精品解析：福建省莆田市城厢区莆田第三中学2024-2025学年 八年级上学期数学期中试卷

2024-2025学年上莆田三中八年级期中试卷 一．选择题 1. 如图，为了估计池塘两岸A，B之间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么A，B间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 2. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，△ABC与△DEF 关于直线l对称，下列说法错误的是（ ） A. AB=DE B. ∠BAC=∠EDF C. 点B和点E到直线l的距离相等 D. ACDE 8. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 10. 如图，在中，，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点使为等腰三角形，符合条件的点有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 二．填空题 11. 已知多边形每个内角都等于，则这个多边形是___边形． 12. 如图，在中，，平分，若，的面积为5，则的长为__________． 13. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为____． 14. 如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°， 则 ∠P＝ ______°． 15. 如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm． 16. 如图，中，，D为 的中点，，且，与的交于点P，则___________． 三．解答题 17. 如图，某海岸沿线有，两个码头，在该海域内有两座小岛，，航线与相交于点，经测量，，，求证：． 18. 如图，在△ABC中，是边上的高，是的平分线，于F． （1）求的度数； （2）求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）画出关于x轴对称的； （2）、、的坐标分别为______，______，______； （3）的面积是______． 20. 如图，中，的平分线上有一点，点恰好在线段的垂直平分线上，点在边上，，求证：点在线段的垂直平分线上． 21. 如图，在中，，． （1）按要求作图：作线段的垂直平分线，交于点D，垂足为点E，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）求证：平分． 22. 如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 命题：全等三角形的对应边上的高相等． （1）写成“如果……，那么……”： ； （2）根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） 24. 新增小题（1） ∠ �� �� �� 的度数为　　， △ �� �� ��　　 “和谐三角形”（填“是”或“不是”） 25. 新增小题（2）若，试说明：是“和谐三角形”； 26. 新增小题（3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是______； （2）如图2，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设的平分线过点，请求出的值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上莆田三中八年级期中试卷 一．选择题 1. 如图，为了估计池塘两岸A，B之间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么A，B间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边的关系可得， ∵，， ∴，即， ∴四个选项中，只有A选项中的符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 2. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 3. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于x轴对称的点，其横坐标不变，纵坐标变为其相反数，根据这一特点即可完成． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故选：． 【点睛】本题考查了坐标与图形中关于x轴对称的点的坐标特征，掌握这一特征是关键． 4. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：， ， 即， 故选：A． 5. 如图，在中，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，根据进行计算即可得出答案，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，，， ， 故选：B． 6. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图所示，△ABC与△DEF 关于直线l对称，下列说法错误的是（ ） A. AB=DE B. ∠BAC=∠EDF C. 点B和点E到直线l的距离相等 D. ACDE 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称的性质解决问题即可． 【详解】解∶∵△ABC与△DEF 关于直线l对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴∠BAC=∠EDF， AB=DE，直线l垂直平分线段BE， ∴点B和点E到直线l的距离相等， 由已知条件无法判断ACDE， 故选项A， B， C正确，D错误， 故选∶D． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 8. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得． 【详解】解：∵△ABC为等腰三角形， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 10. 如图，在中，，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点使为等腰三角形，符合条件的点有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情况解答即可：①；②；③． 【详解】解：如图， ①以为圆心，为半径画圆，交直线有点，交有一点； ②以为圆心，为半径画圆，交直线有点，交有一点； ③的垂直平分线交一点，交直线于点； ∵ ∴不重合， ∴符合条件的点有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，正确的作出图形． 二．填空题 11. 已知多边形每个内角都等于，则这个多边形是___边形． 【答案】十 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．先求出每一个外角的度数，再根据边数外角的度数计算即可． 【详解】解：， ， 这个多边形的边数是10． 故答案为：十． 12. 如图，在中，，平分，若，的面积为5，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】过点D作，垂足为E，根据角平分线的性质可得，进而求解即可． 【详解】过点D作，垂足为E， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴的面积， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． 13. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，得到，，然后由周长进而可求解，熟知线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 14. 如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°， 则 ∠P＝ ______°． 【答案】35 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到∠CBP=∠ABP＝15°，∠MCP=∠ACP＝50°，利用三角形外角性质得到∠CBP+∠P＝∠MCP，即可求出∠P． 【详解】解：∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线， ∴∠CBP=∠ABP＝15°，∠MCP=∠ACP＝50°， ∵∠CBP+∠P＝∠MCP， ∴∠P=∠MCP-∠CBP=50°-15°=35°， 故答案为：35． 【点睛】此题考查了角平分线的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． 15. 如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm． 【答案】3.5 【解析】 【分析】过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长． 【详解】解：过C点作CF⊥AB于F，如图， ∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB， ∴CF=CE， 在Rt△ACE和Rt△ACF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AF=AE， ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°， ∴∠CBF=∠D， 在△CBF和△CDE中， ， ∴△CBF≌△CDE（AAS）， ∴BF=DE， ∵AF=AE， ∴AB+BF=AD-DE， 即11+DE=18-DE， ∴DE=3.5cm． 故答案为：3.5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． 16. 如图，中，，D为 的中点，，且，与的交于点P，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点E作于F，先证明得到，，进而证明得到，再根据线段之间的关系即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点E作于F， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题 17. 如图，某海岸沿线有，两个码头，在该海域内有两座小岛，，航线与相交于点，经测量，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴, ∴, 在中， , ∴, ∴． 【解析】 【分析】根据已知条件得出，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 18. 如图，在△ABC中，是边上的高，是的平分线，于F． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理先求解 再结合角平分线的定义可得答案， （2）利用垂直的定义结合三角形的内角和定理先求解 再求解 再结合垂直的定义三角形的内角和定理可得答案． 【小问1详解】 解：∵ ∴． ∵是的平分线， ∴． 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义等知识，在三角形中求角度时，通常需利用三角形内角和定理和外角的性质． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）画出关于x轴对称的； （2）、、的坐标分别为______，______，______； （3）的面积是______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； AI    （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，找到的对应点，顺次连接即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据坐标系可得、、的坐标分别为，，， 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，写出坐标系中点的坐标，根据网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 20. 如图，中，的平分线上有一点，点恰好在线段的垂直平分线上，点在边上，，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】 证明：∵平分 ∴ 又∵ ∴， ∴ 又∵点恰好在线段的垂直平分线上， ∴ ∴ ∴点在线段的垂直平分线上． 【解析】 【分析】先证明得出，根据垂直平分线的性质得出，则，根据垂直平分线的判定定理，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． 21. 如图，在中，，． （1）按要求作图：作线段的垂直平分线，交于点D，垂足为点E，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）求证：平分． 【答案】（1） 作图如下： 直线为所求的图形； （2） 证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）按照垂直平分线的尺规作图法作图即可； （2）证明即可． 【小问1详解】 解：以A、B为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于两点，过这两个交点作直线，分别交于、于点D、E，连接； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握垂直平分线的尺规作图是解答本题的关键． 22. 如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形是解决本题的关键． （1）利用“边角边”证明全等，即可证明． （2）证明，，证明，可得，为等边三角形，从而可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 23. 命题：全等三角形的对应边上的高相等． （1）写成“如果……，那么……”： ； （2）根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】（1）如果两个三角形是全等三角形，那么它们对应边上的高相等 （2） 已知：如图，，于， 于． 求证：． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， 在和中 ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据命题“如果……，那么……”的结构特征直接改写即可得到答案； （2）已知：如图，，于， 于．求证：．利用已知，根据两个三角形全等的判定与性质，由即可得到结论． 【小问1详解】 解：如果两个三角形是全等三角形，那么它们对应边上的高相等； 【小问2详解】 略 【点睛】本题第一问考查将命题按照“如果……，那么……”结构改写，掌握定义即可解决问题；第二问考查两个三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） 24. 新增小题（1） ∠ �� �� �� 的度数为　　， △ �� �� ��　　 “和谐三角形”（填“是”或“不是”） 25. 新增小题（2）若，试说明：是“和谐三角形”； 26. 新增小题（3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1），不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）略 （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， 或． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是______； （2）如图2，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设的平分线过点，请求出的值，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过作轴于，则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ； （3） ， 理由：如图，过点作轴于，轴于，交的延长线于， ， ， 平分，，， ， ， ， 同理可得：， ， ，，， ， 即． 【解析】 【分析】（1）由偶次方和绝对值的非负性得出，，则，，证明，得到，，，即可得解； （2）过作轴于，则，证明，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由三角形外角的性质即可得出结论； （3）过点作轴于，轴于，交的延长线于，则，由角平分线的性质可得，证明得到，同理证明得到，即可求解． 【小问1详解】 解：，，， ，， ，， ， ，， 如图，过点作轴于， 则， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的性质、非负数的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、证明三角形全等是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $