山东省泰安市宁阳县2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

试卷到型：人 高一年级考试 数学试题 2025.07 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择圆时选出每小题答案后，用铅笔把答随卡上对应题目的客案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择愿时将答案可在容题卡 上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合骊目要求的。 1面两，复数：七2对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 2.某校高一年级有男生500人，女生700人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从 该校高一年级学生中抽出一个容量为360的样本.如果样本按比例分配，那么男生，女 生应分别抽取的人数为 A.180:180 B,150:210 C.210:150 D.200:160 3.设m,是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列选项正确的是 A若m∥a,m∥B则a∥B B.若a∩B=a,m∥a,则m∥a C若m⊥a,m⊥B.则a∥B D.若a⊥B,m⊥a,则m∥B 4已知向量a,b不共线，且向量a+Ab与（以+1）a+6仙共线，则实数入的值为 A.-2或-3 B.-2或3 C.-3或2 D.2 5.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为8，圆台的侧面积为96： 则圆台较小底面的半径为 A.3 B.5 C.6 D.7 6在△ABC中丽，而-丽.则死 6 高一数学试题第1页（共4页） 甲，乙两人练习时击，击中日标的顺率分别为P和华，若甲，乙两人各附击一次，则目标检 好被击中一次的额率为 Cp+g-p四 D.1-1-p1-g A网 B.十 8如图，正方体ABCD-A,B,CD,中，E广GA.M,N分别为 棱D.A8 BC.CD.B,C.A,D,的中点，为AN的中点， 接NG,IM,对于空间任意两点PO,若线量P0上不存在 线量VG与MH上的点，则称PQ两点“可透视”.刺与点 C“可透规”的是 A点K B点A C点F D.点E 二、选择厘：本题共3小题，每小题6分，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9下列远项正确的是 A.从装有两个红球和三个黑球的按子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件 “恰好有两个周球”互斥 B,用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为50的样本，个体园 被抽到的概率是05 G数据x,,,的平均数为=2，方差2=4，则数据3+13五，+1,3x,+1,3x,+1 的标准差为2V3 D.若事件A与事件B是相互独立事件，则P(4门B)=0 10.已知向量a,4c,则下列选项正确的是 A若a∥6,6∥c,则a∥c B.若a>16l,则(a+(a-)>0 C.若向量a与b的夹角为纯角，则ab<0 D.若a=(34),6=(0,1),则向量a在向量6方向上的投影向量为(0,4) IL.三棱能P-ABC中，M为PA中点，PA=AC=BC=L,PB=VS,PA⊥AC,AC⊥BC,则 下列选项正确的是 A.PA⊥BC B直线CY与子面P4B所成角的正装值为号 C直钱W与PG所成角为 D.过M的平面与三装锥P-ABC的外接球的拔面面积最小值为号 高一数学试题第2页（共4页） 三、填空是：本量共3小题，每小原5分，共15分 12已知A25).B52).C10,7,则B.G 13如图.圆维P0的底面直径和高均为6，过0的中点0作平行于 座面的截面，以该藏面为底面挖去一个阴柱，则侧下儿何体的表 面积为 14在△A月C中，内角A,BC的对边分州为a,,4,S为△AB0的面积，D为AC的中点，其 丽C=2√33，b=2:则BD的最大值为 四、解答服：本题共5小题，共刀分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 为得诗文明健康生活方式，2024年12月，国家卫健委发布了《体重管理指导原则》，指 导医疗卫生人员开展体重管理工作，当地卫生管理部门对某校企体高一男生进行了体重 湖在，将数据统计成如下镇率分布表及颗率分布直方图 分组 频数 频率 酸米 组距 130.401 30 0.05 140.501 150,601 120 0.2 160.701 0.3 0.02 [70.801 150 180.901 60 0.1 合计 30405060708090 体重（名） (1)求，n,b,无y的值： (2)估计高一男生体重的第75百分位数： (3)估计高一男生体重的平均数 16.(15分 发子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球 1)若这5个球分别标有数字1,2,3,4,5，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不成 回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率： (2)著若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球飘色恰好不同的概 高一数学试题第3项（共4页） 已知△BC中.内角4，C所对的边为md6,其中6=2VS,:=票△BC的面积为 7,(15分 3+V/万 (1)求角C的大小： (2)如图，点D在边C的延长线上 若GD±42，E=,求CE的长 复向量是指元索为复数的向量，即把有序复数对（马，〔：一eC)看作一个向量，记作a= 18(17分) ,).我们把两复向量4，右的数量积记作<a,6>对于a=(,,6=小.4eG 满足如下运算法则： ①g±b=(日+，±》 2Aa=(AA)AER 得ca6>=+ ④复向量a的模|al=Va,a习 已知1为虚数单位，1∈Ra=1+4,2-3).6=(-1,3+3i,m=1+2-).n=石，1) (1)求复向量a+6,a一6的模 (2)证明：若6=Aa,AGR,则<a,6>∈ (3)对两个复向量a与b,若<4,6>=a,则称a与6平行，是香存在tER,使m与n 平行，若存在，求出：的值：若不存在，请说明理由 19.(17分) 在△4BC中，∠BAC=45°，AB=4V2,AC=4,F是边BC上的动点（不与B、C重合），过 点F作AC的平行线交AB于点E,将△BEF沿EF折退，点B折起后的位置记为P,得到四 棱维P一ACFE.如图所示 (1)证明：AC∥平面PEF: (2)若F为BC中点，且平面 PEF⊥平血ACFE,求三面角 P-EC-F的余弦值： (3)若D为4C中点，是否存在点 FP,使得PD⊥AE,若存在，求 CF的取值范围：若不存在，请说 明理由 高一数学试题第4页（共4页）高一数学试题参考答案 第 页 （共6页） 高 一 年 级 考 试 数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题： 题 号 答 案 1 B 2 B 3 C 4 C 5 A 6 D 7 C 8 D 二、多项选择题： 题 号 答 案 9 AB 10 BCD 11 ACD 三、填空题： 12. 18 13. 18π + 9 5 π 14. 2 + 3 四、解答题： 15.（13分） 2025.07 解：（1）n = 300.05 = 600, b = 150 600 = 0.25, y = 6 10 = 0.025 又∵ 0.05 + 10x + 0.2 + 0.3 + 0.25 + 0.1 = 1 ∴ x = 0.01 ∴ a = 600 × 0.1 = 60 ………………………………………………………… 5分 （2）因为前4组的频率之和为10 × (0.005 + 0.01 + 0.02 + 0.03 ) = 0.65 < 0.75 前5组的频率之和为10 × (0.005 + 0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.025 ) = 0.9 > 0.75 所以第75百分位数m ∈ [ 70,80 ) …………………………………………… 7分 则0.65 + m - 7080 - 70 × 0.25 = 0.75 解得m = 74…………………………………………………………………… 9分 （3）由频率分布直方图得，某校高一男生体重的平均数为 35 × 0.05 + 45 × 0.1 + 55 × 0.2 + 65 × 0.3 + 75 × 0.25 + 85 × 0.1 = 64 …… 13分 16.（15分） 解：（1）不放回连续取两次的样本空间Ω1 = {（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3）， （2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（3，2），（4，2）， （5，2），（4，3），（5，3），（5，4）} ∴ n (Ω1 ) = 20………………………………………………………………… 4分 记“两数之和为3的倍数”为事件 A，则事件 A= {（1，2），（1，5），（2，4），（4，5）， （2，1），（5，1），（4，2），（5，4）} ∴ n ( A ) = 8 …………………………………………………………………… 6分 1 高一数学试题参考答案 第 页 （共6页） ∴ P ( A ) = 820 = 2 5 …………………………………………………………… 7分 （2）设 5 个 球 记 为 a1 , a2 , b1 , b2 , b3 ，则 有 放 回 地 取 出 两 个 的 样 本 空 间 Ω2 = {(a1,a1 ), (a1,a2 ), (a1,b1 ), (a1,b2 ), (a1,b3 ), (a2,a1 ), (a2,a2 ) , (a2,b1 ) ,(a2,b2 ) ,(a2,b3 ) , (b1,a1 ) ,(b1,a2 ) ,(b1,b1 ) , (b1,b2 ) , (b1,b3 ), (b2,a1 ), (b2,a2 ), (b2,b1 ), (b2,b2 ), (b2,b3 ), (b3,a1 ), (b3,a2 ) , (b3,b1 )，(b3,b2 ) , (b3,b3 ) } ∴ n (Ω2 ) = 25 ……………………………………………………………… 11分 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件B，则B= {(a1,b1 ), (a1,b2 ), (a1,b3 ), (a2,b1 ), (a2,b2 ), (a2,b3 ), (b1,a1 ), (b1,a2 ), (b2,a1 ), (b2,a2 ), (b3,a1 ), (b3,a2 ) } ∴ n (B ) = 12………………………………………………………………… 14分 ∴ P (B ) = 1225 ……………………………………………………………… 15分 17.（15分） 解：（1）∵△ABC面积S = 12 ac sin B = 3 + 3 即 1 2 × a × 2 3 × 2 2 = 3 + 3 ∴ a = 6 + 2 …………………………………………………………… 2分 在△ABC中，由余弦定理 b2 = a2 + c2 - 2ac cosB = ( 6 + 2 )2 + (2 3 )2 - 2 ( 6 + 2 ) × 2 3 × 22 = 8 ∴ b = 2 2…………………………………………………………………… 4分 由正弦定理， b sin B = c sin C ∴ sin C = 2 3 × 2 2 2 2 = 3 2 ……………………………………………… 6分 ∵ a = 6 + 2 > c = 2 3 ∴ A > C ……………………………………………………………………… 7分 ∴ C = π3……………………………………………………………………… 8分 （2）由（1），∠ACD = π - π3 = 2π 3 ……………………………………………… 9分 法1：∵  DE = 12   EA, ∴  CE = 23   CD + 13   CA ……………………………………………… 11分 ∵  CA 2 = 8,  CD 2 = 32,  CA· CD = -8 2 高一数学试题参考答案 第 页 （共6页） ∴  CE 2 = 49   CD 2 + 49   CA· CD + 19   CA 2 = 49 × 32 + 4 9 × ( -8 ) + 1 9 × 8 = 1049 ……………………………………………………… 14分 ∴ CE = 2 263 ……………………………………………………… 15分 法2：在△ACD中，由余弦定理 AD2 = AC2 + CD2 - 2AC × CD cos 2π3 = 8 + 32 + 2 2 × 4 2 = 56 ∴ AD = 2 14 ………………………………………………………… 10分 ∵  DE = 12   EA ∴ DE = 2 143 , AE = 4 14 3 设∠AEC = α,则∠DEC = π - α 在△AEC和△DEC中，由余弦定理 {AC2 = AE2 + CE2 - 2AE × CE cos αDC2 = DE2 + CE2 - 2DE × CE cos(π - α ) 即 ì í î ï ï ï ï 8 = 2249 + CE2 - 2 × 4 14 3 × CE cos α ① 32 = 569 + CE2 + 2 × 2 14 3 × CEcosα ② …………………… 12分 ①+②×2得 CE2 = 1049 ……………………………………………………………… 14分 ∴ CE = 2 263 ………………………………………………………… 15分 18.（17分） 解：（1）∵ a + b = (1,5 ) ……………………………………………………………… 1分 ∴< a + b, a + b >= 1 × 1 + 5 × 5 = 26 ∴ || a + b = 26 …………………………………………………………… 2分 ∵ a - b = (1 + 2i, -1 - 6i ) ………………………………………………… 3分 ∴< a - b, a - b >= (1 + 2i ) (1 - 2i ) + ( -1 - 6i ) ( -1 + 6i ) = 42 ∴ || a - b = 42 …………………………………………………………… 4分 3 高一数学试题参考答案 第 页 （共6页） （2）设 z1 = x1 + y1i, z2 = z2 + y2i，x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R 设a = ( z1, z2 )，则 b = (λz1,λz2 )………………………………………………… 6分 ∴< a,b >= z1 (λ-z1 ) + z2 (λ-z2 ) = λ( z1-z1 + z2-z2 ) = λ( x1 2 + y1 2 + x2 2 + y2 2 ) ∈ R ∴< a,b > ∈ R ………………………………………………………………… 9分 （3）< m,n >= (1 + i ) ( -i ) + (2 - i ) t = 2t + 1 - ( t + 1 )i…………………………………………………… 10分 ∴ || < m,n > = (2t + 1 )2 + ( t + 1 )2 = 5t2 + 6t + 2 ||m = (1 + i ) (1 - i ) + (2 - i ) (2 + i ) = 7 || n = i ( -i ) + t2 = t2 + 1 ………………………………………………… 13分 若m与n平行 则 5t2 + 6t + 2 = 7 × t2 + 1 ∴ 5t2 + 6t + 2 = 7t2 + 7 即2t2 - 6t + 5 = 0 …………………………………………………………… 15分 ∵△= -4 < 0 ∴不存在实数 t，使得m与n平行…………………………………………… 17分 19.（17分） 解：（1）∵ EF ∥ AC EF ⊂平面PEF AC ⊄平面PEF ∴ AC ∥平面PEF …………………………………………………………… 2分 （2）在△ABC中，由余弦定理 BC2 = AB2 + AC2 - 2AB × AC cos∠BAC = 32 + 16 - 2 × 4 2 × 4 × 22 = 16 ∴ BC = 4 ∴ AC2 + BC2 = AB2 ∴ AC ⊥ BC, ∠ABC = 45°………………………………………………… 3分 ∵在翻折过程中，EF ⊥ PF,EF ⊥ CF ∴ ∠PFC为二面角P - EF - C的平面角 ∵平面PEF ⊥平面ACFE ∴ ∠PFC = 90° ∴ PF ⊥ FC 4 高一数学试题参考答案 第 页 （共6页） 又PF ⊥ EF 且EF,FC ⊂平面ACFE，EF ⋂ FC = F ∴ PF ⊥平面ACFE ……………………………………………………… 5分 ∵ F为BC中点 ∴ CF = PF = 2 法1：作FO ⊥ EC于O,连接OP 则OP在平面ACFE的射影为OF ∵ CE ⊂平面ACFE ∴ PF ⊥ CE 且FO，PF⊂平面POF，PF ⋂ FO = 0 ∴ CE ⊥平面POF ∵ OP,OF ⊂平面POF ∴ CE ⊥ OP,CE ⊥ OF ∴ ∠POF为二面角P - EC - F的平面角，设∠POF = α ……………… 7分 法2：∵ PF ⊥ EF,PF ⊥ CF PF = EF = CF = 2 ∴ PE = PC = CE = 2 2 取CE中点为O，连OF,OP 则OF ⊥ CE,OP ⊥ CE ∴ ∠POF为二面角P - EC - F的平面角，设∠POF = α ……………… 7分 ∵ EF ⊥ CF,EF = FC = 2 ∴ FO = 2 又PF ⊥ FO,PF = 2 ∴ PO2 = 2 + 4 = 6 ∴ PO = 6 ……………………………………………………………… 8分 ∴ cos α = OF OP = 26 = 3 3 ∴二面角P - EC - F的余弦值为 33 ………………………………… 9分 （3）∵ EF ⊥ PF,EF ⊥ FC PF,FC ⊂平面PFC，PF ⋂ FC = F ∴EF ⊥平面PFC 5 高一数学试题参考答案 第 页 （共6页） ∵ EF ⊂平面ACFE ∴平面PFC ⊥平面ACFE 过P作PM ⊥ CF于M ∵平面PFC ⋂平面ACFE = CF PM ⊂平面PFC ∴ PM ⊥平面ACFE ……………… 10分 ∵ AE ⊂平面ACFE ∴ PM ⊥ AE ∴ PD ⊥ AE当且仅当DM ⊥ AE，显然，M在线段FC延长线上 ……… 13分 如图，作DM ⊥ AE于N 则△DCM和△AND都是等腰直角三角形 ∵ D为AC中点 ∴ CD = CM = 2 …………………… 14分 设CF = x,则PF = 4 - x,FM = 2 + x ∵ PM ⊥ MF ∴ PF > MF 即4 - x > 2 + x ∴ 0 < x < 1……………………………………………………………… 16分 故存在F,P使得PD ⊥ AE 其中CF ∈ (0,1 ),P在平面ACFE上射影为M M在FC延长线上，且CM = 2 ………………………………………… 17分 6