专题 1.5 等腰三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 1.5 等腰三角形 目录 一知识梳理 1 （一）等腰三角形 1 （二）等边三角形 3 （三）直角三角形 4 二知识体系思维导图 5 三题型分类精析 5 【题型 1】等腰三角形定义 5 【题型 2】利用 “等边对等角” 性质求值证明 6 【题型 3】利用 “三线合一” 性质求值证明 6 【题型 4】利用 “等角对等边” 判定求值证明 7 【题型 5】等边三角形性质求值 8 【题型 6】等边三角形判定证明 9 【题型 7】直角三角形两锐角互余性质求值 10 【题型 8】利用含 30° 角的直角三角形性质求值 11 【题型 9】直角三角形斜边中线性质证明与求值 12 【题型 10】等腰三角形性质与判定综合求值与证明 12 【题型11】等边三角形性质与判定综合求值与证明 13 【题型12】等腰三角形与等边三角形性质与判定综合求值与证明 15 四同步练习 17 【基础巩固（16题）】 17 【能力提升（14题）】 21 【中考真题6题】 25 一.知识梳理 （一）等腰三角形 1.基础概念与性质 （1）等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边称为腰，另一条边称为底边，两腰的夹角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角。如图1，中，腰，是底，是底角，是顶角. 图1 【特别注意】若是等腰三角形，则有或或三种情况，解题过程中，要进行分类讨论。 （2）等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称为 “等边对等角”）. 图2 数学语言：如图2，在中，若，则。 性质 2：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边的垂直平分线）。 图3 【特别注意】对称轴是直线，不是线段或射线，如图3中对称轴是直线AD. （3）等腰三角形的 “三线合一” 性质 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 图4 数学语言：如图4，在等腰中，. ①，， ②，， ③，， 2. 判定与应用 （1）判定1：等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； （2）判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为 “等角对等边”）. 数学语言：如图5，在中，若，则 . 图5 （二）等边三角形 1. 等边三角形的性质 （1）等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形的三个角都相等，且每个角都等于 60°； （3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴（每条边上的中线、高和所对角的平分线所在直线）； （4）等边三角形具有等腰三角形的所有性质. 2. 等边三角形的判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. （三）直角三角形 1.直角三角形的两个锐角互余 数学语言：如图6，在 中，，则. 图6 2.两锐角互余的三角形是直角三角形 数学语言：如图6，在 中，若则. 3.含 30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于第三边的一半。 数学语言：如图7在中，，，则 。 图7 4.在直角三角形中，90度所对的边中线等于这边的一半 数学语言：如图8，在中，，是上的中线，则 ,即: 图8 2． 知识体系思维导图 三．题型分类精析 【题型 1】等腰三角形定义 【例题 1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）等腰三角形两边长是方程组的解，则该等腰三角形周长（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．6 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【题型 2】利用 “等边对等角” 性质求值证明 【例题2】（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，是上一点，连接，是的平分线，且，是上一点，过点分别作、交于点．求证：．    【变式1】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，，过点作，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点D，E分别为，上的点，，，，，则的长为 ． 【题型 3】利用 “三线合一” 性质求值证明 【例题 3】（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，于，于，与相交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为延长线上一点，于．若，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．以上结论都不对 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【题型 4】利用 “等角对等边” 判定求值证明 【例题4】（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，点D在边上，，E为的中点，若，则的大小为 ． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在中，是的外角的平分线，交的延长线于点，．若，则的长度为 ． 【题型 5】等边三角形性质求值 【例题 5】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． （1）求证：； （2）求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使 ，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在等边三角形中，，，交于点F，则 ． 【题型 6】等边三角形判定证明 【例题 6】（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，且． （1）求证：垂直平分 （2）若，求证：是等边三角形． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在等边中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是（   ）． A．是等边三角形； B．； C．； D．． 【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 【题型 7】直角三角形两锐角互余性质求值 【例题7】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，，垂足为点． （1）若，请求出的度数； （2）若，试问与平行吗？为什么？ 【变式1】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，中，，将绕着点A顺时针旋转得到，其中点B、O分别旋转到点C、D，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则 ．（用含有的式子表示） 【题型 8】利用含 30° 角的直角三角形性质求值 例题 8（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，，连接，，，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，，，，求线段的长． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，是等边三角形，于点D，于点E，若，则的长度为 ． 【题型 9】直角三角形斜边中线性质证明与求值 【例题9】（2025·广东河源·模拟预测）如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【变式1】（24-25八年级下·广西河池·期中）如图所示，在中，，点为边的中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（北京市西城区2024--2025学年八年级下学期数学期末试卷）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 【题型 10】等腰三角形性质与判定综合求值与证明 【例题10】（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，点D是边的中点，连接，．E是边上任意一点（不与点A、C重合），连接并延长至点F，连接，，． 【问题提出】（1）求的度数； 【问题探究】（2）连接，若，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）如图，中，于D，平分，且于，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．是等腰三角形 D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西·期末）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，且平分，若，则的长为 ． 【题型11】等边三角形性质与判定综合求值与证明 【例题11】（24-25八年级下·陕西西安·期中）回归教材 教材上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发，给出如下不完整的证明过程． 已知：如图，在中，．求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接． ， 垂直平分， ． …… （1）请补全剩余的证明过程． 知识应用 （2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的直角边正好重合．若，，则的长为________． （3）如图2，在（2）的条件下，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为，当点平移到大三角板的边上时，求出的值． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在等边中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是（   ）． A．是等边三角形； B．； C．； D．． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为 ． 【题型12】等腰三角形与等边三角形性质与判定综合求值与证明 【例题12】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 【变式1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）【模型建立】 （1）如图 1，为等边三角形，连接，求证：； 探索思路如下： ∵为等边三角形 ∴，， ∴．（① ） 即， 在与中 ∴（② ） ∴（③ ） 请在上面三个（    ）中填写适当的理由． 【模型应用】 （2）如图2，在与中，，，B ， D ， E 三点在一条直线上，与交于点F ，连接． ①求的度数； ②若点F 为中点，，求的长． 四．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·山东临沂·一模）观察下列尺规作图的痕迹，能判断是等腰三角形的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（    ） A．米 B．米 C．6米 D．米 5．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中， ，将沿射线的方向平移，得到 ，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（   ） A．4， B．2， C．1， D．3， 7．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为2，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 8．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，长方形沿折叠，使D点落在边上的F点处，，那么等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于 ． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 11．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则 ． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 13．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 14．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，若，于点，则 ． 三、解答题 15．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 16．（2025·海南·一模）如图，在中，于点，已知，． （1）求证：； （2）求证：． 17．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，已知，，垂足分别为C，D，与交于点O，． （1）写出与的数量关系，并说明理由； （2）若E是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 18．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： （1）； （2）是等边三角形． 【能力提升（14题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，将线段绕着点C顺时针旋转得到线段，若的面积是8，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，中，于D，平分，且于点E，与相交于点F，于H，交于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 5．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是某型号支架的示意图，可以绕点上下转动，，，，则当时，需向上转动（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 二、填空题 7．（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 8．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，平分，，若与互补，，则的长为 ． 9．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，，，在外侧作等边，过点作于，则的长为 ． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当的值达到最小时，的值为 ． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期末）数学思想是数学研究的灵魂和核心，是数学理论发展的源泉，它能帮助我们更好地思考问题，解决问题．依据2022版新课标实施的七年级新教材中，我们已经学习了特殊化和转化的数学思想方法，探究了以下结论：两个边长相等的正方形如图①所示放置，正方形的顶点E与正方形的中心重合，两个正方形重合部分的面积不变，且等于正方形面积的，利用结论解决问题：若图②中，，，则四边形的面积等于 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）【问题呈现】 如图，在中，，，过点作于点． 【问题发现】 （1）如图，根据题意可知______，______； 【深入探究】 （2）如图，点是线段上一点，连接，将线段绕着点逆时针旋转到的位置，点为线段的中点，连接，．延长至点，使，连接，，． ①求证：； ②求证：． 14．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在中，点为上一点，为上一点，连接、、，已知． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，点是的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，交于点．求证：． （3）如图3，中，若，为线段上一点，为线段上一点，且，点在下方，若，，连接，当取最小值时，直接写出的长度． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 2．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 二、填空题 3．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题 5．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 6．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.5 等腰三角形 目录 一知识梳理 1 （一）等腰三角形 1 （二）等边三角形 3 （三）直角三角形 4 二知识体系思维导图 5 三题型分类精析 5 【题型 1】等腰三角形定义 5 【题型 2】利用 “等边对等角” 性质求值证明 7 【题型 3】利用 “三线合一” 性质求值证明 9 【题型 4】利用 “等角对等边” 判定求值证明 12 【题型 5】等边三角形性质求值 14 【题型 6】等边三角形判定证明 17 【题型 7】直角三角形两锐角互余性质求值 21 【题型 8】利用含 30° 角的直角三角形性质求值 24 【题型 9】直角三角形斜边中线性质证明与求值 27 【题型 10】等腰三角形性质与判定综合求值与证明 29 【题型11】等边三角形性质与判定综合求值与证明 34 【题型12】等腰三角形与等边三角形性质与判定综合求值与证明 39 四同步练习 45 【基础巩固（16题）】 45 【能力提升（14题）】 57 【中考真题6题】 75 一.知识梳理 （一）等腰三角形 1.基础概念与性质 （1）等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边称为腰，另一条边称为底边，两腰的夹角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角。如图1，中，腰，是底，是底角，是顶角. 图1 【特别注意】若是等腰三角形，则有或或三种情况，解题过程中，要进行分类讨论。 （2）等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称为 “等边对等角”）. 图2 数学语言：如图2，在中，若，则。 性质 2：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边的垂直平分线）。 图3 【特别注意】对称轴是直线，不是线段或射线，如图3中对称轴是直线AD. （3）等腰三角形的 “三线合一” 性质 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 图4 数学语言：如图4，在等腰中，. ①，， ②，， ③，， 2. 判定与应用 （1）判定1：等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； （2）判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为 “等角对等边”）. 数学语言：如图5，在中，若，则 . 图5 （二）等边三角形 1. 等边三角形的性质 （1）等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形的三个角都相等，且每个角都等于 60°； （3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴（每条边上的中线、高和所对角的平分线所在直线）； （4）等边三角形具有等腰三角形的所有性质. 2. 等边三角形的判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. （三）直角三角形 1.直角三角形的两个锐角互余 数学语言：如图6，在 中，，则. 图6 2.两锐角互余的三角形是直角三角形 数学语言：如图6，在 中，若则. 3.含 30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于第三边的一半。 数学语言：如图7在中，，，则 。 图7 4.在直角三角形中，90度所对的边中线等于这边的一半 数学语言：如图8，在中，，是上的中线，则 ,即: 图8 2． 知识体系思维导图 三．题型分类精析 【题型 1】等腰三角形定义 【例题 1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出，的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出，的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分两种情况讨论求解即可． 解：， ， ，， ，， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， 这个等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长为； 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）等腰三角形两边长是方程组的解，则该等腰三角形周长（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，等腰三角形的定义． 先解方程组求出和的值，再根据等腰三角形的定义分类讨论可能的边长组合，验证是否满足三角形三边关系，最后计算周长即可． 解：解方程组得：， 因此，等腰三角形的两边长为2和1． 若腰长为2，底边为1，则三边为2、2、1． 验证三角形三边关系：，，均成立．此时周长为． 若腰长为1，底边为2，则三边为1、1、2． 验证三角形三边关系：，不满足两边之和大于第三边，故不成立． 综上所述，周长为5， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 【题型 2】利用 “等边对等角” 性质求值证明 【例题2】（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，是上一点，连接，是的平分线，且，是上一点，过点分别作、交于点．求证：．    【答案】见分析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，，结合可得，从而可得结论． 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，，过点作，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，根据平行线的性质求出的度数，根据等边对等角求出的度数，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点D，E分别为，上的点，，，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取，连接．证明，得到，即可由求解． 解：在上截取，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【题型 3】利用 “三线合一” 性质求值证明 【例题 3】（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，于，于，与相交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）详见分析；（2）． 【分析】（）根据等角的余角相等得出，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）由（）得：，，则，从而证明垂直平分，则有，由等腰三角形的三线合一定理可得，再由等腰三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）得：，， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为延长线上一点，于．若，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 过点作于，利用等腰三角形的性质求出，再利用同角的余角相等求出即可． 解：过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质．根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再根据三角形周长公式解答即可． 解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为． 故选：C 【题型 4】利用 “等角对等边” 判定求值证明 【例题4】（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 解：（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，点D在边上，，E为的中点，若，则的大小为 ． 【答案】/37度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是关键；由，E为的中点，求得；再由及三角形外角的性质即可求得的大小． 解：∵，E为的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在中，是的外角的平分线，交的延长线于点，．若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的对应、平行线的性质及等角对等边，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，根据等角对等边即可得答案． 解：∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【题型 5】等边三角形性质求值 【例题 5】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质结合题意可得，由角平分线的定义可得，利用得出； （2）证明，由全等三角形的性质结合等边三角形的性质可得，最后再由全等三角形的性质即可得解． 解：（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使 ，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据外角的性质可判断A，根据等边三角形中线得到，，即可判断B，根据等边三角形中线得到，即可判断C，由，，可判断D，掌握相关知识是解题的关键． 解：A、是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故选项不符合题意； B、∵是等边三角形的中线， ∴，， ∵， ，故选项不符合题意； C、∵是等边三角形的中线， ∴ ∴， ，故选项不符合题意； D、，， ，故选项符合题意 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在等边三角形中，，，交于点F，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，证明，得到，再根据即可得到答案． 解：在等边三角形中， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型 6】等边三角形判定证明 【例题 6】（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，且． （1）求证：垂直平分 （2）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据，，即可证明垂直平分； （2）根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形性质得出，，，，即可证明结论． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， 即垂直平分． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在等边中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是（   ）． A．是等边三角形； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线；根据等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线逐一判断即可． 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形；故A正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故D正确； ∴为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分； ∴；故B正确； 题中并没有说是的中点， ∴无法确定，故C错误； 故选：C． 【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的中垂线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型 7】直角三角形两锐角互余性质求值 【例题7】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，，垂足为点． （1）若，请求出的度数； （2）若，试问与平行吗？为什么？ 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、同角或等角的余角相等、直角三角形的性质． （1）因为，根据同位角相等，两直线平行可证，根据两直线平行，同位角相等可知； （2）根据垂直的定义可知，根据直角三角形两锐角互余可得，因为，根据同角的余角相等可证，等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行可证． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，中，，将绕着点A顺时针旋转得到，其中点B、O分别旋转到点C、D，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质、等边对等角，由题意得，由旋转得，则，由平行线的性质得，得到，再根据计算即可． 解：如图 ∵， ∴． ∵将绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则 ．（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 由根据三角形的高可得，得，，再根据三角形角平分线的定义可得，得，最后根据角的和差关系即可求解； 解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型 8】利用含 30° 角的直角三角形性质求值 例题 8（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，，连接，，，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，，，，求线段的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由，易得，由，易得，又根据，即可推出； （2）先证明，得，所以，再根据，，易得，所以，即可求出线段的长． 解：（1）证明：， ， ，， ，即， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，，故可得出，即，再由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 解：如图所示，连接，， 中，，， ． 是的垂直平分线，， ， ∴， ，即． 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ，即． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，是等边三角形，于点D，于点E，若，则的长度为 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得到，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，进而可求解． 解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1.5． 【题型 9】直角三角形斜边中线性质证明与求值 【例题9】（2025·广东河源·模拟预测）如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据尺规基本作图—作垂线作出的垂线即可； （2）证明即可得出结论． 解：（1）解：如图所示，的垂线即为所求． （2）证明：由题意，得是等腰直角三角形，． 点是的中点， ．， ． ． ． ， ． ． ． 在和中， ． ． 【点拨】本题考查了尺规基本作图—作垂线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的性质，熟记线段垂线的基本作法是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·广西河池·期中）如图所示，在中，，点为边的中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键．根据，为边的中点，结合点B，C对应的数求出长解答即可． 解：由图可知， ∵点为边的中点，， ∴， 故选：B． 【变式2】（北京市西城区2024--2025学年八年级下学期数学期末试卷）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 【答案】77 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出． 由直角三角形斜边中线的性质推出，，得到，推出． 解：，为边的中点， ，， ， ， ． 故答案为：77． 【题型 10】等腰三角形性质与判定综合求值与证明 【例题10】（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，点D是边的中点，连接，．E是边上任意一点（不与点A、C重合），连接并延长至点F，连接，，． 【问题提出】（1）求的度数； 【问题探究】（2）连接，若，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见分析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段中点的定义和已知条件可得，则，，再由三角形内角和定理可得，即． （2）由平行线的性质得到，，证明，得到，，证明垂直平分，可得，据此可得结论． 解：（1）∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． （2），理由： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即． 【变式1】（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）如图，中，于D，平分，且于，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．是等腰三角形 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 根据角平分线的定义可得的度数，可判断A；证明是等腰直角三角形，可得，可证明，再证明，可得，可判断B；证明是等腰三角形，可判断C；根据，可得，过点G作于点M，利用角平分线的性质可得，可证明，可得，从而得到，可判断D． 解：∵，平分， ∴， ∵，即， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是等腰直角三角形，H是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 如图，过点G作于点M， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故D选错误，符合题意； 故选：D 【变式2】（24-25八年级下·陕西·期末）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，且平分，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，推出，再求出，根据角平分线的定义求出，进而得到，根据直角三角形的性质求出，由即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型11】等边三角形性质与判定综合求值与证明 【例题11】（24-25八年级下·陕西西安·期中）回归教材 教材上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发，给出如下不完整的证明过程． 已知：如图，在中，．求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接． ， 垂直平分， ． …… （1）请补全剩余的证明过程． 知识应用 （2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的直角边正好重合．若，，则的长为________． （3）如图2，在（2）的条件下，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为，当点平移到大三角板的边上时，求出的值． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）或 【分析】本题题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平移的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可求，可证是等边三角形，可得，可求解； （2）由在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可求，，即可求解； （3）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，的长，即可求解． 解：（1）证明：如图，延长至点，使，连接． ， 垂直平分， ． 又， ， ， 是等边三角形， ， 即； （2）解：，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）解：作交于，交于． ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点平移到线段大三角板的边上时，或 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在等边中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是（   ）． A．是等边三角形； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线；根据等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线逐一判断即可． 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形；故A正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故D正确； ∴为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分； ∴；故B正确； 题中并没有说是的中点， ∴无法确定，故C错误； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线．延长到点，使得，连接，，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 解：延长到点，使得，连接，， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【题型12】等腰三角形与等边三角形性质与判定综合求值与证明 【例题12】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 【答案】（1）见分析；（2），，理由见分析；（3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 解：（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，； 和是等腰三角形，，，， ∴， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质．延长交于点G，延长交于点D，可得是等边三角形， ，进而可得，然后利用线段的和差关系可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而在中，利用含30度角直角三角形的性质可得，据此进行计算即可解答． 解：延长交于点G，延长交于点D， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）【模型建立】 （1）如图 1，为等边三角形，连接，求证：； 探索思路如下： ∵为等边三角形 ∴，， ∴．（① ） 即， 在与中 ∴（② ） ∴（③ ） 请在上面三个（    ）中填写适当的理由． 【模型应用】 （2）如图2，在与中，，，B ， D ， E 三点在一条直线上，与交于点F ，连接． ①求的度数； ②若点F 为中点，，求的长． 【答案】（1）等式的性质，，全等三角形的对应线段相等；（2）①；②3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理，等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，，则可证明，再利用证明即可证明； （2）①同理可证明，得到，根据，，可证明，则；②过点A作于点M，可证明，得到，由全等三角形的性质得到，则，再证明，得到，则． 解：（1）∵为等边三角形 ∴，， ∴．（等式的性质） 即， 在与中 ， ∴； ∴（全等三角形的对应线段相等）； （2）①∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ②如图所示，过点A作于点M， ∴， ∵F 为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 四．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得，，则，根据平行线得到，即可得到，再由平行线的性质即可求解． 解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 3．（2025·山东临沂·一模）观察下列尺规作图的痕迹，能判断是等腰三角形的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键． 根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案． 解：第一个图：根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形； 第二个图：根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形； 第三个图：根据过直线外一点作平行线的作法可知，根据角平分线的作法可知，则，是等腰三角形； 第四个图：不能判断是等腰三角形； 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（    ） A．米 B．米 C．6米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则米，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， 米， 米， 米， ∴米， 故选：A． 5．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中， ，将沿射线的方向平移，得到 ，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（   ） A．4， B．2， C．1， D．3， 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转，等边三角形的判定和性质．根据平移和旋转的性质可得，，平移的距离为的长，，旋转角为的度数，从而得到为等边三角形，即可求解． 解：由平移的性质得：，，平移的距离为的长， 由旋转的性质得：，旋转角为的度数， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴． 故选：B 7．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为2，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积求出的长，再根据斜边上的中线求出的长即可． 解：正方形的面积为2， ∴， ∵，D为的中点， ∴； 故选A． 8．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，长方形沿折叠，使D点落在边上的F点处，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，直角三角形的性质，关键是由折叠的性质得到． 由长方形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到． 解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；由于长为7的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论求出底边长即可． 解：当腰为7时，另一腰也为7，则底为， ∵，符合题意， 当底为7时，腰为，符合题意， ∴该三角形的底边长为或． 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 解：，， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查基本作图—作角平分线，含30度角的直角三角形，等角对等边. 根据题意，得到平分，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到，即可． 解：∵， ∴， 由题意，得：平分， ∴， ∴， 在中，， ∴. 故答案为：． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 13．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度直角三角形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由已知易得为等腰直角三角形，则有；再由含30度直角三角形的性质即可求解． 解：∵， ∴为等腰直角三角形，且； 在中，， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，若，于点，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求解即可． 解：∵， ∴． 故答案为：20． 三、解答题 15．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三线合一定理，由三线合一定理得到，则可证明，据此可利用证明． 解：证明：∵，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 16．（2025·海南·一模）如图，在中，于点，已知，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】（1）证明，得到，由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等角对等边，掌握全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ， ， 又，， ； （2）证明∵， ， ， ， ， ． 17．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，已知，，垂足分别为C，D，与交于点O，． （1）写出与的数量关系，并说明理由； （2）若E是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 【答案】（1），理由见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明，即可得出结论； （2）由（1）得，得到，根据等角对等边可得，结合是的中点，再利用线段垂直平分线的判定，即可得证． 解：（1）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：由（1）得，， ， ， 点在边的垂直平分线上， 又是的中点， ， 在边的垂直平分线上， 线段所在直线是边的垂直平分线． 18．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： （1）； （2）是等边三角形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 解：（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【能力提升（14题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：如图，中，，为的中线， 设腰， ∵为的中线， ∴， ∵中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴等腰三角形的腰长为或， 故选：． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，将线段绕着点C顺时针旋转得到线段，若的面积是8，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，证明是关键．过点作交于点E，过点作交于点F，证明，则，由的面积是8即可求出答案． 解：过点作交于点E，过点作交于点F， 则， ∵将线段绕着点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是8， ∴， 解得， 故选：C 4．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，中，于D，平分，且于点E，与相交于点F，于H，交于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据，可得，从而得到，故①符合题意；再由，可得，从而得到，故②符合题意；然后根据，可得，从而证得，可得到，故③符合题意；再由平分，可得，可得到，故④符合题意． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 5．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是某型号支架的示意图，可以绕点上下转动，，，，则当时，需向上转动（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，过O点作，得到，从而求得的度数，即可得到结果． 解：如图，过O点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴可以绕点O上下转动到与平行时，需向上转动， 故选：C． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，，故可得出，即，再由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 解：如图所示，连接，， 中，，， ． 是的垂直平分线，， ， ∴， ，即． 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ，即． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后由角的和差关系可得答案． 解：由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，平分，，若与互补，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，补角性质，等腰三角形的判定，延长交于点，可证，得到，，由补角性质可得，即得，得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，，，在外侧作等边，过点作于，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形性质，在上截取，连接，，证明是等边三角形，则，，由是等边三角形，故有，，证明，根据性质可得，，通过角度和差可得，所以，最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：在上截取，连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得、，，再说明，即可证明，即可判断①；然后可得，再分别表示出和，即可判定②正确；求出，证明可判定③；由可得，然后结合可得，可判定④． 解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴即③错误； ∵， ∴， ∴，即，则④正确． 综上，正确结论的是①②④． 故答案为：①②④． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当的值达到最小时，的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：1． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期末）数学思想是数学研究的灵魂和核心，是数学理论发展的源泉，它能帮助我们更好地思考问题，解决问题．依据2022版新课标实施的七年级新教材中，我们已经学习了特殊化和转化的数学思想方法，探究了以下结论：两个边长相等的正方形如图①所示放置，正方形的顶点E与正方形的中心重合，两个正方形重合部分的面积不变，且等于正方形面积的，利用结论解决问题：若图②中，，，则四边形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，证明，得到，进而得到为等腰直角三角形，得到四边形的面积等于的面积即可，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 解：过点作，交的延长线于点，则 ∵，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， 即：； 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）【问题呈现】 如图，在中，，，过点作于点． 【问题发现】 （1）如图，根据题意可知______，______； 【深入探究】 （2）如图，点是线段上一点，连接，将线段绕着点逆时针旋转到的位置，点为线段的中点，连接，．延长至点，使，连接，，． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1），；（2）①见分析；②见分析 【分析】（1）根据三线合一性质可得，再结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可得； （2）①由旋转性质可得，，再结合（1）题得，推出即可利用“边角边”证明； ②由全等三角形的性质得，证明是等边三角形，推得，，再由三线合一得点和点在的垂直平分线上，连接，则根据垂直平分线性质得，则，最后由三线合一即可得证． 解：（1），， ，， 故答案为：，． （2）证明：①线段绕着点逆时针旋转到的位置， ，， 由（1）知， ， ， ， 在和中， ， ． ②如图所示，连接， 由①知， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴点和点在的垂直平分线上，连接， ， 线段绕着点逆时针旋转到的位置， ，， 是等边三角形， ， ， 点是的中点， ． 【点拨】本题考查的知识点是三线合一、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，解题关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． 14．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在中，点为上一点，为上一点，连接、、，已知． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，点是的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，交于点．求证：． （3）如图3，中，若，为线段上一点，为线段上一点，且，点在下方，若，，连接，当取最小值时，直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）4 【分析】（1）先证明，则，再由等边对等角得到，然后通过即可求解； （2）过点作的平行线交的延长线于点，先证明，则，再证明，则，得到，由可知，则，故； （3）连接，可得为等边三角形，然后证明，则，故当时，最短，再根据角直角三角形性质求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）证明：过点作的平行线交的延长线于点， 由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最短， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 2．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识； 根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解. 解：根据题意可得：平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A. 二、填空题 3．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题 5．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 解：（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 6．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形 ． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 解：（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$