湖南省衡阳市衡阳县2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

【高一数学试题参考答案　第 １　 页(共７页)】 ２０２５年上学期高一年级期末联考􀅰数学 参考答案、提示及评分细则 １．【答案】B 【解析】显然A＝{x|－ ３ ７＜x＜ ３ ７},A∩B＝{－１,０},故选B． ２．【答案】D 【解析】将“∃”与“∀”互换,“＝”与“≠”互换,可得否定命题为∀z１、z２∈C,都有z１􀅰z２≠z１＋z２,故选D． ３．【答案】C 【解析】记二者的底面半径为r,则由侧面积相等可得 πr r２＋３＝２πr× ３,解得r＝３,故圆锥的表面积 S＝πr(r＋ r２＋３)＝(９＋６３)π,故选C． ４．【答案】A 【解析】显然抽取A 队３人,B 队２人,整体平均数z＝ ３×２＋２×１ ５ ＝１．６ ,故总方差s２＝ ３ ５ [１．５＋(２－１．６)２]＋ ２ ５ [０．４＋(１－１．６)２]＝１．３,故选 A． ５．【答案】C 【解析】令α∩γ＝AB,β∩γ＝AC,取γ 内一点P 使得PB⊥AB,PC⊥ AC,由α⊥γ,PB⊂γ 可得PB⊥α,由l⊂α可知l⊥PB,同理l⊥PC,而 PB∩PC＝P,PB⊂γ,PC⊂γ,故l⊥γ,故易得“m∥l”是“m⊥γ”的充 要条件,故选C． ６．【答案】D 【解析】甲前两轮胜利的概率p１＝ ２ ３× １ ２＝ １ ３ ,甲前两轮一赢一输,第三轮胜利的概率p２＝ ２ ３× (１－ １ ２ ) × ２ ３ ＋ (１－２３ ) × ２ ３× １ ２＝ １ ３ ,于是甲胜利的概率p＝p１＋p２＝ ２ ３ ,故选D． ７．【答案】B 【解析】作CD⊥AB,垂足为D,记点A 关于D 的对称点为A１,在△ACD 中,设AD ＝２k,则tanA＝ １４ ２ ＝ CD AD ,得CD＝ １４k,于是AC２＝９＝CD２＋AD２＝１８k２,解得 k＝ ２ ２ ,AD＝ ２,CD＝ ７．由C 有两解可知点B 在线段AA１(不含端点和D)上运 动,故CD＜BC＜AC,可得a∈(７,３),故选B． 【高一数学试题参考答案　第 ２　 页(共７页)】 ８．【答案】B 【解析】原方程可化为[g(f(x))－１][g(f(x))－m]＝０,而g(x)＝１ 的解为x＝０或x＝e或x＝ １ e ,若g(f(x))＝１,则f(x)＝０或 １ e 或 e,由图象可知此时有１０个实数解．当m＜０时,显然g[f(x)]＝m 无解,当m＝０时,f(x)＝１,此时有３个实数解,不合题意．当m＞１ 时,显然f(x)有两解,此时实数解个数不超过８,不合题意．显然 m≠１． 当m＝ １ e 时,f(x)有三解,此时由图象易知实数解个数不超过８,不合题意．当m∈ (０,１e ) 时,f(x)有三解, 此时对于满足f(x)＜０的解,易知其满足f(x)＜－１,故由图象可得此时实数解个数不超过７,不合题意．当 m∈ ( １e,１) 时,注意到e＜f(０．０１)＜３,且f(x)＞ln １ e＝－１ ,故由图象可得此时实数解个数为９,符合题意． 故选B． ９．【答案】BD 【解析】对于 A选项,向量之间无法比较大小,A错误,对于B选项,|a􀅰b|＝|a||b||cos＜a,b＞|≤|a||b|, B正确,对于C选项,当a＝(１,０),b＝(－１,０)时,|a＋b|＝０,|a|＋|b|＝２,C错误,对于 D选项,取平面内 三点A,B,C,令AC→＝a,BC→＝b,则AB→＝a－b,而由|AB|≥|AC－BC|可得|a－b|≥|a|－|b|,D正确,故 选BD． １０．【答案】ACD 【解析】对于 A选项,由图象可得 ２π ω × ３ ４＝ １３π １２－ π ３ ,解得ω＝２,A 正确,对于 B选项,由f ( π３ ) ＝０可得 cos(２π３＋φ) ＝０,且由 ２π ３＋φ＝ π ２＋２kπ ,k∈Z和|φ|＜ π ２ 可得φ＝－ π ６ ,B错误,对于C选项,显然f(x)＝ ２cos(２x－π６ ) ,故f( π ４ ) ＝２cos π ３＝１ ,C正确,对于 D选项,f(x＋θ)＝２cos(２x＋２θ－π６ ) ,由偶函数性质 可得２θ－ π ６＝kπ ,k∈Z,于是|θ|＝ １ １２＋ k ２ π≥ π １２ ,当且仅当k＝０时,等号成立,D正确,故选 ACD． １１．【答案】ACD 【解析】对于A选项,记点Q 为A１D１ 上一点,QE 与AB 相交于点P,易知此 时Q 在平面ABE 上,而直线A１D１ 与平面ABE 有且仅有唯一交点,故有且 仅有一个点Q 符合条件,于是满足条件的直线有且仅有一条,A正确, 【高一数学试题参考答案　第 ３　 页(共７页)】 对于B选项,平面AA１C１C,平面BDE 均符合要求,B错误,对于 C选项,可取BC 中点为F,显然EF∥AD１,故该截面的面积可等价为梯形EFAD１ 的面积,而AF＝ D１E＝ ５,EF ＝ ２,AD１ ＝２ ２,故 由 平 面 几 何 知 识 可 知 该 梯 形 的 高 为 h＝ ５－( ２２－ ２ ２ ) ２ ＝ ３２ ２ ,其面积S＝ １ ２ (EF＋AD１)h＝ ９ ２ ,C正确,对于 D选项,易 知A１B１⊥BC１,B１C⊥BC１,A１B１∩B１C＝B１,A１B１⊂平面A１B１C,CB１⊂平面A１B１C,故C１B⊥平面 A１B１C,故由A１Q⊥BC１ 可知点Q 的轨迹为线段B１C,长度为２２,D正确,故选 ACD． １２．【答案】－２ 【解析】(１－i)(２＋ai)＝２＋a＋(a－２)i,由其为纯虚数可知a＝－２,故填－２． １３．【答案】 １６０５ ３ π 【解析】易知该正三棱柱的高为２×２＝４,不妨记下底面的顶点为A,B,C,易知内切球与外接球的球心重合, 记为O,显然 △ABC 的内切圆半径为 ２,记内切圆圆心为 O１,则 O１A ＝４,故外接球半径 R＝OA ＝ OO２１＋O１A２ ＝ ４＋１６＝２５,故外接球体积V＝ ４ ３πR ３＝ １６０５ ３ π ,故填１６０５ ３ π． １４．【答案】(８,１２] 【解析】显然b＋c＝２asin(C＋π６ ) ＝８sin(C＋ π ６ ) ,由C∈(０,π)可知sin(C＋ π ６ ) ∈(－ １ ２ ,１],故b＋ c∈(－４,８],而b＋c＞a＝４,故b＋c∈(４,８],于是△ABC 的周长C△ABC＝a＋b＋c∈(８,１２],故填(８,１２]． １５．解析:(１)因为f(x)＝sin( π３＋４x) ＋sin(４x－ π ６ ) ＝sin( π ２＋４x－ π ６ ) ＋sin(４x－ π ６ ) ＝sin(４x－π６ ) ＋cos(４x－ π ６ ) ＝ ２sin(４x＋ π １２) , ３分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以令－ π ２＋２kπ≤４x＋ π １２≤ π ２＋２kπ ,k∈Z, 解得－ ７π ４８＋ kπ ２≤x≤ ５π ４８＋ kπ ２ ,k∈Z, ６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以函数f(x)的单调递增区间为:－ ７π ４８＋ kπ ２ ,５π ４８＋ kπ ２ é ë êê ù û úú ,k∈Z ７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)因为x∈ ０, π ４ é ë êê ù û úú ,所以 π １２≤４x＋ π １２≤ １３π １２ , 令t＝４x＋ π １２ ,则函数y＝ ２sint在 π １２ ,π ２ é ë êê ù û úú 单调递增,在 π ２ ,１３π １２ é ë êê ù û úú 单调递减; １０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以t＝ π ２ 时,ymax＝ ２; 【高一数学试题参考答案　第 ４　 页(共７页)】 t＝ １３π １２ 时,ymin＝ ２sin １３ １２π＝－ ２sin π １２＝－ ２sin( π ３－ π ４ ) ＝ １－ ３ ２ ;　 所以当x＝ ５π ４８ 时,函数f(x)取最大值为 ２,当x＝ π ４ 时,函数f(x)取最小值为 １－ ３ ２ ． １３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １６．解析:(１)由频率分布直方图中数据可知:(０．００２＋０．０１６＋０．０２２)×１０×２００＝８０(人) ３分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)成绩小于８０的频率为１０×(０．００２＋０．０１６＋０．０２２＋０．０３０)＝０．７,成绩在[８０,９０)的频率为１０×０．０２０＝ ０．２,因为０．７＜０．８５＜０．９, 所以这１００名学生成绩的第８５百分位数在[８０,９０)内． ５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以随机抽取的２００名学生成绩的第８５百分位数为８０＋１０× ０．８５－０．７ ０．９－０．７＝８７．５． ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (３)因为成绩在[７０,８０),[８０,９０),[９０,１００]的学生人数所占比例为３∶２∶１, 所以从成绩在[７０,８０),[８０,９０),[９０,１００]所抽取人数分别应抽取３人,２人,１人． ９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 记抽取成绩在[７０,８０)的３人为a,b,c,成绩在[８０,９０)的２人为d,e成绩在 [９０,１００]的１人为f． 从这６人中随机抽取３人的所有可能为: (a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f),(a,c,d),(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f)(a,e,f), (b,c,d),(b,c,e),(b,c,f),(b,d,e),(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f)． 共２０种情况,且每种情况的发生是等可能的． １１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 抽取的３人中至少有１人的成绩在[８０,９０): (a,b,d),(a,b,e),(a,c,d),(a,c,e),(a,d,e),(a,d,f)(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e), (b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f)． 共１６种等可能的情况． １４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以抽取的３人中至少有１人的成绩在[８０,９０)的概率为: １６ ２０＝ ４ ５． １５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １７．解析:(１)证明:过B 作BO⊥AC,垂足为O, 因为三角形ABC 不是直角三角形,所以O 与A,C 不重合, 又因为侧面ACFD⊥底面ABC, 所以BO⊥面ACFD,所以BO⊥AD, 又∵AB⊥BE,BE∥AD,∴AB⊥AD,而AB∩BE＝B, 所以AD⊥面ABC,即三棱柱ABC－DEF 为直三棱柱, ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 设侧面面积分别为S１,S２,S３,则由于三棱柱ABC－DEF 为直三棱柱, 所以S１＝AB􀅰AD,S２＝BC􀅰AD,S３＝AC􀅰AD, 又∵AB＋BC＞AC,AB＋AC＞BC,AC＋BC＞AB, ∴S１＋S２＞S３,S１＋S３＞S２,S３＋S２＞S１, 【高一数学试题参考答案　第 ５　 页(共７页)】 所以三棱柱ABC－DEF 的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积; ７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)解:过P 作PN⊥BC,垂足为N,过N 作NM⊥AB, 垂足为M,连接PM,易知PN⊥面ABC,所以PN⊥AB, 又因为PN∩MN＝N,所以AB⊥面PMN,所以PM⊥AB, 即∠PMN 为平面PAB 与平面ABC 所成平面角; １０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 设P 到平面ACFD 的距离为h,因为VP－ACFD＝ １ ３SACFD 􀅰h＝ ２３ ３ , 即４ ３h＝ ２３ ３ 得h＝ ３ ２ ,可知P 为线段BF 的中点,则N 为线段BC 的中点, 所以PN＝１,MN＝ ３ ２ , 在Rt△PMN 中,tan∠PMN＝ PN MN＝ １ ３ ２ ＝ ２３ ３ , 所以平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角的正切值为 ２３ ３ ． １５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １８．解析:(１)因为f(x)的图象关于直线x＝a 对称,定义域为R, 所以f(x＋a)＝f(－x＋a), ∴f(x＋a)－f(a)＝f(－x＋a)－f(a), 所以f(x)为 Ω１ 型函数; ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)①因为h(x)为 Ω２ 型函数, 所以存在实数m,使得h(x＋m)－h(m)为奇函数,即有 ∴h(x＋m)－h(m)＋h(－x＋m)－h(m)＝０成立, 又因为h(x)＝ex－e－x＋tex＝(１＋t)ex－e－x, 所以代入整理得:(１＋t)ex＋m－e－x－m－２[(１＋t)em－e－m]＋(１＋t)em－x－ex－m＝０, 即(ex＋e－x－２)[(１＋t)em－e－m]＝０, ７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 又因为ex＋e－x≥２ ex􀅰e－x ＝２,当且仅当x＝０时取等号, 所以ex＋e－x－２不恒为０,则(１＋t)em－e－m＝０, 所以t＝e－２m－１,而e－２m＞０, 所以t＞－１; １０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ②当t＝２时,h(x)＝f(x)＋２ex＝３ex－e－x, 又因为a ３ (h(２x)＋４e－２x)＋f(２x)＋２a－４≥０成立, 【高一数学试题参考答案　第 ６　 页(共７页)】 所以a(e２x＋e－２x)＋e２x－e－２x＋２a－４≥０, ∴a(e２x＋e－２x＋２)≥e－２x－e２x＋４,即a(e４x＋２e２x＋１)≥４e２x－e４x＋１, 所以a(e２x＋１)２≥４e２x－e４x＋１, １２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 令e２x＋１＝n,则e２x＝n－１,(n＞１), 所以an２≥－(n－１)２＋４(n－１)＋１＝－n２＋６n－４, 即a≥ －n２＋６n－４ n２ ,令g(n)＝ －n２＋６n－４ n２ (n＞１), 则a≥g (n)max,而g(n)＝ －n２＋６n－４ n２ ＝－４ ( １ n－ ３ ４ ) ２ ＋ ５ ４≤ ５ ４ , 当且仅当n＝ ４ ３ 时取等号; ∴a≥ ５ ４ ; １６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以a 的取值范围a 的取值范围为a≥ ５ ４． １７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １９．解析:(１)∵２cacosB＋b２－a２＝ １ ４bc , 由余弦定理:２ca􀅰 c２＋a２－b２ ２ac －a ２＋b２＝ １ ４bc⇒c ２＝ １ ４bc⇒b＝４c ３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵b＝４,　 ∴c＝１． ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)在△ABD 中,由正弦定理可得: BD sin∠BAD＝ AB sin∠ADB⇒ BD １－ ( ２１７ ) ２ ＝ １ sin∠ADB⇒ BD ２ ７７ ＝ １ sin∠ADB (１) 在△ADC 中,由正弦定理可得: DC sin∠DAC＝ AC sin∠ADC ,∵DC＝BD,sin∠ADC＝sin∠ADB⇒ BD sin∠DAC＝ ４ sin∠ADB (２) ６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 将(１)、(２)两式相除可得: sin∠DAC＝ ７ １４． 若∠DAC 为钝角,则cos∠DAC＝－ ３ １４ ２１ 在三角形ADC 中,由余弦定理得:AD２＋４２－２×４× ( －３１４ ２１) AD＝DC２＝BD２ 在三角形ABD 中,由余弦定理得:BD２＝１２＋AD２－２×１× ２１ ７ AD 【高一数学试题参考答案　第 ７　 页(共７页)】 ∴AD２＋１６＋ １２ ７ ２１AD＝AD ２＋１－ ２ ２１ ７ AD ⇒１５＝－２ ２１AD⇒AD＜０,显然与已知矛盾． ∴∠DAC 为锐角,∴cos∠DAC＝ １－sin２∠DAC＝ ３ １４ ２１ 又cos∠BAD＝ ２１ ７ ,sin∠BAD＝ ２ ７７． ∴cos∠BAC＝cos(∠BAD＋∠DAC)＝ ２１ ７ × ３ １４ ２１－ ７ １４× ２７ ７ ＝ １ ２ ９ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵∠BAC 为三角形内角,∴∠BAC＝ π ３． １０ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (３)设AG→＝kAD→,AE→＝λAB→,AF→＝μAC →(λ,μ∈(０,１]) ∴|AE→|＝λ,|AF→|＝４μ AD→＝ １ ２AB →＋ １ ２AC →⇒ １ kAG →＝ １ ２λAE →＋ １ ２μ AF→⇒AG→＝ k ２λAE →＋ k ２μ AF→ ∵E、G、F 三点共线,根据三点共线相关结论,得 k ２λ＋ k ２μ ＝１⇒k＝ ２λμ λ＋μ １２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 AG→􀅰EF→＝ (k２AB →＋ k ２AC → ) 􀅰(AF→－AE→) ＝ (k２AB →＋ k ２AC → ) 􀅰(μAC→－λAB→)＝kμ－kλ２＋８kμ－kλ＝９kμ－ ３ ２kλ １３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 S△ABC S△AEF ＝ １ ２ 􀅰|AB→||AC→|􀅰sin∠BAC １ ２ 􀅰|AE→||AF→|sin∠BAC ＝ １ ２×１×４ 􀅰sin∠BAC １ ２ 􀅰λ􀅰４μsin∠BAC ＝ １ λμ ＝５⇒λμ＝ １ ５． １４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴AG→􀅰EF→＝k(９μ－３２λ) ＝ ２ ５ 􀅰 ９μ－ ３ ２λ λ＋μ ＝ ２ ５ 􀅰 ９ ５λ－ ３ ２λ λ＋ １ ５λ ＝ ２ ５× ３ ２× ６ ５λ－λ λ＋ １ ５λ ＝ ３ ５ 􀅰６－５λ ２ ５λ２＋１ ＝ ３ ５ ( －１＋ ７ ５λ２＋１) １５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵λ∈(０,１],而μ＝ １ ５λ∈ (０,１]⇒λ∈ １５ ,１ é ë êê ù û úú １６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴５λ２＋１∈ ６５ ,６ é ë êê ù û úú ⇒－１＋ ７ ５λ２＋１∈ １ ６ ,２９ ６ é ë êê ù û úú ∴AG→􀅰EF→∈ １１０ ,２９ １０ é ë êê ù û úú． １７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 机密★启用前 2025年上学期高一年级期末联考 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟」 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本诚卷和答题卡上。 2回答选择题时，速出每小題答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂，黑，如有改动，用 穆皮擦干净后，再逸涂其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A={x1-7<x3<71,集合B={-3.一2.-1.0,2)，则A∩B= A.{0,21 B.{-1,0} C.-3,-21 D.{-1,0,21 2.已知命题p:3x1c2∈C,使得z1·z:=1十1，则命题p的否定为 A.31,2∈C,使得1·：≠1十 B.3g,、2:任C,使得，·=士，十 C,1,:C,都有1·：=g十 D.V1∈C.都有￥，·y≠，十ye 3已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为厚，则圆锥的表血积为 A.9元 B.65x C.(9十63)x D.(18十i3)m 4,从A队30人，B队20人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人，进行一轮答题竞赛 相关统计情况如下：A队答对题目数的平均数为2，方差为15：B队答对题日数的平均数为1， 方茫为0,4，则这5人答对题日数的方差为 A.1.3 B.1.06 C.0.95 D.D.8 5.已知空间中两条不同的直线m.l和三个不同的平面a8、Y,满足a⊥Y,8⊥Y,a∩B-l,则m∥1 是m⊥Y的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件 【高一数学试题第1页（共4页）】 6,常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制. 已知每局比赛中，若甲先发球，甲获肚的概率为号，否则甲获胜的概率为2第一局由甲先发球。 以后每局由负方先发球各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为 1 B时 c 7△MBC中，角A,B,C的对边分别为a,0c,若6=3，aA=受时，当角C有丙解时，边u的 取值范圆为 A.(07) B.(7,3) C.7,+co) D.(3,+o∞) 8.已知函数f(x) -x3-2x,x≤0 1e',x0 r-4r+3,x>0gx)= 若关于x的方程[g(f(x)]- inr>0 (1+m)g(f(x)+m=0有19个不等实数根，则实数m的取值范围是 A(o.) B(日) C.(0,e) D.(1c） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题月要求，全 部选对的得6分，部分选对得的部分分，有选错的得0分 9.对于任意向量a,b,下列命题中正确的是 A.若a,b满足a<b|,且a,b反向.则a<b B.a·bls≤al·lb C.la+b|≥a+{b D.la-bl≥lal-lbl 10.已知函数fx)=2c0s(or十po>0.p<受)的部分图象如图所示，则 A.w=2 B9=君 cf()=1 2 D把函数y-f:)的图象平移101个单位后关于y销对称，则©的最小值为登 11.在棱长为2的正方体ABCD一A,B,C:D1中，E是棱CC,的中点，则 A,过点E有且只有一条直线与直线AB和A1D1都相交 B,过点E有且只有一个平面与直线AB和AD,所成角相等 C过A,D1,E三点的截面把正方体分成两部分，则该藏面的面积为2 D.点Q是正方形B,BCC,内的动点，A,Q⊥BC,则Q点的轨迹长度是2② 【高一数学试题第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设a∈R,(1一i)(2+ai)为纯虚数，则a= 13.若半径为2的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的体积为 14.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B.C的对边，且cosC+5inC=6+ -,a=4,则 a △ABC同长的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15,13分)已知函数fx)=sim(后+红)十sim(x一看》。 (1)求函数f(x)的单调递增区间： (2)当x∈[0，时，求丽数f:)的最值及相应x的值 16,(15分)2025年世界大学生夏季运动会将于7月16日至7月27日在中国成都举行.随若大运 会的临近，大运会的热度持续提升.为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学 举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直 方图 (1)试根据颜率分布直方图求出这200名学生中成绩低于70分的人数： (2)试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数： (3)若采用分层随机抽样的方法从成绩在[？0,80)，[80,90)，[90,100]的学生中共抽取6人参 加志愿者活动.现从这6人中随机抽取3人分享活动经验，求抽取的3人中至少有1人的成 绩在[80,90)的概率， 组距 0.030 0.02 0.020 0.01e 0.010 0.002“ 0V405060708090100成绩 【高一数学试题第3页（共4页）】 17.(15分)如图三棱柱ABC一DEF中，侧而ACFD⊥底面ABC,底面三角形ABC不是直角三角 形，AB⊥BE. (1)求证：三棱柱ABC一DEF的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积： (2)若底面ABC为正三角形，AB=AD-2,P为线段BF上一动点，且满足四棱锥P一ACFD 的体积为2 ,求平面PAB与平面ABC所成二面角的正切值. 18.(17分)定义在定义域D上的函数f(x),若存在实数m,使得f(x+m)一f(m)为偶函数，则 称函数f(x)为，型函数：若存在实数m,使得f(x十m)-f(m)为奇函数，则称函数f(x)为 22型函数 (1)已知f(x)的定义域为R,且∫(x)的图象关于直线x=a对称.证明：f(x)为2：型函数： (2)若f(x)=e一e,M(x)=f(x+te,且h(x)为型函数. ①证明：t>一1： ②若1=2，对于Vx∈R,g[h(2x)十4e]十f(2x)+2a-4≥0，求a的取值范围. 19,(17分)如图，设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为BC边上的中线，b=4且 2cacoB+0BAD- 7 (1)求边c的长度： (2)求∠BAC: (3)设E,F分别为边AB,AC上的动点，线段EF交AD于G,且△AEF的面积为△ABC面 积的号，求AG·E乎的取值范围。 【高一数学试题第4页（共4页）】