精品解析：河南省开封市2024-2025学年高二下学期期末调研考试数学试题

2024—2025学年第二学期期末调研考试 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列12，6，3，…，则该等比数列的第6项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出公比q,利用等比数列的通项公式，可求出答案. 【详解】由题可知，公比，所以， 故选：A 2. 若随机变量X服从正态分布，则．已知随机变量，则下列概率中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意由，得，利用正态密度曲线的性质即可求，再利用对称性即可求和，进而比较大小即可求解. 【详解】由题意有，即，所以，， 所以，所以， ， 故选：B. 3. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得最大值 C. 在处取极小值 D. 在上至少有一个零点 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像得的单调性，逐项验证即可求解. 【详解】由图可知：当时，，当时，，当时，，当时，， 所以的减区间为，增区间为，故A错误， 和为极大值点，不能确定的大小，为极小值点，故B错误，C正确；由于与0的大小不确定，故D错误. 故选：C. 4. 在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设线段上靠近点A的三等分点为，则有，根据向量坐标的线性运算即可求解. 【详解】设线段上靠近点A的三等分点为，则有， 又，所以， 所以，即，所以， 故选：A. 5. 过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由中点坐标公式结合定义法求解抛物线焦点弦即可. 【详解】由题意，所以. 故选：C. 6. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　） 表1 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 36 52 表2 视力 性别 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52 表3 智商 性别 偏高 正常 总计 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 36 52 表4 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计 16 36 52 A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式分别计算得观察值，比较大小即可得结果. 【详解】根据公式分别计算得：A.; ; ; 选项D的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 7. 在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式即可求解. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 8. 已知函数在内有且只有一个零点，则曲线的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导数，根据参数的取值范围，分类讨论函数的单调性，由题意，建立方程，可得,再由的对称轴为的对称中心可得答案 【详解】由题得， 当时，当时，， 函数在区间内单调递增，且， 所以函数在区间内无零点； 当时，当时，，当时，， 则在区间内单调递减，在区间内单调递增. 故只需，解得， 所以， 由的对称轴为的对称中心可得，的对称中心为 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于双曲线的以下论述中，正确的是（ ） A. 焦点在y轴上 B. 虚轴长为16 C. 渐近线方程为 D. 离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由有，逐项验证即可求解. 【详解】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确； 由，所以虚轴长为，故B错误； 由得，故C正确；由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设圆上的点，由题意有，即两圆相交即可求的范围，进而逐项验证即可求解. 【详解】设圆上的点，则， 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径为，则两圆有两个交点，即两圆相交， 所以，解得，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 11. 如图，在一个正方形的框架中有三个滑块，滑块可以在框架中滑动到与其相邻的无滑块位置．在下列选项中，只通过滑动，即可变成如图所示图形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】作出移动的路径图，可得出合适的选项. 【详解】，D合乎要求； ，B合乎要求； AC选项通过移动无法得出. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的乘法求导法则求，进而可得结果. 【详解】由题意可得：， 所以. 故答案为：. 13. 已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】用、、表示，结合空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 由题意可得， 因为、分别为、的中点，所以，， 故， 因此， . 故答案为：. 14. 已知数列的前n项和，若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而利用基本不等式可求得的值. 【详解】当时，； 当时，根据. 当时，上式也满足， 故 若，则， 但且仅当时取等号. 所以则的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，． （1）求； （2）记等差数列的前项和为，求时的值． 【答案】（1） （2）1或 【解析】 【分析】（1）由题意求出数列的通项公式，即可求解； （2）利用等差数列前项求和公式得，从而可求解. 【小问1详解】 由，所以公差， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，即， 即，解得或. 故当时，为或. 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴垂直，求； （2）求函数的最小值． 【答案】（1） （2）最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意得出，由此可求得的值； （2）利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的最小值. 【小问1详解】 因为，则， 所以曲线在点处的切线斜率为， 因为切线与轴垂直，故，解得. 【小问2详解】 函数的定义域为，令可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，当时，函数取最小值，即. 17. 一个箱子里有个大小相同的红球和白球，其中红球比白球多个．已知从中随机摸出个球，摸出的球颜色不同的概率为． （1）求的值； （2）若有放回地摸球次，每次随机摸出个球，记至少取出一次的球的个数为，求的分布列和均值． 【答案】（1） （2）分布列： 【解析】 【分析】（1）设红球的个数为，则白球的个数为，则，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式求出的值，即可得出的值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 记事件“摸出的球颜色不同”，设红球的个数为，则白球的个数为，所以， 所以，解得，故. 【小问2详解】 随机摸出每个球的概率都是，由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 故随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 18. 如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． （1）证明：； （2）证明：与是异面直线； （3）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. （2）证明：因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， ①若，即，即，无解， 所以直线与直线不平行； ②若直线与相交，记它们所确定的平面为， 因为、，所以，设， 即，所以，无解， 所以直线与直线不相交. 由于空间中两直线仅有的三种位置关系：平行、相交或异面，故直线与直线为异面直线. （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法分析可知，直线与直线既不平行，也不相交，由此可证得结论成立； （3）设，，、，求出点、的坐标，根据可得出，再利用空间向量的模长公式以及二次函数的基本性质可求得的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 记、分别为异面直线、上任意一点，设，，、， 则， 故，即点， ，故，则， 由得，则， 所以， 因此，当时，取最小值， 所以异面直线与之间的距离为. 19. 已知分别为椭圆的左、右焦点，点A在C上，垂直于x轴，且． （1）求C的方程； （2）若B为椭圆C的右顶点，过的直线与椭圆交于不同的两点，且． （i）求证：直线与直线的斜率之和为定值； （ii）过M与x轴垂直的直线交直线于点H，求中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义和勾股定理即可求，又由即可求解； （2）（i）由题意可设过的直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理得，代入即可求解； （ii）设中点为，，则，直线的方程为，令得，利用中点坐标有，化简整理即可求解. 【小问1详解】 由题意有，解得，又，解得， 又由， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）由题意可设过的直线的方程为， 所以，消去化简整理有， 所以，解得， 所以， 又， 所以 ； （ii）设中点为，，则，又直线的方程为， 令有，所以， 所以 ， 又因为 ， 所以， 又过点的直线与椭圆的切点分别为， 所以中点的轨迹为除去两端点的线段，轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期末调研考试 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列12，6，3，…，则该等比数列的第6项是（ ） A. B. C. D. 2. 若随机变量X服从正态分布，则．已知随机变量，则下列概率中最大的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得最大值 C. 在处取极小值 D. 在上至少有一个零点 4. 在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　） 表1 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 36 52 表2 视力 性别 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52 表3 智商 性别 偏高 正常 总计 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 36 52 表4 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计 16 36 52 A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量 7. 在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在内有且只有一个零点，则曲线的对称中心为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于双曲线的以下论述中，正确的是（ ） A. 焦点在y轴上 B. 虚轴长为16 C. 渐近线方程为 D. 离心率为 10. 若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 如图，在一个正方形的框架中有三个滑块，滑块可以在框架中滑动到与其相邻的无滑块位置．在下列选项中，只通过滑动，即可变成如图所示图形的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______ 13. 已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则___________． 14. 已知数列的前n项和，若，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，． （1）求； （2）记等差数列的前项和为，求时的值． 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴垂直，求； （2）求函数的最小值． 17. 一个箱子里有个大小相同的红球和白球，其中红球比白球多个．已知从中随机摸出个球，摸出的球颜色不同的概率为． （1）求的值； （2）若有放回地摸球次，每次随机摸出个球，记至少取出一次的球的个数为，求的分布列和均值． 18. 如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． （1）证明：； （2）证明：与是异面直线； （3）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 19. 已知分别为椭圆的左、右焦点，点A在C上，垂直于x轴，且． （1）求C的方程； （2）若B为椭圆C的右顶点，过的直线与椭圆交于不同的两点，且． （i）求证：直线与直线的斜率之和为定值； （ii）过M与x轴垂直的直线交直线于点H，求中点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $