河南省商丘市2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数（不含指数与对数函数）与导数、数列、计数原 理、概率与统计。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1,已知集合A={x|一2≤x≤3}，B={xx>0},则A∩(CB)= A.[-2,0] B.[-2,3] C.(-∞，0] D.(-∞，3] 2.已知f(爱-1)=2x+3,则f(6)= A.7 B.15 C.17 D.31 3.某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米 所用的时间X(分钟)服从正态分布N(5,2),若P(X≤4)=0.01，则这500名男生跑完1000米所用 的时间不少于6分钟的人数大约为 A.1 B.5 C.9 D.50 4.下列函数中，在区间(1，十∞)上单调递增的是 A.y=|x-2| B.y=x C. D.y=x2-4|x| 5.权是中国古代度量衡器具之一，“权”（秤锤）与“衡”（秤杆）配合使用，用于测量物体的重量.古代楚国的 权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套（如图所示）.已知十枚环权的 质量（单位：铢）从小到大构成项数为10的数列(a.》,该数列的前3项成等差数列，后8项成等比数列， 且a2=2,a4=6,ag=96,则a1十a6= A.25 B.24 C.16 D.8 【高二7月质量检测·数学第1页（共4页）】 HN 6,函数)一的图象如图所示，则 Aa<0,b<0,c<0 Ba>0,b<0,c<0 C.a>0,b>0,c>0 D.a<0,b>0,c>0 7.已知数列{an)的前n项和为Sn,则“Vn∈N,2n(n+2)S+1=(n十1)(n十2)S.十n(n十1)S+2”是“数列 {an}为等差数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(1)=1,f(1一x)十f(3一x)=0,将f(x)的图象绕原点旋转180°后所 得图象与原图象重合，若g)=fa)fx-2》,则驾g(0= A.1013 B.1 C.-1013 D.-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.3x∈(-∞，0)，x2-2x-8>0 B若a,b都是非零实数，且a<b,则方心 C若0<x<1,则时+己的最小值为5 D.若x,y满足x2-|xy十y=1,则√+y的最大值为2 10.若(2-x)22s=a十a1x十a2x2+…十a2wx2s,则 A.a=2 B.a十a1十a2十…十a2s=1 C.laoI+la1+la21++la20s1=320%5 D.a1+2a2十3a1十…+2025a22s=-2025 11.苏格兰数学家约输·纳皮尔(John Napier)发现并证明了当x>0且x→0时x-→l.根据约翰·纳皮 尔的这个发现以及我们所学的数学知识，关于函数f(x)=x“(x>O),下列说法正确的是 A.f(x)有且只有一个极值点 B.f(x)的最小值为e Cfx)的单调递减区间是(0，是) D.存在两个不相等的正实数a,b,使f(a)=f(b)=2号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.身高不相等的5人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有 种不 同的排法， 13.若a,b∈（合，2,3,4，则在"函数f心x)=ln(ad+bx+1)的定义域为R"的条件下，“函数g()=a- b4为奇函数”的概率为 14.已知工，2均为正整数，且<2，则满足方程上+号十上-受的解有 组 【高二7月质量检测·数学第2页（共4页）】 HN 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 已知集合A=号>，B=aa2+1-abx-bK01. (1)用区间表示集合A: (2)若b<0,A∩B=A,求a,b的取值范围， 16.(本小题满分15分) 某兴趣小组研究发现昼夜温差变化的大小与患感冒人数之间具有较强的线性相关关系，该兴趣小组 在惠民医院抄录了2025年2~5月份每月5日的昼夜温差情况以及附近的居民因患感冒到惠民医院 就诊的人数，得到如下数据： 日期 2月5日3月5日 4月5日5月5日 昼夜温差x(℃) 11 13 12 8 因患感冒就诊人数y(人) 25 29 26 16 (1)求因患感冒到惠民医院就诊的人数y关于昼夜温差x的线性回归方程y=x十ā； (2)如果8月5日昼夜温差是9℃时，试预测因患感冒到惠民医院就诊的人数（精确到整数）， 附：线性国明直线一十日中，6=2：”元寸 ,a=y-6x; 17.(本小题满分15分) an十1，n为奇数， 已知数列(a,}的首项是1，a+1=a,十2，n为偶数。 (1)证明：{a}的奇数项成等差数列； (2)求{an)的前n项和S。 【高二7月质量检测·数学第3页（共4页）】 HN 18.(本小题满分17分) 六一儿童节，某商场为了刺澈消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的 活动，奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车（每款车的数量都充足），主办方 将大小相同的8个乒乓球上分别标注1,2,3,4,5,6,7,8，其中标注数字1,2,3,4的乒乓球分别代表 4款不同造型的摩托车，5,6,7,8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车，并将这8个乒乓球放在一 个不透明箱子内.活动规定：儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓 球，然后再放回箱内；消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球， 然后再放回箱内；消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，放 回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；·，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的 数字即可获得相应的奖品。 (1)若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元，求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不 同造型跑车的概率： (2)若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车，小英家也获得 2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车， ①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台，如果抽出的5台车中有X台摩托车，求X的分布 列和数学期望； ②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以 参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率 19.(本小题满分17分) “洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数(x), (x)的导数(x),y(x)都存在，且(x)≠0，如果x+a(a是常数)时，4(x)→一∞或十o∞，(x) -∞或十o,且叫侣1是常数)，则xa时，号4 (x) 已知函数f(x)=ke一1-x,g(x)=lnx十是-1，k∈R (1)证明：k=1时曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y=g(x)也相切： (2)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),函数g(x)有两个零点x,x,(x3<x4) ①指出x,x2,x,x,的大致范围（不必说明理由），并求出的取值范围； ②试探究x1十x2与x?十x,的大小关系. 【高二7月质量检测·数学第4页（共4页）】 HN 高二数学参考答案、提示及评分细则 1.A因为CRB={xx≤0，所以A∩(C.B)={x-2≤x≤0}.故选A 2.D令x=14,得f(6)=2×14十3=3L.故选D. 3.B因为X~N(5,a2),P(X≤4)=0.01，所以P(X≥6)=P(X≤4)=0.01，故500名学生跑完1000米所用的时间不少 于6分钟的人数大约为500×0.01=5.故选B. 4.C因为y=x一2引在（一©，2）上单调递减，所以A错误：y=x古在(0，十∞)上单调递减，所以B错误y=-元 号在1，十∞)止单调递增，所以C正确：=-41x在0,2上单调递减，所以D错误.故选C 5.A因为a,的后8项成等比数列，且a,=6,a=96,设其公比为g,则96=6g,解得g=2(-2舍去)，所以a4=4=3, a6=ga=24.又因为{a.的前3项成等差数列，所以aa一a2=a2一a:,解得a1=1,所以a1十aa=25.故选A 6.B依题意，函数八x)的定义域为≠-c.由图象可得一>0，所以<0：由/0)=兰<0，所以0：令八x)=0, 得x=一么>0，所以>0.故选B a 1CEN,2m(a+2S4=(a+1D0u+2》8+a+1S:-各+=倍为等龙数列充分性：设数列 (各}的公差为d,则产-氵+(-1D1=a+(-1d.所以3.=十n-1Dd.31=a+1a,+na十1Dd.两式相 减得，a+1=a1+2d,an=a十2(n一1)d,所以aw+1一an=2d为常数，{a}为等差数列：必要性：由{an}为等差数列，设公 差为d.则5-m+”d,子=a+”号d,于是斜-音-(a,十受)-(a+”号)=4为常数.所以 (停}为等差数列放选C 8.C根据题意，f(.x)图象上的任意一点M(x,y)绕原点旋转180后得到的点M(一x,一y)仍在f(x)的图象上，联立 y=f（x), 消去y得f(一x)=一f(x),所以f(x)是奇函数，f(0)=0,又f(1一x)+f(3-x)=0,所以f(x)+ -y=f(-x), f(2+x)=0,f(2+x)+f(4+x)=0,因此f(4+x)=f(x),所以f(x)是周期函数，4是f(x)的一个周期，所以g(x)= f(x)f(x-2)也是周期函数，4是g(x)的一个周期.又由f(x)十f(2+x)=0可得f(2)=-f(0)=0,f(3)=一f1)= -1,于是g(1)=f(1)f(-1)=f(-1)=-f1)=-1,g(2)=f(2)f(0)=0,g(3)=f(3)f(1)=-1,g(4)=f(4)f(2) =0,所以之g)=506×[g1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(2025)=-1012+g(2025)=-1012+g1)=-1012-1 =-1013.故选C 以AB=-2时-2一8=0.所以A正确：因为a6都是非零实数且么市名号0，高办所以B正 确：由1+亡=(+亡)[+-]=2+1+产≥2+2产=4当且仅当号 产即x专时等号成立，所以C错误：因为2+y-1-y<士少_生之，当且仅当1--1时等 2 号成立，所以x十y≤2，所以√+y的最大值为2，所以D错误.故选AB 10.BCD令x=0得a。=25.所以A错误；令x=1得a十a1十a十…十ae=1,所以B正确：令x=一1得a。一a1十ag 一a十…一aw=3喝，显然aa2,a4,…,aee都是正数，a,ag…a2m都是负数，所以a+a,十a十…十 |a2gs=a一a1十a,一a十…一a2g=32,所以C正确：对(2-x)2@=a十a1x十a2十…十a2两边同时求 导，得-2025(2-x)2@1=41+2a2x+3ax2+…+2025a2m5x22,取x=1得a1+2a+3a十…十2025a2g= -2025,所以D正确.故选BCD 【高二7月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 HN 1.ACD因为x>0时，fx)=2=e=(e),令gx)=nx,则g(x)=1+nx,所以0<x<时g'(x)<0, g(x)在(0，)上单调递减：x>。时g(x)>0,g(x)在（日，十o∞）上单调递增，所以f(x)=(e)h在(0，）上单 调递减，在（合，十∞）上单调递增，x=是时x)取最小值，最小值为e÷,所以A,C正确，B错误根据约前·纳皮尔 的发现可知，0<r<。时f(x)的值域是(e÷,1),又显然r十∞时产一十o∞，所以x>。时f(x)的值城是 (e,+oo),又因为e÷<2<1,所以在区间(0，)和(，+o∞）上分别存在-个实数a,b,使f(a)=f)= 2t,所以D正确.故选ACD. 12.6把问题看成是由1,2,3,4,5这五个数字排成一个五位数，要求最大的数字排在中间，按大小向两侧递减，则排成的 五位数有12543,13542,14532.23541,24531与34521这6个数. 13.号有序实数对(a,b)表示的所有结果有4×4=16种情况，记“函数x)=n(ax+b十1)的定义域为R"为事件A, △=8-4a<0,即<4a,满足这个条件有（号2，号），(2，号）.(3，号)，(4,2).(22)，(3.2).(4,2)，(33)，(4,3)共 9种情况，所以PA=是记“函数g)=。-6为奇函数“为事件B,因为g)=一g(-Da一方=-（合-b小. 。-b计}-古-a-》-0,所以a-6,或a一名经检验此时g()为奇函数，满足。-b或a一去的有 (2,号).(22)小.(2,2).(2,2)，(3,3).(4,4共6种情况.同时满足AB的有（分，2）.(2,2）.(2.2).(3,3)共4 种情况.所以P(AB)=音-}，所以P(B1A)=P_喜 P(A) 9 9 16 110因为号-十号+≤是所以3≤6当=3时则+-言即(y一6e一6=6可取，42. (8,24),(9,18).(10.15),(12,12):当x=4时，则(y-4)(x一4)=16，(y,z)可取(5,20).(6,12)，(8.8)：当x=5时，则 品-号+长号解得号5或6则为6510)当-6时，（一3：-3）-9.0)为66所 以方程+}+号一专的解的个数为5+3+1+1=10 1返.解：0由≥1，有号0，解得≤-2或>3 所以A=(-∞，一2]U(3,十∞).… …5分 (2)因为A∩B=A,所以A二B,… 6分 不等式a.x2+(1一ab)x-b0可化为(a.x十1)(x-b)<0.…7分 a=0时，则T一<0，解得x<b但不满足A二B,舍去，…8分 a>0时.因为4∈A但4任B,不满足A二B,舍去， …9分 a<0时，解得x<b或r>- a 10分 -2<b<0, 因为A二B,所以 0<-1≤3 解得a<-子-2<<0， 所以a∈（-c心，-3bE（2,0 …13分 16.解：1元=1+18+12+8-1.525+29+26+16=24. 4 4 …2分 2=1+18+12+82=498, …3分 含y,=1×25+13×29+12×26+8X16=1092,… …4分 【高二7月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 HN 所以b=1092-4×11×24_18 498-4×11° 6分 a=24-9×11=- 7 8分 所以所求线性回归方程为了一9。一碧。 …9分 （2r=9时=9×9-9≈10. 因此如果8月5日昼夜温差是9℃时，预测因患感冒到惠民医院就诊的人数大约为19.…15分 17.(1)证明：若n为奇数，则n十1是偶数，n十2是奇数， 所以a+1=4n十1,4+2=(4n十1)十2=an十3，即4ng一4n=3,…4s分 所以{a}的奇数项是首项为a1=1,公差为3的等差数列. …5分 (2)解：当n=2k(k∈N)时，S,=Su=(a1+a+a+…+a-1)+(a2+a,十a+…+as) =(a1+a十a+…+a4-1)+(a1+1+ag+1+a+1+…+aw-1+1) =2a,+a,+a,++a4-)+k=2[a,+2×3]+大 2 =32=3X(）=. 10分 因为a=4-1十1=，十3(k-1)十1=3k-1,… 11分 所以当n=2k-1(k∈N)时，Sn=S4-1=S4一a24=3k2-3k+1 =3x(空)-3×+1=+ 2 14分 号n为偶数 综上所述，S 15分 子r+子n为奇数。 3 18.解：(1)记“小明的家长得到2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车”为事件A, 则P(A)= Cccc3 8 256 即小明的家长获得2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车的概率为2 3 3分 (2)①依题意，X的所有取值为1,2,3,4， 4分 C C X的分布列为： 14 14 8分 数学期望00=1×+2×号+3×号+4×-号 10分 ②两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车，包括3种情况： (「)第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车， 其概率卫-[（侣×号）+（侣×号）][（得×号）+（得×号）]-之×号-： (1)第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车， 其概率卫，=（侣×得）（侣×得）=号×号×子×是=品： (m)第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车， 其概率P,=(侣×号)（侣×号）=号×导×号×号-品· 16分 因此所求概率P=P+P,+P,=}+品+品品 17分 【高二7月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 HN 180证明=1时，)=e-g)=nr+子-1f)=e-1,g)=士一之 因为f1)=0,f(1)=0, 所以曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程是y一0=0X(x一1)，即y=0. …2分 因为g1)=n1+}-1=0,g1)=0, 所以曲线y=g(x)在点(1，g(1)处的切线方程是y一0=0×(x一1)，即y=0. 所以k=1时曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线y=0与曲线y=g(x)也相切.…4分 (2)解：①01<1<2,0x2<1<1<e…5分 由f)=0.g)=0,得号-=0,1-h)-k=0 令F(x)=一k,Gx)=x(1-nx)-k,则fx)与F(x)的零点相同，g(x)与G(x)的零点相同， e 又F'（0=e00,G(x)=-lh,… …6分 x<1时，F(x)>0,F(x)单调递增：.x>1时，F矿(x)<0,F(x)单调递减； 0x<1时，G(x)>0,G(x)单调递增：x>1时，G(x)<0,G(x)单调递减， 所以F(x)和G(x)在(0,1)上都是增函数，在(1，十oo)上都是减函数， 所以0<x<1时，-k=F(0)<F(x)<F(1)=1-k,x>1时，-k<F(x)<F(1)=1-k, 因为f(x)有两个零点，即F(x)有两个零点， 1-k<0, 所以0<x<1<x2,且 1-k>0, 解得0<k<1. …7分 当0k<1时，G(1)=1-k>0,G(e)=-k<0, 1 又x0时nx x -x一0，根据洛必达法则可知，x→0时xnx=h0,c(1一lnx)一=x-k-xn一 (y 1 -k,所以x→0时G(x)<0, 所以0<k<1时，G(x)在区间(0,1)和(1，e)上各有一个零点，所以0<x<1<x,<e,…8分 因此，若函数f(x),g(x)各有两个零点，k的取值范围是(0,1).… …9分 ②令F)=g-k,Gx)=r(1-lnr)-kg(r=Fm)-G卫，则 e f(x)与F(x)的零点相同，g(x)与G(x)的零点相同，G(x)在区间(0,1)上是增函数， ex-k-z(1-In r)+k 号+nx-1g(）=-名+=g(x>0),… 10分 令1(x)=e-ex(x>0),则t(x)=e-e(x>0), 0<x<1时t(x)<0,1(.x)单调递减：x>1时(x)>0,1(x)单调递增： 所以x>0时(x)≥(1)=0， …11分 于是x>0时9(x)≥0等号仅当x=1时成立， 所以(x)在(0，十∞)上是增函数.… 12分 所以0r1时g(x)<g(1)=0,F(x)-G(x)<0,即0<x<1时F(x)<G(x): x>1时g(.x)>g(1)=0,F(x)-G(.x)>0,即x>1时F(x)>G(x)；…l3分 由①知0<x<1<x2,0<x3<1<x<e,所以0=F(1)<G(1) 又F(x）=0,G(x)=0,所以G(x1)>Gx3）,… 14分 又G(x)在区间(0,1)上是增函数，且x1,x∈(0,1)， 所以0x<<L. …15分 同理可证1<1<x2, 16分 于是十x2>x十· 17分 【高二7月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 HN