第6讲 函数的应用- 《温故知新》2025-2026学年高一数学上学期暑假复习课（人教A版2029必修第一册）

第6讲 函数的应用 考点一 求零点 【例1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）函数的零点是 【变式】 1.（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）函数在内的零点为 2．（2025黑龙江）已知函数f(x)＝，则函数f(x)的零点为 3.（2025北京）若函数的零点是（），则函数的零点是 考点二 零点区间 【例2-1】（24-25高一上·河北石家庄·期末）函数的零点所在大致区间是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（2025湖南）若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25广东深圳）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）设函数，则函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2023·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三 零点个数 【例3-1】（2025·山东枣庄·二模）函数在区间上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3-2】（2024高三·全国·专题练习）函数的零点个数为 ．   【变式】 1．（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线与直线的交点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025江苏）方程的实根的个数为________． 3．（2025·贵州毕节）若函数，则函数的零点个数为 考点四 比较零点大小 【例4】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-2黑龙江）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25天津和平）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 考点五 已知零点个数求参数 【例5-1】（2025·湖南）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知函数，若函数有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 2．（2025·陕西西安）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安）已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六 零点之和或取值范围 【例6-1】（2024·贵州六盘水）已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【例6-2】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）（多选）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A． B． C． D．的取值范围为 【变式】 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）（多选）设函数.若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25·安徽）已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25 福建福州 ）函数恰有两个零点，则 . 考点七 函数在实际生活中的应用 【例7-1】（24-25高一下·湖北·阶段练习）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式】 1．（24-25 安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 2．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． (1)求利润的函数解析式； (2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 3．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）平凉崆峒山是国家首批5A级旅游景区，集奇险灵秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10月份以来，通过对文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式为：（为常数且）．其销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 500 550 600 550 500 已知第10天的日销售收入为5050元． (1)给出如下四个函数模型：①  ②  ③  ④请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量与时间的关系，并求出该函数解析式； (2)设该纪念品的销售收入为（单位：元），求的最小值． 1． 单选题 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西柳州·期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，，初始时污染物的含量为，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（   ） A．70% B．85% C．81% D．72.9% 3．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 7（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 8．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知，为常数，若存在互不相同的三个实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）已知函数有两个零点，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 110．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（   ） A．有最小值2 B．m的取值范围是 C． D．方程有4个不同的解 11．（24-25高一上·江西·期末），下列说法正确的有（    ） A．的减区间为 B．的值域为 C．若有3个零点，则 D．若有5个零点，则 3． 填空题 12．（24-25高一下·云南昭通）某淘宝网店新年礼盒促销，其中，，，四款礼盒价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒.为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%.在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为 . 13．（24-25高一下·山西·期中）若分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的零点个数为 ． 14．（2025北京）若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“1的饱和函数”．给出下列四个函数： ①；        ②；        ③；        ④． 其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为 ． 4． 解答题 15．（24-25高一上·上海杨浦·期中）某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. (1)设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； (2)请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 16．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数，函数为偶函数，且当时，，. (1)若函数在上是增函数，求的最小值； (2)若方程有个不同的实数解，求的取值范围； 17．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 18．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数为偶函数. (1)求实数k的值; (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围; (3)若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 19．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）取名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”.若，则称为的“稳定点”. 已知函数，若 (1)已知，若只有一个“不动点”，求的值； (2)函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和，即.证明：； (3)讨论的稳定点个数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 函数的应用 考点一 求零点 【例1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）函数的零点是 【答案】 【解析】由，得，所以函数的零点是. 【变式】 1.（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）函数在内的零点为 【答案】 【解析】令，即，即，解得， 因为，所以当时，符合题意.故答案为： 2．（2025黑龙江）已知函数f(x)＝，则函数f(x)的零点为 【答案】0 【解析】当时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝， 又因为，所以此时方程无解.综上所述，函数f(x)的零点只有0. 3.（2025北京）若函数的零点是（），则函数的零点是 【答案】2和0 【解析】由条件知，∴，∴的零点为和. 考点二 零点区间 【例2-1】（24-25高一上·河北石家庄·期末）函数的零点所在大致区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为，又与在上单调递增， 所以在上单调递增，又，，所以， 根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为，故选：A. 【例2-2】（2025湖南）若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的零点所在的区间为，又函数在R上单调递增，则需，即，解得.故选：C. 【变式】 1．（24-25广东深圳）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，，且中， 故，在单调递增，因此至多一个零点， ,,， 因此的零点所在的区间是，故选：C 2．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）设函数，则函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】和均为增函数，函数在区间上单调递增. 又，， 由零点存在性定理得，函数存在唯一零点在区间上. 故选：C. 3．（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为函数定义域为，与均在上单调递增， 所以在上单调递增，又，即， 由零点存在性定理可得，的零点所在区间为，所以． 故选：B． 4．（2023·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B. 考点三 零点个数 【例3-1】（2025·山东枣庄·二模）函数在区间上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】函数，由，得或， 当时，，因此函数在上的零点个数为4. 故选：B 【例3-2】（2024高三·全国·专题练习）函数的零点个数为 ． 【答案】4 【解析】令，得或． 设，，在平面直角坐标系中先画出的图象， 保留轴上方的部分图象并把轴下方的图象向上翻折即得的图象， 再作出的图象，如图所示，由图可知两者共有3个交点. 综上所述，函数共有4个零点． 故答案为：4.    【变式】 1．（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线与直线的交点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】3 【解析】，， ， 作出与的大致图象，易知共有3个交点. 故选：A.    2．（2025江苏）方程的实根的个数为________． 【答案】2个 【解析】方程的实根个数可转为函数和的交点个数， 在同一坐标系中作出和的图像， 如图，可得交点个数为2个， 故方程的实根个数是2个， 故答案为：2个 3．（2025·贵州毕节）若函数，则函数的零点个数为 【答案】7 【解析】令，则有或，作出函数的图象，如图所示： 因为直线与的图象有3个交点，直线与的图象有4个交点， 所以原方程有7个解． 考点四 比较零点大小 【例4】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      故选：A. 【变式】 1．（24-2黑龙江）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得在R上单调递增，在上单调递增， 又，，故，，，故， ，故，故.故选：B 2．（24-25天津和平）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 又由，得，即函数与的交点横坐标就是， 根据递增且过点，在递减，由图可得：， 又由，得，即函数与的交点横坐标就是， 根据递增且过点，在递减且过点，由图可得：， 由于，根据幂函数，解得，即，（也可以数形结合判断） 综上可知：， 故选：A. 3．（2024·广东）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即.综上所述，，故选：D. 考点五 已知零点个数求参数 【例5-1】（2025·湖南）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出的图象， 由图象可知a的范围是. 故选：D 【变式】 1．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知函数，若函数有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由函数解析式可画出函数图象如图： 若函数有2个零点，可得函数与函数有两个交点，可得或. 故选：C 2．（2025·陕西西安）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C 3．（2025·陕西西安）已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，有1个零点， 则当时，只有一个零点，即方程在时有一个解，即方程在时有一个解， 因为函数为增函数，且当时，，则，即.故选：B. 考点六 零点之和或取值范围 【例6-1】（2024·贵州六盘水）已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【解析】由题设，，，， 所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下： 因为与关于对称，而与互相垂直， 所以，，则.故选：A 【例6-2】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）（多选）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ABD 【解析】由题得，所以作出和的图象如下： 因为方程有4个不同的零点，，，，且， 所以，令，则由图可知， 故，，故C错误，AB正确， 令，则或； 令，则或，所以 所以，故D正确. 故选：ABD 【变式】 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）（多选）设函数.若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】作出函数的图象，如图， 由图可知，， 由知，，即， 即，得，故A错误，B正确； 由，得，所以故C正确， 所以故D正确，. 故选：BCD. 2．（24-25·安徽）已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则或，令，则或， 由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为． 作出的草图如下， 令，不妨设，则，，，为曲线与直线的交点横坐标， 由图知：，且， 则， 由对勾函数可知在上递减，故， 故. 故选：C 3．（24-25 福建福州 ）函数恰有两个零点，则 . 【答案】 【解析】因为函数恰有两个零点，所以 又在关于对称，所以即 故答案为： 考点七 函数在实际生活中的应用 【例7-1】（24-25高一下·湖北·阶段练习）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)50；2200 【解析】（1）由题意可知， 当时，， 当时，， 所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时，，开口向下， 所以当时，； 当时， ， 当且仅当即时，等号成立，此时， 因为， 所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200. 【变式】 1．（24-25 安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解析】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 2．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． (1)求利润的函数解析式； (2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元 【解析】（1）由题意，， 即； （2）当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值52； 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元． 3．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）平凉崆峒山是国家首批5A级旅游景区，集奇险灵秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10月份以来，通过对文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式为：（为常数且）．其销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 500 550 600 550 500 已知第10天的日销售收入为5050元． (1)给出如下四个函数模型：①  ②  ③  ④请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量与时间的关系，并求出该函数解析式； (2)设该纪念品的销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】(1)选择②分段函数模型， (2)4410元． 【解析】（1）由表中数据可知，销售量随时间先增大后减小，并且呈对称趋势， 而①、③、④分别对应的一次函数模型、指数函数模型和对数函数模型都是单调的， 故选择②分段函数模型． 将点，，代入（2），得， 解得，故函数解析式为． 分别将和代入，解得，，与题中数据相符，因此该函数模型合理． （2）由（1）知， 又由题意知， 即，解得， 所以， 故． 当时，； 当时，，在上单调递减， 所以． 综上所述，销售收入的最小值为4410元． 1． 单选题 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 2．（24-25高一下·广西柳州·期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，，初始时污染物的含量为，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（   ） A．70% B．85% C．81% D．72.9% 【答案】D 【解析】当时，； 当时，，即； 当时，， 故选：D. 3．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在区间上有零点方程在区间上有解， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 则，则. 故选：D． 4．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由复合函数的单调性易知三个函数均连续且在定义域内单调递增. 对于，由零点存在定理知. 对于. 对于，可知的零点. 故选：B 5．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】方程的解为或，作出的图象，由图象可知零点的个数为6． 故选：C. 6．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，，的零点， 即为函数的图象 分别与函数，，的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图象可得， 故选：B． 7（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【解析】设，则， 若，则，解得或， 则或， 当时，，不合题意， 则，或， 解得，此时方程仅一个根； 若，则，解得或，即或， 当时，或， 方程即在仅一个根， 方程，即， ，且，，两根均为负，合题意， 当时 ，，解得或，方程有两根， 综上，方程的实根个数为6. 故选：C. 8．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知，为常数，若存在互不相同的三个实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，将其化为顶点式： 可知该函数图象开口向下，对称轴为. 当时，，根据对勾函数性质，知道函数在上单调递增，. 因为存在互不相同的三个实数，，满足，结合函数图象可知. 设，由二次函数的对称性可知，关于对称轴对称，则. 由，，即. 解不等式，即，，因为，所以. 解不等式，即，，解得，结合，所以. 则，因为，所以，即的取值范围是. 故选：D. 2． 多选题 9．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）已知函数有两个零点，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为的定义域为，所以函数是连续不间断函数， 又，， ，， ， 且，， 所以由零点存在性定理可知函数在和上有零点. 故选：AD. 110．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（   ） A．有最小值2 B．m的取值范围是 C． D．方程有4个不同的解 【答案】ACD 【解析】由题意作出函数的图像，如图所示： 可得，，，， 所以有最小值2，故A正确； 有四个不等的实数解，，，，可得，故B错误； 因为为偶函数，所以图象关于轴对称， 又的对称轴为直线， 所以由对称性可知，，可得，故C正确； 令，则方程可化为方程， 结合图像得有4个解，且，，，， 因为有最小值2，所以只有当时，有4个不同的x与之对应， 故方程有4个不同的解，故D正确， 故选：ACD． 11．（24-25高一上·江西·期末），下列说法正确的有（    ） A．的减区间为 B．的值域为 C．若有3个零点，则 D．若有5个零点，则 【答案】BCD 【解析】函数的草图如下： 由图象可知： 函数的减区间为和两个，不能用“并集”符号连接，故A错误； 函数值域为，故B正确； 若有3个零点，则，故C正确； 对D：结合函数草图：由或； 由或，解得：或或. 设，由题意方程有5个不同的根. 由， 若，则只有1解，且，此时方程有3个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有7个解； 若，则有3解，且或或， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有和两个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有1个解，所以方程有5个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有，共2个解，方程有1个解，所以方程有3个解； 若，则有1解，且，此时方程至多有1个解. 综上：若有5个零点，则.故D正确. 故选：BCD 3． 填空题 12．（24-25高一下·云南昭通）某淘宝网店新年礼盒促销，其中，，，四款礼盒价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒.为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%.在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为 . 【答案】10 【解析】设订单总价为，若，没有优惠，符合题意； 若，则，，而， 所以，的最大值为10. 故答案为：10. 13．（24-25高一下·山西·期中）若分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【解析】由已知可得，. 又分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，，， 所以有. 又， 两式相加化简可得，. 两式相减化简可得，. 所以，. 解可得，或. 所以，函数的零点个数为2. 故答案为：2. 14．（2025北京）若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“1的饱和函数”．给出下列四个函数： ①；        ②；        ③；        ④． 其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为 ． 【答案】①③④ 【解析】对于①，有，解得，∴是“1的饱和函数”． 对于②，有，无解，∴不是“1的饱和函数”． 对于③，函数的定义域为， 由， 得，解得或（舍去），∴是“1的饱和函数”． 对于④，有，即， 整理得， 在同一平面直角坐标系中，作出函数与函数的图象， 则它们在第一象限有1个交点，即存在，满足题意，∴是“1的饱和函数”． 故答案为：①③④． 4． 解答题 15．（24-25高一上·上海杨浦·期中）某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. (1)设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； (2)请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)，定义域为 (2)40万套， 520万元 【解析】（1）当时，； 当时，； 所以，且定义域为. （2）当时，生产线利润，易知二次函数开口向下，对称轴， 所以当时，有最大，最大值为500； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为520； 综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元 16．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数，函数为偶函数，且当时，，. (1)若函数在上是增函数，求的最小值； (2)若方程有个不同的实数解，求的取值范围； 【答案】(1)5 (2) 【解析】（1）函数图象开口向上，对称轴方程为， 因为函数在上单调递增，∴， 又∵为偶函数， ∴. ∴的最小值是5. （2）∵为偶函数，由， 所以时， ∴      ∴， ∵方程有个不同的实数解， ∴当有两解，且当有两解， 所以， 解得. 17．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【解析】（1）在上单调递增. 证明如下：当时，.设， 则. 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）的图象如图所示. 因为函数恰有4个零点， 所以方程恰有4个解. 即或共有4个解. 由图知，且或或， 解得或或， 即实数的取值范围为. 18．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数为偶函数. (1)求实数k的值; (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围; (3)若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【解析】（1）是偶函数， 即对任意恒成立， ， （2）函数有两个零点，即方程有两个实数根． 令，则函数的图象与直线有两个交点， 由复合函数的单递性知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 当且仅当即时，等号成立. 的取值范围是 （3） ，， 令，，则，， 的最小值为0， 或或 或或 19．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）取名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”.若，则称为的“稳定点”. 已知函数，若 (1)已知，若只有一个“不动点”，求的值； (2)函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和，即.证明：； (3)讨论的稳定点个数. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【解析】（1）由题设，且， 令，则， 由只有一个“不动点”，则； （2）若，则，即不动点一定是稳定点，所以，得证； （3）令，则，可得， 所以，整理得， 所以且，显然、满足， 对于①，则， 当，时，①无解，此时稳定点有2个； 当，时，①的解为，此时稳定点有2个； 当，时，①有两个不同解（不为），此时稳定点有4个； 综上，时稳定点有2个，时稳定点有4个. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$