辽宁省部分校2024-2025学年高二下学期6月联考数学试题

辽宁省2025年6月联考高二数学试题 注意事项: 1.答卷 ,考生 必用黑 字迹的钢笔或签字笔 自己的姓 考生号,试室号, 号 写在答题 卡上。用 2B铅笔 试卷类型 考生号 在答题卡相 置上。 2. 择题每 题 出答案 ,用 2B铅笔把答题卡上对 的题目 项的答案信息点 黑;如需 ,用 橡皮擦 净 ,再 其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非 择题必须用黑 字迹的钢笔或签字笔 答,答案必须写在答题卡 题目 定区域内相 置 上;如需 ,先 原来的答案,然 再写上 的答案,不准 用铅笔 。不 以上要 答的答 案无 。 一、单 题: 题共 8 题,每 题 5 ,共 40 ,每 题只 一个 项符 要 1. 据 类变 x与 y的成对 数据,计算得 2= 8.988. 据 = 0.001的独 性 验,正 的结论为 ( :x0.01= 6.635,x0.005= 7.879,x0.001= 10.828) A. 变 x与 y不独 B. 变 x与 y不独 ,这个结论犯错误的概 不超过 0.001 C. 变 x与 y独 D. 变 x与 y独 ,这个结论犯错误的概 不超过 0.001 2.某 一个课外学习 组为 某 物种子的发 y 温 x(单 :  C)的关系, 20个不 的温 件下进行种子的发 实验,由实验数据 (xi , yi) (i= 1 , 2 ,⋯, 20)得 下面的散点图: 由此散点图, 10   C至 40   C之间,下面四个回归方 类 中 宜 为发 y 温 x的回归方 类 的 A. y= a+ bx B. y= a+ bx2 C. y= a+ bex D. y= a+ blnx 3.已知数 3, 5, 7,3, 11,⋯, 2n+1,⋯, 51 这个数 的 A. 第 12项 B. 第 13项 C. 第 24项 D. 第 25项 4.数 an 的 项公式为 an=n2+ kn, “k≥-2” “ an 为 增数 ”的 A. 充 不必要 件 B. 必要不充 件 C. 既不充 也不必要 件 D. 充要 件 5.两 学课 一种类 于古代印 的“ 塔游戏”: 3 柱子甲、乙、丙,甲柱上 n(n≥ 3)个盘子, 上面的两个盘子大 相 ,从第二个盘子往下大 不等,大的 下, 的 上 (如图).把这n个盘子从甲 柱全部移 乙柱游戏结 , 移 的过 中每次只能移 一个盘子,甲、乙、丙 3 柱子都可以 用,且 3 柱子上的盘子始终保持 的盘子不能放 大的盘子之下.设游戏结 需要移 的 次数为 an, 当n≥ 3时,an an+1满足的关系式 A. an+1= 4an- 3n B. an+1= 4an- 1 C. an+1= 2an+ 1 D. an+1= 2an+n 6.若函数 f x = 12 x 2- 2x- 3lnx, 函数 f x 的单 减区间为 A. (-∞ ,-1) ∪ (3 ,+∞) B. -1,3 C. (0 , 3) D. 3,+∞ 7.设函数 f x = lnx x ,x≥1 - x-1 3,x<1 ,若关于 x的方 [ f(x)] 2+mf(x) - 1-m= 0恰好 4个不相等的实数 解, 实数m的取 围 A. -1, 1e -1 B. -1- 1 e ,-1 C. 1, 1 e +1 D. 0, 1 e 8.若m∈R,函数 f(x) = 12 x 2- x+mlnx 两个 点 x1,x2(x1< x2), m x1x2+x22 的 大 为 A. 227 B. 4 27 C. 6 27 D. 8 27 二、多 题: 题共 3 题,每 题 6 ,共 18 。 每 题给出的四个 项中, 多项符 题目要 。全 部 对的得 6 ,部 对的得部 , 错的得 0 。 9.已知由 数据点 (x1 , y1),(x2 , y2),⋯,(xn , yn) 得的回归直线方 为 y = 1.5x+ 0.5,且 x = 3, 发 两个数据点 (1.3 , 2.1) (4.7 , 7.9)的误差较大, 新 得的回归直线的斜 为 1.2, A. 变 x y具 负相关关系 B. y 不变 C. 的回归直线方 为 y = 1.2x+ 1.4 D. 对 于 数据点 (2 , 3.75)的残差为 0.05 10.已知数 {an}满足 a1= 3,an+1= 1- 1an ,记数 {an}的 n项 为Sn, A. a2= 32 B. S3n+1-S3n=- 1 2 C. anan+1an+2=-1 D. S19= 22 11.已知函数 f(x) = x 2-1 x2+1 ,g(x) = e f(x), 以下结论不正 的 A. f 12025 f 1 2024 ⋅⋯⋅ f(1) ⋅ f(2) ⋅⋯⋅ f(2025) = 1 B. g 12025 g 1 2024 ⋅⋯⋅ g(1) ⋅ g(2) ⋅⋯⋅ g(2025) = 1 C. 若 af '(a) = bf '(b),且 a≠ b, ab= 1 D. 若 ag'(a)g(b) = bg'(b)g(a),且 a≠ b, ab= 1 三、填 题: 题共 3 题,每 题 5 ,共 15 12.记Sn为等差数 an 的 n项 ,若 a1=-2 , a2+ a6= 2, S10= . 13.给出下 题: ①实验测得四组数据 (x , y)的 为 (1 , 2.1),(2 , 2.8),(3 , 4.1),(4 , 5), y与 x的回归直线方 为 y= 2x+ 1 ; ②函数 f(x) = 2sin 3x- 4 的图 右 移 4 个单 长 ,得 函数 g(x) = 2sin   3x的图 ; ③当 x∈ [0 , 1]时,函数 y= x 1-x2的 大 为 12 ; ④ 函数 f x 的图 经过点A 4,2 , 它 A点处的 线方 为 x- 4y+ 4= 0. 其中正 题的 号 . 14.对函数 f(x) = 3x 如下 :先 x轴找 始点P1(x1 , 0),然 f(x) 点Q1(x1 , f(x1))处的 线, 线 与 x轴交于点P2(x2 , 0),再 f(x) 点Q2(x2 , f(x2))处的 线, 线与 x轴交于点P3(x3 , 0),再 f(x) 点Q3(x3 , f(x3))处的 线, 次类推. 已知 始点为P1(0 , 0),若按上述过 , x3= ,所 得 PnQnPn+1的面积为 .(用 n的代数式表示) 四、解答题: 题共 5 题,共 77 ,解答 写出文字说 ,证 过 或 算步骤 15.某学生兴趣 组 查了某 100天中每天的 质 等级 当天 某公园锻炼的人次,整理数据得 下表 (单 :天): 锻炼人 次 质 等级 [0 , 200] (200 , 400] (400 , 600] 1( ) 2 16 25 2( ) 5 10 12 3(轻 染) 6 7 8 4(中 染) 7 2 0 (1) 计该 一天的 质 等级为 1,2,3,4的概 ; (2) 一天中 该公园锻炼的 人次的 计 ( 一组中的数据用该组区间的中点 为代表); (3)若某天的 质 等级为 1或 2, 称这天“ 质 好”;若某天的 质 等级为 3或 4, 称这天 “ 质 不好”. 据所给数据,完成下面的 2 2 联表, 据 联表, 断 95%的把握认为 一天中 该公园锻炼的人次与该 当天的 质 关? 人次≤ 400 人次> 400 质 好 质 不好 : 2= n(ad-bc) 2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , P( 2≥ k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16.已知数 an 的首项 a1= 35 ,且满足 an+1= 3an 2an+1 . (1) 证:数 1an -1 为等比数 ; (2)若 1a1 + 1a2 + 1a3 + ...+ 1an < 100, 满足 件的 大整数n. 17.已知 x= 3 函数 f(x) = aln(1+ x) + x2- 10x的一个 点. (1) 实数 a的 ; (2) 函数 f(x)的单 区间; (3)若直线 y= b与函数 y= f(x)的图 3个交点, 实数 b的取 围. 18.已知数 {an},{bn},{cn}满足 a1= b1= c1= 1,cn+1= an+1- an,cn+1= bn bn+2 ⋅ cn(n∈N *). (1)若 {bn}为等比数 ,公比 q> 0,且 b1+ b2= 6b3, q的 及数 {an}的 项公式;(2)若 {bn}为等差 数 ,公差 d> 0,证 :c1+ c2+ c3+⋯+cn< 1+ 1d ,n∈N *. 19. 几 学中,我们 用曲 画曲线的弯曲 .设光滑连续曲线C:y= f(x),定义K= | f (x)| 1+ f (x) 2 3 2 为曲线C 点A(x , f(x))处的曲 ,其中 f (x)为 f(x)的导函数,f (x)为 f (x)的导函 数.已知曲线C:f(x) = (3- x)ex- m2 x 2(m∈R). (1)当m= 0时, 曲线C 点A(0 , f(0))处的曲 ; (2)已知曲线C 不 的两点M (x1 , f(x1)),N (x2 , f(x2))处的曲 为 0. ① 实数m的取 围; ②证 :x1+ x2<m 1- 1e . 辽宁省2025年6月联考高二数学试题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D A C C B B BC CD ACD 12.25 13. ③④ 14. - 2ln3 ; log9e en-1 15. 解:(1) 质 等级为 1的概 为P= 2+16+25100 = 43 100 ; 质 等级为 2的概 为P= 5+10+12100 = 27 100 ; 质 等级为 3的概 为P= 6+7+8100 = 21 100 ; 质 等级为 4的概 为P= 7+2100 = 9 100 ; (2)一天中该公园锻炼的 人次的 计 为 100 2+5+6+7100 + 300 16+10+7+2 100 + 500 25+12+8 100 = 350; (3) 人次≤ 400 人次> 400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 2= 100(33 8-22 37) 2 (33+22)(33+37)(22+8)(37+8) ≈ 5.82> 3.841, 95%的把握认为一天中 该公园锻炼的人次与该 当天的 质 关. 16. 证 :(1) ∵ an+1= 3an 2an+1 , ∴ 1an+1 = 23 + 1 3an , ∴ 1an+1 - 1= 13 1 an -1 , ∵ a1= 35 , ∴ 1a1 - 1= 23 , ∴ 1an -1 为以 2 3 为首项,以 1 3 为公比的等比数 ; (2)由 (1)知 1an - 1= 23 1 3 n-1 , ∴ 1an = 2 13 n + 1, ∴Sn= 1a1 + 1a2 +⋯+ 1an =n+ 2 13 + 1 32 +⋯+ 1 3n =n+ 2 1 3 - 1 3n+1 1- 13 =n+ 1- 1 3n , ∵Sn< 100, ∴Sn=n+ 1- 13n < 100, 因为函数 y=n+ 1- 1 3n 单 增, ∴ 大整数n为 99. 17. 解:(1)因为 f ' x = a1+x + 2x- 10, 所以 f ' 3 = a4 + 6- 10= 0, 因此 a= 16, f(x) = 16ln(1+ x) + x2- 10x,x∈ (-1 ,+∞),f ' x = 2 x2-4x+3 1+x = 2 x-1 x-3 1+x , 可得 f '(x) x= 3两边异号,即 x= 3 函数 f(x) = 16ln(1+ x) + x2- 10x的一个 点, 故 a= 16. (2)由 (1)知,f ' x = 2 x-1 x-3 1+x ,x∈ (-1 ,+∞), 当 x∈ (-1 , 1) ∪ (3 ,+∞)时,f '(x)> 0, 当 x∈ (1 , 3)时,f '(x)< 0, 所以 f(x)的单 增区间 (-1 , 1),(3 ,+∞),f(x)的单 减区间 (1 , 3); (3)由 (2)知,f(x) (-1 , 1)内单 增, (1 , 3)内单 减, (3 ,+∞)上单 增,且当 x= 1或 x= 3 时,f '(x) = 0, 所以 f(x)的 大 为 f(1) = 16ln2- 9, 为 f(3) = 32ln2- 21. 因为 f(16)> 162- 10 16> 16ln2- 9= f(1),f(e-2- 1)<-32+ 11=-21< f(3), 所以要 直线 y= b与函数 y= f(x)的图 3个交点, f(x)的三个单 区间 (-1 , 1),(1 , 3),(3 ,+∞)内,直线 y= b与 y= f(x)的图 一个交点, 当且仅当 f(3)< b< f(1), 因此,b的取 围为 (32ln2- 21 , 16ln2- 9). 18. (1)解:由题意,b2= q,b3= q2, ∵ b1+ b2= 6b3,∴ 1+ q= 6q2, 整理,得 6q2- q- 1= 0, 解得 q=- 13 ( 去),或 q= 1 2 , ∴ cn+1= bn bn+2 ⋅ cn= 1bn+2 bn ⋅ cn= 1q2 ⋅ cn= 11 2 2 ⋅ cn= 4 ⋅ cn, ∴数 {cn} 以 1为首项,4为公比的等比数 , ∴ cn= 1 ⋅ 4n-1= 4n-1,n∈N *. ∴ an+1- an= cn+1= 4n, a1= 1, a2- a1= 41, a3- a2= 42, ⋯⋯ an- an-1= 4n-1,(n≥ 2 ,n∈N *), 项相 ,可得n≥ 2,n∈N *时, an= 1+ 41+ 42+⋯+4n-1= 1-4 n 1-4 = 4n-1 3 , 当n= 1时代入 , ∴ an= 4 n-1 3 . (2)证 : 题意,由 cn+1= bn bn+2 ⋅ cn(n∈N *),可得 bn+2 ⋅ cn+1= bn ⋅ cn, 两边 时乘以 bn+1,可得 bn+1bn+2cn+1= bnbn+1cn, ∵ b1b2c1= b2= 1+ d, ∴数 {bnbn+1cn} 一个 数 ,且此 数为 1+ d, bnbn+1cn= 1+ d, ∴ cn= 1+dbnbn+1 = 1+d d ⋅ d bnbn+1 = 1+ 1 d ⋅ bn+1-bn bnbn+1 = 1+ 1 d 1 bn - 1 bn+1 , ∴ c1+ c2+⋯+cn= 1+ 1d 1 b1 - 1 b2 + 1+ 1 d 1 b2 - 1 b3 +⋯+ 1+ 1 d 1 bn - 1 bn+1 = 1+ 1 d 1 b1 - 1 b2 + 1 b2 - 1 b3 +⋯+ 1 bn - 1 bn+1 = 1+ 1 d 1 b1 - 1 bn+1 = 1+ 1 d 1- 1 bn+1 < 1+ 1 d , ∴ c1+ c2+⋯+cn< 1+ 1d ,故得证. 19. 解:(1)当m= 0时,f (x) = (2- x)ex,f (x) = (1- x)ex, 所以 f (0) = 2,f (0) = 1, 故曲线C 点A(0 , f(0))处的曲 K= 1 (1+22) 3 2 = 525 , (2)f (x) = (1- x)ex-m,由题意可知,f (x1) = f (x2) = 0, 方 (1- x)ex=m 两个 x1,x2, 设 g(x) = (1- x)ex, g (x) =-xex, 当 x∈ (-∞ , 0)时,g (x)> 0,当 x∈ (0 ,+∞)时,g (x)< 0, 所以 g(x) (-∞ , 0)上单 增, (0 ,+∞)上单 减. 又 x -∞时,g(x) 0,g(1) = 0,且 g(x)max= g(0) = 1, ①由题可知,直线 y=m与函数 g(x)的图 两个不 的交点, 所以 0<m< 1, 故实数m的取 围为 (0 , 1). ②证 :由上可知,0<m< 1,不妨设 x1< 0< x2< 1. 下面证 :当 x∈ (0 , 1),g(x)<-ex+ e, 设 h(x) = (1- x)ex+ ex- e , x∈ (0 , 1), h (x) =-xex+ e, 令 (x) = h (x) =-xex+ e(0< x< 1), (x) =- (x+ 1)ex< 0,所以 (x) (0 , 1)上单 减, h (x)> h (1) = 0,所以 h(x) (0 , 1)上单 增,且 h(x)< h(1) = 0, 即 (1- x)ex+ ex- e< 0,故 x∈ (0 , 1),g(x)<-ex+ e. 设点 x3,m 直线 y=-ex+ e上, m=-ex3+ e,即 x3= 1- me , 所以-ex2+ e> g(x2) =m=-ex3+ e, 即 x2< x3= 1- me , 要证 x1+ x2<m 1- 1e ,需证 x1+ x2< x1+ 1- m e <m 1- 1 e , 需证 x1<m- 1, 又 (1- x1)ex1-m= 0,只需证 x1<(1- x1)ex1- 1,即证 (1- x1)ex1- x1- 1> 0(x1< 0). 令F(x) = (1- x)ex- x- 1> 0(x< 0), F (x) =-xex- 1, 令P(x) =-xex- 1(x< 0), P (x) =- (x+ 1)ex, 当 x<-1时,P (x)> 0,P(x)单 增,当-1< x< 0时,P (x)< 0,P(x)单 减, 所以P(x)≤P(-1) = 1e - 1< 0,即F (x)< 0, 所以F(x) (-∞ , 0)上单 减,所以F(x)>F(0) = 0成 , 故 x1+ x2<m 1- 1e .