. 35 4. 一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件B与事件C互斥 C. 事件A与事件C对立 D. 事件B 与事件C对立 5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若mn，n⊥α，αβ，则m⊥β B. 若则m⊥α C 若m⊥α，mn，nβ，则α⊥β D. 若，则α⊥β 6. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是4和6，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知P是边长为2的正六边形内部一点（包含边界），则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分.） 9. 一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B关系用图表示，如图所示，其中 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A. n（AB）=4 B. C. D. A与B相互独立 10. 如图，在棱长为1的正方体中，N为线段上的动点（含端点），则下列选项中正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的最大值为 B. 直线与平面平行 C. 当N为线段上中点时，平面平面 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上.） 11 已知事件A与事件B互斥，若，则______ 12. 一个边长为3的正方形，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为_______. 13. 已知等边的边长为1，，那么_____ 14. 已知一组数据2， 3， m， 8， ，9的平均数为8， 则 ______，这组数据的方差为_______. 15. 在正三棱锥中，，且P、A、B、C四个顶点均在球O的球面上，则球O被平面PAB所截圆的面积为______. 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知平面向量，. （1）求向量的坐标； （2）当实数k为何值时，与共线. 17. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求B大小； （2）若的面积为求的周长. 18. 为了让同学们更好的了解垃圾分类，贵阳市某中学高一年级1000名学生进行了垃圾分类知识测试（满分100分）， 将全部测试成绩分组得[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]五个组， 已知前三组的频率分别为0.04、0.16、0.2， 后两组的频率之比为3：2.请回答下列问题： （1）求后两组的频率，并补全如图所示频率分布直方图； （2）结合频率分布直方图，估计该中学本次垃圾分类知识测试成绩的平均分 （同一组中的数据用该组区间的中间值代表）； （3）若垃圾分类知识测试中将成绩[80，90）称为良好， [90，100]称为优秀.按照比例分配分层随机抽样，现从测试成绩为良好和优秀的两组同学中抽取5人，然后从5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人成绩都为优秀的概率. 19. 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥中 ，底面，且四边形为直角梯形，，，E为中点. （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明，条理清晰.） 20. 形如z=a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数. 的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r（cosθ+isinθ）（）是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： （1）将 表示成三角形式 （辐角取主值）； （2）在复数范围内，求出1的8次方根； （3）在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市普通中学 2024-2025学年度第二学期期末监测 高一数学 2025.7 注意事项： 1. 本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟. 2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分. 3.考试过程中不得使用计算器. 一、选择题（本大题共8小题，每小题 4分，共32分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上.） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的概念判断即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：C 2. 已知，则与垂直的单位向量坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【详解】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，， 所以，解得或，故或. 故选：C 3. 新能源汽车凭借环保、节能等优势，受到越来越多消费者的青睐.某品牌为评估旗下新能源汽车在市场中的竞争力，统计了6个不同地区该品牌新能源汽车专卖店在一周内的销售数量（单位: 辆）， 数据如下: 18，22，25，28，30，35.则这组数据的上四分位数（第75百分位数）是（ ） A. 22 B. 28 C. 30 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的意义求解即可. 【详解】，所以这组数据的上四分位数为第5个数30. 故选：C. 4. 一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件B与事件C互斥 C. 事件A与事件C对立 D. 事件B 与事件C对立 【答案】A 【解析】 【分析】利用互斥事件与对立事件的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若mn，n⊥α，αβ，则m⊥β B. 若则m⊥α C. 若m⊥α，mn，nβ，则α⊥β D. 若，则α⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】对于每一个选项从定义或判定上分析，另外这类题也可以通过画图来判断. 详解】解：对于A，若，则且，所以A正确； 对于B，若，则且，所以B正确； 对于C，若，则由面面垂直的判定定理可得，所以C正确； 对于D，若，则可能相交或垂直，所以D错误. 故选：D. 6. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和勾股定理，解三角形，求出两点之间的距离. 【详解】由题意知，，所以． 因为，在中，． 故选：D 7. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是4和6，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆台的侧面展开图中，两个半圆的半径分别是4和6求出圆台上下底面半径和母线长，依据图形运用勾股定理求解出圆台的高，运用圆台的体积公式即可计算出圆台的体积 【详解】由题意及图得， 作出圆台截面图如下图所示，过点作于点， 设圆台上底面圆半径为， 则，解得， ∴， 设圆台下底面圆的半径为， 则，解得：， ∴，， 由几何知识得，圆台的母线长为， 在Rt中，由勾股定理得： ， ∴圆台的体积为：， 故选：B. 8. 已知P是边长为2的正六边形内部一点（包含边界），则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图，再利用数量积的几何意义求解. 【详解】由题，作图如下： 设为正六边形的中心，则，故 由正六边形的边长为2，可得， 因为P是正六边形内部一点（包含边界）， 显然，当点与点重合时，在方向上的投影最大，且两者同向共线， 又因为，所以. 故选：D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分.） 9. 一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B关系用图表示，如图所示，其中 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A. n（AB）=4 B. C. D. A与B相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图易求得可判断A，求得，利用古典概型概率公式计算即可判断B；求得，利用古典概型概率公式计算即可判断C；分别求出事件求得，.进而计算判断即可. 【详解】对于A，由图知，，故A正确 ； 对于B，因为，，所以， 所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，又， ，，所以A与B相互独立，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，N为线段上的动点（含端点），则下列选项中正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的最大值为 B. 直线与平面平行 C. 当N为线段上中点时，平面平面 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将直线与直线所成角转化为直线与直线所成角可判断A，由面面平行的性质定理可判断B，由面面垂直的判定定理可判断C，将空间问题转化为平面问题，根据两点之间线段最短，结合余弦定理计算可判断D. 【详解】对于A，，直线与直线所成角即为直线与直线所成角， 显然当与点重合时，直线与直线所成角最大，最大角为， 直线与直线所成角的最大值为，故A错误； 对于B，，平面，平面， 平面，同理可得平面， 又，平面，平面， 平面平面，又平面， 平面，故B正确； 对于C，当N为线段上中点时，，，， 平面，又平面， 平面平面，故C正确； 对于D，把平面沿展开到平面所在平面，如图， 连接交于点此时最小，最小值为， 在中，，， ， 故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上.） 11. 已知事件A与事件B互斥，若，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用互斥事件概率加法公式求解即可. 【详解】因为事件A与事件B互斥，， 所以. 故答案为：0.7 12. 一个边长为3的正方形，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】画出直观图，结合斜二测画法得到直观图中相关的线段长度，即可得解. 【详解】如图平面正方形的边长为， 则直观图如下所示： 则直观图为平行四边形：，， 又因为， 所以直观图的面积为. 故答案为： 13. 已知等边的边长为1，，那么_____ 【答案】## 【解析】 【分析】利用是等边三角形得出和，和，和的夹角的度数，即可求出的值. 【详解】由题意，在等边中，边长为1，三个内角都为，， ∴，，， ∴ ， 故答案为： 14. 已知一组数据2， 3， m， 8， ，9的平均数为8， 则 ______，这组数据的方差为_______. 【答案】 ①. 12 ②. 19 【解析】 【分析】利用平均数计算公式可求出m的值，代入求方差即可. 【详解】2， 3， m， 8， m+2，9的平均数为8，所以，解得：， 这组数据为2， 3， 12， 8， 14，9, 方差为：， 故答案为：；. 15. 在正三棱锥中，，且P、A、B、C四个顶点均在球O的球面上，则球O被平面PAB所截圆的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求得外接圆的面积即可求得球O被平面所截圆的面积. 【详解】球O被平面所截圆的面积为即为外接圆的面积， 因为，所以由余弦定理可得， 所以， 所以外接圆的半径为， 所以外接圆的面积为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知平面向量，. （1）求向量的坐标； （2）当实数k为何值时，与共线. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解； （2）利用向量共线的坐标关系列式求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，， 与共线，，解得：. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求B的大小； （2）若的面积为求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合角的范围逆用和角的正弦求解. （2）利用三角形面积公式得，再由余弦定理求得，即可得解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 而，所以，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由的面积为，得，解得， 由余弦定理及得， 解得，所以的周长为. 18. 为了让同学们更好的了解垃圾分类，贵阳市某中学高一年级1000名学生进行了垃圾分类知识测试（满分100分）， 将全部测试成绩分组得[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]五个组， 已知前三组的频率分别为0.04、0.16、0.2， 后两组的频率之比为3：2.请回答下列问题： （1）求后两组的频率，并补全如图所示频率分布直方图； （2）结合频率分布直方图，估计该中学本次垃圾分类知识测试成绩的平均分 （同一组中的数据用该组区间的中间值代表）； （3）若垃圾分类知识测试中将成绩[80，90）称为良好， [90，100]称为优秀.按照比例分配的分层随机抽样，现从测试成绩为良好和优秀的两组同学中抽取5人，然后从5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人成绩都为优秀的概率. 【答案】（1） （2）分 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1以及后两组频率比列等式计算可得结果； （2）由频率分布直方图平均值的计算公式计算可得结果； （3）确定分层抽样抽取的人数，由古典概型计算公式计算可得结果. 【小问1详解】 解：设后两组频率分别为，则有， 解得：，所以后两组的频率分别为. 【小问2详解】 平均分为：（分） 所以该中学本次垃圾分类知识测试成绩的平均分为分. 【小问3详解】 因为成绩在[80，90）， [90，100]的两组的频率之比为3：2，所以分层抽样抽取的人数分别为3人，2人，设抽到的良好的学生为，抽到的优秀的学生为， 则从5人中抽取2人的情况为：共10种， 其中两人成绩都优秀的情况为：共1种， 设事件A：抽到的两人成绩都为优秀， 则. 故抽到的两人成绩都为优秀的概率为. 19. 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥中 ，底面，且四边形为直角梯形，，，E为中点. （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，可得，可证结论； （2）过作于，连接，可证为直线与平面所成的角，求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为E为中点，所以， 又因为，四边形为直角梯形，， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 过作于，连接， 因为底面，又底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又，又平面，平面平面， 所以平面，所以在平面内的射影为， 所以为直线与平面所成的角， 因为，，所以， 因为，所以，解得， 又，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明，条理清晰.） 20. 形如z=a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数. 的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r（cosθ+isinθ）（）是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： （1）将 表示成三角形式 （辐角取主值）； （2）在复数范围内，求出1的8次方根； （3）在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）以 （2） （3）存在这样的集合， 【解析】 【分析】（1）根据复数的三角形式的定义计算可求解； （2）设是 1 的 8 次方根，有，求解即可； （3）取，验证可得结论. 【小问1详解】 由，, 则，, 由，则， 所以； 小问2详解】 1 的三角形式： 设是 1 的 8 次方根，则：， 解得：，， 取，得到 8 个不同的根： 所以， 即1 的 8 次方根为：，， ，， ，， ，； 【小问3详解】 取， ， ， 则 ， 因为，，所以， 所以是的整数倍，故. 所以在复数范围内存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $