精品解析：湖南省永州市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2025年上期义务教育阶段期末考试 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡，考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效、考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26小题，如有缺页，考生须声明． 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，请将正确选项填涂到答题卡上） 1. 中国航天事业取得了举世瞩目的成就，2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，在“东方红一号”发射55载之际开启第20次神舟问天之旅．下列航天图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某点旋转后，能与原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形，解决本题的关键就是根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：把图形绕任何一点旋转都不能与原图形重合，该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：把图形绕任何一点旋转都不能与原图形重合，该图形不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把图形绕任何一点旋转都不能与原图形重合，该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，把图形绕点旋转能与原图形重合，该图形是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中轴对称的变化规律． 根据关于轴对称的点的坐标变换规律，横坐标取相反数，纵坐标不变判断即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：D． 3. 如图，是的平分线，于点，点到的距离为5，，的面积为（ ） A. 30 B. 60 C. 78 D. 39 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．过点P作于E，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于E，   ∵是的平分线，，， ∴， ∴的面积为 故选：A． 4. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ） A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 5. 一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（ ） A. 内角和增加 B. 内角和增加 C. 对角线增加一条 D. 外角和增加 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征．熟练掌握多边形的内角和公式和外角和是，是解决问题的关键． 根据多边形的内角和公式，外角和不变，逐一判断解题． 【详解】解：多边形的外角和为，不发生变化； 多边形的内角和，故增加， 故选：B． 6. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形与矩形的性质可直接进行排除选项． 【详解】解：菱形的性质有：对边平行且相等，对角线互相平分且垂直且平分一组对角，四条边相等，对角相等，邻角互补； 矩形的性质有：对边平行且相等，对角线相等且平分，四个角为直角， ∴只有D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查菱形与矩形的性质，熟练掌握菱形与矩形的性质是解题的关键． 7. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故选：D． 8. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，掌握的图象与系数的关系是解题的关键．当，时，图象过一、二、三象限，当，时，图象过一、三、四象限，当，时，图象过一、二、四象限，当，时，图象过二、三、四象限．由条件得出，再由一次函数图象与系数的关系可得出结论． 【详解】解：由正比例函数的函数值随的增大而增大，可知， 则， 因为， 所以一次函数的图象大致为过一、三、四象限的一条直线， 故选：B． 9. 如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，的面积为15，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，连接，先证明垂直平分，即，进而可得，再根据，问题得解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形，对角线， ∴，， ∵， ∴垂直平分，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 在平行四边形中，为的中点，点，为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线与交于点，的延长线与交于点．下面四个推断：①；②；③若平行四边形是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的平行四边形，可能存在无数个四边形是矩形，其中，所有结论中错误的有（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，菱形的性质及判定，矩形的判定；解题关键是熟练掌握平行四边形及特殊四边形的性质和判定，动态问题可以通过分类讨论以及数形结合思想来解决． 由题意，先证和全等，从而可得，同理可证，进而可证四边形是平行四边形，则①和②均可判定； 对于③，根据四边形是菱形，可比较与的大小，进而可判定； 对于④，根据已证的四边形是平行四边形及矩形的判定定理，可判定． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 同理得， ∴四边形是平行四边形， ∴，但与不一定相等，故①错误，②正确； 若四边形是菱形， 则， ∴， ∵点，为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合）， ∴， ∴不存在四边形是菱形，故③错误； 由题意知存在，则， ∴可能存在无数个四边形是矩形，故④正确； 综上所述，以上结论错误的是①③， 故选：． 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卷的答案栏内） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_________ 【答案】≠1的一切实数 【解析】 【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：x-1≠0， 解得：x≠1． 故答案为x≠1． 【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 已知和是函数上的点且，则与的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，掌握对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键． 根据得到随的增大而减小，继而即可求解． 【详解】解：∵函数中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，菱形的周长是20，对角线相交于点是的中点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可先求得菱形的边长，再由三角形中位线定理可求得OE的长． 【详解】∵菱形的周长是20， ∴AB==5，且O为BD的中点， ∵E为AD的中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE=AB=， 故答案为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及三角形的中位线定理，掌握菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分及三角形的中位线定理是解题的关键． 14. 如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行作答即可． 【详解】解：要使成为矩形，，需要添加的条件是，理由如下： ∵四边形是平行四边形，， ∴为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，直线分别与轴，轴交于点，将绕着点顺时针旋转90°得到，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形变化—旋转. 先根据一次函数解析式得到，则，再由旋转的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，即， 故答案为：． 16. 如图，直线与直线交于点，当______时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两条直线的交点与一元一次不等式，数形结合是解题的关键；，从数来看自变量x取何值时，函数值大于函数值；从图来看，表明直线位于直线的上方；为此只要观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象知，当时， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，分别平分和．点在线段上．若，，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握此性质是解题的关键；过点C作于点F，由角平分线的性质定理得，由即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F， ∵分别平分和， ∴，， ∴， 即分别平分， ∴， ∴， 故答案为：3． 18. 与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为．若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：是偶函数，是奇函数．已知函数是奇函数，当时，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数值．根据奇函数的定义可得，将代入求出，从而求出即可． 【详解】解：∵是奇函数， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，， （1）关于轴对称的图形为，请作出； （2）点、的坐标分别为：______、______； （3）请作出关于点成中心对称的图形． 【答案】（1）如图： （2）， （3）如图： 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中关于轴对称以及中心对称，熟练掌握画图是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征画出图形； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出坐标； （3）根据关于点成中心对称画出图形； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，； 【小问3详解】 略 20. 某校八年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将成绩绘制成了如下不完整的频数分布表和频数直方图： 成绩 频数（人数） 频率 5 0.1 10 0.2 20 0.4 0.2 5 （1）求频数分布表中和的值； （2）将频数直方图补充完整； （3）成绩不低于80分为优秀，该班本次数学考试的优秀率是多少？ 【答案】（1）； （2） 补充的频数分布直方图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，频数、频率与总数的关系，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是关键． （1）由成绩位于间的频数与频率可求得抽取的总人数，由总人数减去已知的人数，可求得a的值；利用由频数除以总数，可求得b的值； （2）补充完整频数分布直方图即可； （3）求得成绩不低于80分所占的百分比，作为该班的优秀率． 【小问1详解】 解：，则；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：； 即该班本次数学考试的优秀率是． 21. 如图，在中，为上一点，为延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若平分，求的长． 【答案】（1） 证明：延长交于， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的锐角互余以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）延长交于，根据题意证明，即可得到结论； （2）过点作，交于点，由角平分线的性质得到，证明，利用勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，交于点． 平分， ， ， ， 中，， ． 22. 某中学计划组织八年级同学去永州市道县参观陈树湘红色文化园．现打算租用两种型号的车，已知租用2台中型客车和3台小车每天共需3100元租金；租用3台中型客车和4台小车每天共需4400元租金． （1）求租用1台中型客车和1台小车每天各需要多少租金？ （2）计划租用两种型号的车共10辆，其中中型客车的数量不少于小车数量的一半，应怎样安排租车方案可以使得租车总费用最少？最少租车总费用是多少？ 【答案】（1）租用1台中型客车每天需要800元租金，租用1台小车每天需要500元租金 （2）当租用小车6台，则租用中型客车4台时总费用最少，最少租车总费用是6200元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，根据题中数量关系列出方程、不等式及函数式是解题的关键． （1）设租用1台中型客车每天需要元租金，租用1台小车每天需要元租金，根据等量关系：租用2台中型客车和3台小车每天共需3100元租金；租用3台中型客车和4台小车每天共需4400元租金，列出二元一次方程组，并解方程即可； （2）设租用小车台，则租用中型客车台，设总费用为元，根据中型客车的数量不少于小车数量的一半，得到不等式，求得m的取值范围；求出关于m的关系式，利用一次函数的性质即可求得最少总费用． 【小问1详解】 解：设租用1台中型客车每天需要元租金，租用1台小车每天需要元租金， 则， 解得， 答：租用1台中型客车每天需要800元租金，租用1台小车每天需要500元租金． 【小问2详解】 解：设租用小车台，则租用中型客车台，设总费用为元， 由题意得：， 解得， ， ， 随的增大而减小， 当时，（元）， 答：当租用小车6台，则租用中型客车4台时总费用最少，最少租车总费用是6200元． 23. 如图，矩形中，点为边上任意一点，连结，点为线段的中点，过点作与、分别相交于点、，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ，； 为的中点， ； 在和中， ， ， ； ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质易证明，则有；再由可得四边形为平行四边形；结合，即可证明四边形为菱形； （2）由菱形的性质得；在中利用勾股定理求得的长，再由即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用菱形的判定与性质是解题的关键． 24. 文昌宝塔位于湖南祁阳市的湘江东岸万卷书岩上，始建于明万历元年，后被毁，清朝乾隆九年重修．砖石结构，共七级，每级共8门，台边缘堞垛翅角，并望有石龙，口含铜铃，石阶曲折，门楣及各处神龛均有浮雕．数学兴趣小组的同学们想利用测角仪（高度可忽略不计）和卷尺求文昌塔的高度．点（塔底部中心）、、在同一条直线上，当测角仪放在处时测得塔顶部的仰角为，测角仪往前移动42.4米到达点，在处测得顶部的仰角为．求文昌塔的高度（结果精确到0.01米，参考数据：）． 【答案】文昌塔的高度约为36.68米 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求出米，再由30度角的性质求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】由题意得米， 则， ∴， ∴米， 在中，， ， 米． 中， （米） 答：文昌塔的高度约为36.68米． 25. 【新知学习】已知线段的中点为，点、点的坐标分别为，则的中点的坐标为 【问题探究】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段的中点．点为的中点，，连接． （1）点坐标为______，点坐标为______； （2）求直线的函数表达式； （3）点在轴上，点在直线上，是否存在以点为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）的坐标为或 【解析】 【分析】（1）在中，分别令、即可求解； （2）依题意求得C、D两个点的坐标，由待定系数法即可求得直线的函数表达式； （3）由题意求得点E的坐标，设，；分三种情况：①若为平行四边形的对角线；②若为平行四边形的对角线；③若为平行四边形的对角线；利用平行四边形对角线的交点是两对角线的中点，列出方程组即可求解． 【小问1详解】 解：在中，令， 解得，则； 令，则，故； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵点为的中点，且， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， 把C、D两点坐标分别代入得， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：∵点是线段的中点，且，； ∴； ∵点在轴上，点在直线上， ∴设，； ①若为平行四边形的对角线， 则，解得：， ∴； ②若为平行四边形的对角线， 则，解得：， ∴； ③若为平行四边形的对角线， 则，解得：， ∴； 综上，的坐标为或． 【点睛】本题考查了求直线与坐标轴交点，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，解二元一次方程组，中点坐标公式等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 26. （1）如图1，在菱形中，对角线、相交于点，且，在线段上任取一点（端点除外），连接、． ①求证：； ②将线段绕点顺时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由． （2）进一步探究．如图2，将菱形换成正方形，其他条件不变，试探究与的数量关系． 【答案】 （1）①证明：四边形是菱形， ， ∴是的垂直平分线， ． ②证明：， ， ∴ ， 又， ， ， ， 又， ， 四边形是菱形， （2） 【解析】 【分析】本题考查四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形的判定和性质，性质以及垂直平分线等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． （1）①证明是的垂直平分线，即可解答； ②先证明，，则可推导出，，由菱形的对边平行，可得，即可解答． （2）过点作交于点，交于点，过点作交于点，过点作交于点． 先证明四边形是矩形，，可得， 由②同理，可得，继而推导出，在中，由勾股定理可得，则，即可解答． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）数量关系为． 过点作交于点，交于点． 过点作交于点，过点作交于点． 四边形是正方形， ， 又， 四边形是矩形，， ． 由②同理，可得， 又， ， ， 中，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上期义务教育阶段期末考试 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡，考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效、考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26小题，如有缺页，考生须声明． 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，请将正确选项填涂到答题卡上） 1. 中国航天事业取得了举世瞩目的成就，2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，在“东方红一号”发射55载之际开启第20次神舟问天之旅．下列航天图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的平分线，于点，点到的距离为5，，的面积为（ ） A. 30 B. 60 C. 78 D. 39 4. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ） A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米 5. 一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（ ） A. 内角和增加 B. 内角和增加 C. 对角线增加一条 D. 外角和增加 6. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 7. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，的面积为15，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 10. 在平行四边形中，为的中点，点，为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线与交于点，的延长线与交于点．下面四个推断：①；②；③若平行四边形是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的平行四边形，可能存在无数个四边形是矩形，其中，所有结论中错误的有（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卷的答案栏内） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_________ 12. 已知和是函数上的点且，则与的大小关系为______． 13. 如图，菱形的周长是20，对角线相交于点是的中点，则________． 14. 如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是________． 15. 如图，直线分别与轴，轴交于点，将绕着点顺时针旋转90°得到，则点的对应点的坐标是______． 16. 如图，直线与直线交于点，当______时，． 17. 如图，在四边形中，分别平分和．点在线段上．若，，则的长是______． 18. 与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为．若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：是偶函数，是奇函数．已知函数是奇函数，当时，，那么______． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，， （1）关于轴对称的图形为，请作出； （2）点、的坐标分别为：______、______； （3）请作出关于点成中心对称的图形． 20. 某校八年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将成绩绘制成了如下不完整的频数分布表和频数直方图： 成绩 频数（人数） 频率 5 0.1 10 0.2 20 0.4 0.2 5 （1）求频数分布表中和的值； （2）将频数直方图补充完整； （3）成绩不低于80分为优秀，该班本次数学考试的优秀率是多少？ 21. 如图，在中，为上一点，为延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若平分，求的长． 22. 某中学计划组织八年级同学去永州市道县参观陈树湘红色文化园．现打算租用两种型号的车，已知租用2台中型客车和3台小车每天共需3100元租金；租用3台中型客车和4台小车每天共需4400元租金． （1）求租用1台中型客车和1台小车每天各需要多少租金？ （2）计划租用两种型号的车共10辆，其中中型客车的数量不少于小车数量的一半，应怎样安排租车方案可以使得租车总费用最少？最少租车总费用是多少？ 23. 如图，矩形中，点为边上任意一点，连结，点为线段的中点，过点作与、分别相交于点、，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，当时，求的长． 24. 文昌宝塔位于湖南祁阳市的湘江东岸万卷书岩上，始建于明万历元年，后被毁，清朝乾隆九年重修．砖石结构，共七级，每级共8门，台边缘堞垛翅角，并望有石龙，口含铜铃，石阶曲折，门楣及各处神龛均有浮雕．数学兴趣小组的同学们想利用测角仪（高度可忽略不计）和卷尺求文昌塔的高度．点（塔底部中心）、、在同一条直线上，当测角仪放在处时测得塔顶部的仰角为，测角仪往前移动42.4米到达点，在处测得顶部的仰角为．求文昌塔的高度（结果精确到0.01米，参考数据：）． 25. 【新知学习】已知线段的中点为，点、点的坐标分别为，则的中点的坐标为 【问题探究】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段的中点．点为的中点，，连接． （1）点坐标为______，点坐标为______； （2）求直线的函数表达式； （3）点在轴上，点在直线上，是否存在以点为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. （1）如图1，在菱形中，对角线、相交于点，且，在线段上任取一点（端点除外），连接、． ①求证：； ②将线段绕点顺时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由． （2）进一步探究．如图2，将菱形换成正方形，其他条件不变，试探究与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $