第1讲 集合与逻辑用语- 《温故知新》2025-2026学年高一数学上学期暑假复习课（人教A版2029必修第一册）

第1讲 集合与逻辑用语 考点一 集合 【例1-1】（24-25高一上·四川成都·期末）（多选）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B．的子集个数为8 C． D． 【答案】BC 【解析】由题设且子集有个，B对， 又，则，A、D错； 由，则，C对； 故选：BC 【例1-2】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）（多选）已知全集，集合，，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为，且， 所以，， ，故A错误；，故B错误； ，故C正确；，故D正确. 故选：CD 【例1-4】（24-25高一上·四川内江·期末）（多选）已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为集合中的元素都是有序实数对（点）， 所以，的运算结果均为点的集合， 所以，都是错误的，即AC错误； 对B：因为方程组无解，所以正确，即B正确； 对D：因为， 又，所以，故正确，即D正确. 故选：BD 【例1-4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由图可知，是的子集，故A正确；不是的子集，故B错误；是的子集，故C正确； 不是的子集，故D错误；故选：AC 【变式】 1．（24-25高一上·浙江台州·期中）（多选）设集合，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，，， 对于A选项，，则，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，则，D错. 故选：BC. 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）已知全集，集合，，则（    ） A．. B． C．. D． 【答案】AB 【解析】因为全集，集合，， 所以或，， ，， 所以，，， ，故选项AB正确，CD错误. 故选：AB 3．（24-25高一上·甘肃庆阳·阶段练习）（多选）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由，解得，所以，所以，A错误； 因为，所以，B错误； 因为，所以，C正确；， 所以，D正确；故选:CD. 4．（24-25高一上·江苏南通·期末）（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确； 还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确； 也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确. 故选：ABD 考点二 充分、必要条件 【例2-1】（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，得或，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【例2-2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以解得，即不等式的解集为， 由题意可知，选项对应的集合应为的真子集. 对于选项A ，因为 ，即是的必要不充分条件，故A错误； 对于选项B，因为，即是的充要条件，故B错误； 对于选项C，因为，即是充分不必要条件，故C正确； 对于选项D，因为与不存在包含关系，即是的既不充分也不必要条件，故D错误.故选：C 【变式】 1．（24-25广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解不等式，得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知，那么使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得，即命题， 对于A，是成立的充要条件，A不是； 对于B，是成立的必要不充分条件，B不是； 对于C，是成立的充分不必要条件，C是； 对于D，是成立的不充分不必要条件，D不是. 故选：C 3．（2025·广西桂林）“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 考点三 集合相关的求参数 【例3-1】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）（多选）设集合，若满足，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【解析】，因为， 当时，，满足要求， 当时，，当时，， 综上，或或. 故选：ABC 【例3-2】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）（多选）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 【例3-3】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）（多选）集合，，集合，若，则以下的取值满足题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】，，，则， 又，，解得.故选：ABC. 【变式】 1．（24-25高一上·甘肃天水·期末）（多选）已知集合，若，则a的值可以为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BD 【解析】若，则，则，满足题设； 若，则或， 当，则，满足题设； 当，此时集合不符合元素的互异性，舍； 所以或. 故选：BD 24．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（多选）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【解析】∵， 又∵，∴ 所以当时，此时；当时，此时； 当时，此时；时，此时不存在； 综上可得：实数a的值可以是， 故选：ABC. 3．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AD 【解析】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以或，故错误； 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故错误； 因为，所以或， 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故正确. 故选： 考点四 充分、必要条件求参数 【例4-1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由或，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 故选：C. 【例4-2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设，则关于的不等式有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由有解，可知：，解得，记， 由关于的不等式有解的一个充分不必要条件是的真子集， 所以在四个选项中只有满足， 故选：A. 【变式】 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）（多选）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【解析】， 由“”是“”的充分不必要条件，可得：是的真子集， 所以， 故选：BCD 2．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，． (1)是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在 (2) 【解析】（1）解集合， 若是的充要条件，则 由，可得， 又，可得，即 此时的值不能同时满足和 不存在实数使是的充要条件 （2）若是的充分不必要条件，则 分两种情况讨论： ①当时，此时，解不等式得，此时满足，所以； ②当时，此时， 解不等式，即， 解不等式，即， 综合可得， 综上所述，实数的取值范围是 考点五 含有量词的求参数 【例5-1】（2025云南昭通·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】则，即函数的图象恒在x轴上方， 则其判别式，则. 故选：B 2．（24-25高一上·云南曲靖·期中）若命题“时，”是假命题，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若命题“时，”是假命题， 则命题“时，”是真命题，则， 设，其在上单调递减，在上单调递增， 且，故当时，，则. 故选：D 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由在区间单调递增，可知此时函数值域为，再由， 当时，可知在区间上单调递增，所以此时函数值域为， 因为，使得，所以有，即，解得， 由于此时，所以有，当时，可知在区间上单调递减，所以此时函数值域为， 因为，使得，所以有，即，解得， 由于此时，所以有， 当时，可知，因为，所以对，总能使得， 即，满足题意，综上所述可得：的取值范围是.故答案为：. 【变式】 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，恒成立，所以． 又因为，所以， 根据均值不等式可得： ，当且仅当，即时取等号， 所以，即．故答案为：. 3．（24-25高一上·云南昆明·开学考试）若命题“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，，当且仅当，即时等号成立， 命题“，使得成立”是真命题，所以， 所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（2024广西）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】依题意知. 因为在上单调递减，所以. 又在上单调递增，所以， 因此，则. 故答案为：. 1． 单选题 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：A 2．（24-25高一下·陕西·阶段练习）“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当角为第二象限角时，，则； 反之，当时，或， 则为第二象限角或为第四象限角， 所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则“成立”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由可得：， 而当时，有. 所以“”成立是“”成立的充分条件. 由， 因为，， 可知若，必有. 所以“”成立是“”成立的必要条件. 综上所述，“”成立是“”成立的充要条件. 故选：C. 4．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为命题是假命题，可得：为真命题；可得：， 解得：，故选：A 2． 多选题 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【解析】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 6．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，， 所以且且， 所以且且且， 因为， 所以或， 所以或或（舍去）， 故选：BD. 7．（24-25高一上·江苏苏州·期末）设集合，，若，则实数的值可能是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】ACD 【解析】因为， 且，则， 对于，则有： 若，则，符合题意； 若，则，可得； 若，则，可得； 综上所述：实数的取值范围为， 结合选项可知：ACD正确，B错误. 故选：ACD. 8．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 9．（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知集合，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意可得，，故， 则，，故A错误，B正确； ，故，故C错误； ，故，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】要使函数有意义，则， 所以，即， 因为，所以，即， 所以，，， 故ABD正确，C错误. 故选：ABD 3． 填空题 11．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】不等式可化为，所以，所以：， 因为是的充分条件，：，所以， 所以，所以，所以的取值范围是故答案为：. 12．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立，，所以 故答案为： 13．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为 ． 【答案】 【解析】由题意可得命题“，使得”为真命题， 即在上有解， 令，，则， 在为减函数，所以， 所以，即实数a的范围为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·期中）已知是常数，命题：存在实数，使得．若是假命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由命题：存在实数，使得为假命题， 可知命题：，为真命题，即，， 又，所以当，即时，函数取最大值为，即，故答案为：. 4． 解答题 15．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若有且只有一个为真，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【解析】（1）当时，的最小值为， 由为真命题，即对任意，不等式恒成立， 得，解得， 所以的取值范围. （2）当时，，当且仅当时取等号， 由为真命题，即存在，使得不等式成立， 得，解得，即，由（1）知， 而有且只有一个为真，则当真假时，，解得； 当假真时，或，解得， 所以的取值范围为或. 16．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【解析】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 17．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以，所以，解得或． 当时，，，不合题意； 当时，，满足题设． 所以，实数的值为1． （2）集合， 集合， 因为，所以，从而，解得， 所以实数的取值范围为. 18．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 19．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，0或 【解析】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 集合与逻辑用语 考点一 集合 【例1-1】（24-25高一上·四川成都·期末）（多选）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B．的子集个数为8 C． D． 【例1-2】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）（多选）已知全集，集合，，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1-4】（24-25高一上·四川内江·期末）（多选）已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【例1-4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一上·浙江台州·期中）（多选）设集合，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）已知全集，集合，，则（    ） A．. B． C．. D． 3．（24-25高一上·甘肃庆阳·阶段练习）（多选）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·期末）（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 考点二 充分、必要条件 【例2-1】（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2-2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知，那么使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广西桂林）“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 考点三 集合相关的求参数 【例3-1】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）（多选）设集合，若满足，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【例3-2】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）（多选）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）（多选）集合，，集合，若，则以下的取值满足题意的是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一上·甘肃天水·期末）（多选）已知集合，若，则a的值可以为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（多选）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 3．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 考点四 充分、必要条件求参数 【例4-1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设，则关于的不等式有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D． 【变式】 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）（多选）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，． (1)是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 考点五 含有量词的求参数 【例5-1】（2025云南昭通·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南曲靖·期中）若命题“时，”是假命题，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 . 【变式】 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·云南昆明·开学考试）若命题“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 4．（2024广西）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 1． 单选题 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西·阶段练习）“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则“成立”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2． 多选题 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 6．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏苏州·期末）设集合，，若，则实数的值可能是（   ） A． B． C．0 D．2 8．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知集合，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3． 填空题 11．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 12．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是 . 13．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为 ． 14．（24-25高一上·上海·期中）已知是常数，命题：存在实数，使得．若是假命题，则的取值范围是 ． 4． 解答题 15．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若有且只有一个为真，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 18．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 19．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$