湖南省衡阳市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答秦写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.在△ABC中，BC<AC,B=答，则A的大小可能为 A音 B晋 c D号 2.设集合(x∈Rx2十ax+3a=0,a∈R}=⑦，则a的取值范围是 A.(0,12) B.(-12,0) C.[0,12] D.(-oo,0)U(12,十o∞) 3.若f(x)为定义在R上的奇函数，且f(一a)十3f(a)十40，则 Af(a)的最小值为-4 B.f(a)的最小值为-2 C,f(a)的最大值为-4 D.f(a)的最大值为2 4.关于复数x=(1十√3i),下列判断正确的是 Ax的实部为8 B:为纯虚数 C:的虚部为6 D.:为实数 5.若sin(5+a)+sin(等-a)=1,则cos2a A-号 B号 B号 6设a=号b=log8,c=log5,则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 1已知PALPB,PA>PB,以A,B为焦点的椭圆经过点P,且该鞘圆的离心率大于平，则 tan∠ABP的取值范图是 A(1,3) B.(3,4) C.(3,+∞) D.(4,+o∞) 【高二数学第1页（共4页）】 8.某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1,2,3,4四个区域，现有6种不同的花卉可供选 择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，若从所有种植方案中任意 选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为 吉 C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.将曲线y=c©sx向左平移个单位长度后，再将所得曲线每个点的横坐标变为原来的上，纵 坐标不变，得到函数f(x)的图象，则 A.f(x)-co(+) B.f(x)的最小正周期为2 C曲线y=fx)关于直线x=一号对称 D曲线y=fx)关于点（号0）对称 10.已知(1-√2x)8=a。十41x十a2x2+十asx8,则 A.an=1 B.2a1+2a2+22ag+…+16a8=2 C.aa=-1122 D.a1+2√2aa+3(W2)ag+…+8(2)'am=8/2 L.巴知双曲线C:-=1(0<a<2)的左、右焦点分别为F1,5,位于第二象限的 在C上，且△MF,F:的周长为12，线段MF2与y轴交于点H.若∠MF:H=∠F,FH,则 A.C的焦距为4 BC的实轴长为猎 CC的离心率为2 D.cos∠MF,H=2a+3 a+4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.样本数据5,6,6,7,8,9,5的中位数为▲ 13.已知圆C:(2m一1)x十my2+2x一m=0与曲线y=alnx的公切线为直线y=mx十n(n <0),则圆C的半径为▲a=△一 【高二数学第2页（共4页）】 14.在一个棱长为10dm的正四面体容器（容器壁的厚度忽略不计）内放置四个半径相等的铁 球，则铁球半径的最大值为▲dm. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个一球），若某次发球成 功，则该次发球者得2分，对方得一1分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该 次发球者得一1分，对方得2分，对方发下一次球已知甲每次发球成功的概率为号，乙每次 发球成功的概率为2，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立， (1)在前两个球发完后，求甲共得1分的概率： (2)设甲这次发球练习的总得分为X,求X的分布列与期望 16.(15分) 如图，在直四棱柱ABCD-A,BC1D1中，底面ABCD为矩形，E为棱BB,的中点 (1)若AB=AD,证明：AC⊥D1E. 《2)设AD=1,AB=2,AA1一4，D,=AD,(>0),且点F到平面A,BC,的距离为， 求入的值. 17.(15分) 在数列a,冲=号且D 1 =1. 2+'ae+12"aa (1)求{am}的通项公式. (2)证明：<2 (3)若数列{b.}中存在两项b,b,(p<q),使得b,=b,则称(p,g)为b)的等项数对.证 明：{a.}的等项数对唯一， 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知抛物线C:y2=2px经过点Q(p3,2√2p),C的焦点F在x轴的正半轴上，点A,B在C 上运动. (1)求C的方程. (2)若直线AB的方程为y=x一2，求△ABF内切圆的半径r (3)设点E(3,1),且EF平分∠AFB,试问直线AB:x=my+n(n≠1)是否过定点？若是， 求出定点坐标：若不是，请说明理由. 19.(17分) 已知函数f(x)的导数为f'(x),f(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作”(x).若函数 f(x)在包含x。的某个开区间(a,b)上具有二阶导数，那么Vx∈(a,b),g(x)=f(xn)十 广x一，士（红一，我们把g(x)称为函数∫x)在x=处的二阶拟合 1! 函数 (1)写出函数y=e在x=0处的二阶拟合函数g(x),并证明c≥p(x)对x∈[0，十∞)恒 成立： (2)若c十cosx≥ax+2对x∈[0，十o∞)恒成立，求a的取值范围； (3)设函数g(x)=(x-2)e十m(x一1)2(m>0)的两个零点为x1,x1,g(x)在x=1处的 二阶拟合函数为h(x),证明：h(x)有两个零点x3,x4,且x1十x:<x:十x4 【高二数学第4页（共4页）】高二数学试卷参考答案 1A因为BC<AC,所以A<B,所以A的大小可能为 2.A依题意可得△=a2-12a<0,解得a∈(0,12). 3.B由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(一a)=一f(a),则f(一a)+3f(a)十4=2f(a) +4≥0，解得f(a)≥一2，则f(a)的最小值为-2. 4.D因为g=(-2+23i)(1+V5i)=-2(1-3i)(1+3i)=-2×(1+3)=-8,所以￥为 实数 iΛ因为im(等+a)+sin(停-a)=2sin哥cosa-cosa=1,所以osa- 3 故ms2a=20osa-1=-子 :D6=10g8<10g9=2=log4<c=1og25=1og251og32=号-a 7.C不妨假设1PB1=1,PA1=x(x>1),该椭圆的离心率为== ABI a 2a IPAI+IPBI 千>，解得<号或x>3,因为>1，所以x>3,所以n2ABP=PA->2 +1、10 IPBI 8.B当区域1与区域3种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有CCCC=150种； 当区域1与区域3不种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有CCCC=480种. 故该花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为150十4802示 1505 9BD由图象变换可得f(x)=cos(x+哥)，则f(x)的最小正周期T-2红=2，A错误， B正确.f(-)≠士1，（合）=0，C错误，D正确 10.ACD令x=0,得ao=1,A正确. 令x=√2，得/2a1+2a2十2√2a3++16ag=(1-2)2-ao=0,B错误， 因为a3x3=C%(-√2x)3--112√2.x3,所以a3=-1122,C正确. 对(1-√2x)3=a。十a1x十a2x2+…十agx”两边同时求导，得一8√2(1一√2x)7=a1十2a2x 十…+8a8x’,令x=√2，得a1十22a2十…+8(2)7a8=-82(1-2)7=82,D正确. 11.ACD易得c2=a2+4一a2=4,则c=2,F1F2|=2c=4,A正确.因为△MF,F2的周长为 12,所以MFl+|MFz|=12-4=8,由MFz1-1MF1I-2a,得1MF,|=4-a,lMF21= 4+a,设∠MF,H=∠F,F,H=a,cosa=cos∠MF,F,=4+a)+16=1-a2- 8(a+4) 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 2a+2 a+,D正确.设HF,=HF,=,则MHI=MF,-HF2=4+a-,由等面积法 可得-即子=中二，每得=8共，由∠HF,=o。 4 0F=2-3-0生整理可得5a2+16a-16=0,因为0<a<2,所以解得a=万， 则C的实轴长为，B错误.C的离心率e一子-号，C正确 12.6样本数据5,6,6,7,8,9,5按照从小到大的顺序排列为5,5,6,6,7,8,9，则所求样本数据 的中位数为6. 13.√2：1由圆C的方程，得2m-1=m,即m=1,所以圆C:(x+1)2+y2=2的半径为/2，则 点C(-1,0)到直线y=mx+n的距离d=”-反(m<0),得m=-1. 设切点为(),f(r)=ahx.由了'(x)=兰，得'(x)==1,得a=xo,因为 f(xo)=aln xo=xo-l,所以-a十alna=-l.设g(x=-x十xlnx,则g'(x)=lnx,当 0<x<1时，g'(x)<0,当x>1时，g'(x)>0,所以g(x)min-g(1)=-1,所以a=1. 14.√一1记该正四面体为四面体PABC,铁球的最大半径为rdm,当 铁球的半径最大时，把四个铁球的球心两两相连，此时构成一个棱长 为2rdm的正四面体O1O2O,O4.设I为正三角形O,O,O3的中o 心，连接0,1，则0,1=2 3rdm,正四面体0,0,0,0，的中心0到 底面ABC的距离为25，×+r一(+1)rd血又0电是正四面体PABC的中心，所以 O到底面ABC的离为05x5后dm即（停+1）56解得，=后-1 15.解：(1)设A,=“第i(i=1,2,3)个球甲发球成功”，B,=“第i(i=1,2,3)个球乙发球成功”， C=“在前两个球发完后，甲共得1分”， 则C=B1B2UB1A2,且B1与B2相互独立，B1与A2相互独立，BB2与BA2互斥， 42分 所以P(C)=P(B,,UB,A,)=P(B,B)+P(西，A,)=(号》'+号×1-号)-是 … 5分 (2)X的可能取值为一3,0,3,6.… …6分 P(X=-3)=P(B,BB)=(2)°=8 …7分 P(X=0)=P(B,BB,)+P(B,BA,)+P(B,A,B,)=(侵》'+()}'×号+×号×号 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 24’ 8分 P(X=3)=P(B,BA)+P(B,A,B,)+P(B,AA)-()》×号+(》'×号+×号 X2=13 3361 9分 P(X=6)=P(BA2A3)= ×号×号-号剂 10分 X的分布列为 X -3 0 3 6 P 13 2 8 24 36 11分 7 故E(x)=-3X8+0X24十3X36 +6x号品 13分 16.(1)证明：连接BD,B1D1, 因为AB=AD,底面ABCD为矩形，所以底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD.·1分 在直四棱柱ABCD-A,B,C,D1中，BB1⊥底面ABCD,则BB1⊥AC. …2分 因为BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BDD1B,… …3分 又D,EC平面BDD1B1,所以AC⊥D,E.…4分 D (2)解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxy2, …5分 则A1(1.0,4),B(1,2,0),C1(0,2,4),D1(0.0.4),E(1,2,2),… …6分 则AC-(-1,2,0),A,B-(0,2,-4)D1E-(1,2,-2).… …7分 设平面ABC1的法向量为m=(x,y,之)， 1m·AC=-x+2y=0, 则 …8分 m·A1B=2y-4x=0, 令x=1,得m=(4,2,1). …9分 因为A1D=(-1,0,0),D1F=DE=(a,2a,-2),…10分 所以A,F=A,D,+D1F=(a-1,2x,-2a). …11分 所以点F到平面A,BC,的距离4=m·A产_I6似-4L_ 21 …13分 m V2I 1 解得入=2或6 …15分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 17.(1)解：因为2am,2a (n十1)°一”=1a1=2, 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， …2分 所以 -=n,得aw 24 …4分 (2)证明：设5.-2号-+号+…+ 2 20 …5分 2+, …6分 11 则s,++…+分 22"+可 20+7>1 n十2 22+ 2+1 8分 1- 2 所以5，=8=2-"+2<2 台i 2 10分 (3)证明：由1)知，a1一a.-0+1_是-n+12-2r--m+2n+1 2+1 2 20 2 当n≤2时，aw+1一aw>0,当n>2时，aw+1一aw<0,…11分 所以a1<a2<a3>a4>a5>…,注意到ag=a1=1,…12分 a7a,登2,02，银<号a,<a,a>7 …14分 所以{4n》的等项数对唯一，且唯一等项数对为(2,4).…15分 18.解：(1)因为抛物线C:y2=2px经过点Q(p3,2√2p),所以2p·p3=(2√2p)2,…1分 解得p=0或巾=士2，…2分 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以p>0,则p=2,则C的方程为y2=4x.…3分 (2)设A(x1y1),B(x2y2). y=x-2, 由 得x8一8江十4=0，…4分 y2=4x, 则+2-8. 5分 x1x2=4, 则|AB1=√1+1P√/x1十x2)-4x1x2=4V6, 6分 |AF|+|BF|-x1+1+x2+1-x1+x2+2-10. ……7分 因为点F(1,0)到直线AB的距离d-昌 所以△ABF的面积S=d·AB=25… …8分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 2S 43 所以r=AF1+BF+AB =10/5-122.…9分 10+4√6 (3)因为EF平分∠AFB,所以F庄=A(+画 IFAI FB …10分 设A(x1y1),B(x2,y2), 则 FA FB FAIFBI 2+2-(+吊+… x1十1 x2+1 …11分 因为屁-2，.所以+2（十》 …12分 整理得x1x21=x1y2十x2y1十y1+y2,…13分 则g-1-:+4+y+y即C%+160y+)=0g-16.0 16 14分 将x=my十n代入y2=4x,得y2一4my-4n=0. y1十y2=4m, 则 …15分 y1y2=-4n, 代入①可得(4m十n十1)(n-1)=0,… …16分 因为n≠1，所以4m十n十1=0，即n=一4m一1， 所以直线AB过定点（一1,4）.…17分 19.(①)解：因为(ey'=e,(c)”=e,所以y=c在x=0处的二阶拟合函数g(x)=e+x+ …2分 设Ax)=e-1-x-2x,则A'(x)=e-1-xA"(x)=e-1>0, …3分 所以A'(x)在[0，十∞)上单调递增，则A'(x)≥A'(0)=0, 所以A(x)在[0，+o∞)上单调递增，即A(x)≥A(0)=0, 所以C≥9(x)对x∈[0，十0∞)恒成立.…5分 (2)解：根据(1)中的方法，同理可得cosx≥1一2r对x∈[0，+o∞)恒成立，…6分 由(1可知g1十z叶272，则e+c0sx≥x十2，…7分 所以当a≤1时，x十2≥a.x十2对x∈[0，+o∞)恒成立，则e+cosx≥a.x+2对x∈[0， 十0∞)恒成立。…8分 设f(x)=c+cosx-a.x-2(.x≥0)，当a>1时，f(lna)=cn“+cos(lna)-alna-2<a 一☑ln1,…9分 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 设I(a)=a-alna-1(a>1),则I'(a)=-lna<0, 所以I(a)在(1，十o∞)上单调递减，则I(a)<1(1)=0, 所以f(lna)<0,这与题意矛盾，所以a≤1. 11分 (3)证明：因为g(x)=(x-2)e十m(.x-1)2, 所以g'(x)=(x一1)(e十2m),则g"(x)=xe十2m, 则h()=g(1)+g(x1D+521(x-1)=2（x-1)-e,…12分 2 因为h(1)=一C<0,所以h(x)有两个零点.…13分 构造函数B(x)=g)一h(r)=(x-2)e-(x-1)+e 则B'(x)=(x一1)(e一e)≥0，所以B(.x)在R上单调递增，…15分 又因为B(1)=0,所以当x∈(-o∞，1)时，g(x)<h(x),当x∈(1，十∞)时，g(x)>h(x), 不妨设x1<x2,3<x1,则x3>x1,x>x2,所以x1十x2<x3十x1.…17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】