北京市房山区北京师范大学良乡附属中学2024-2025学年高一直升班和1+3下学期期末测试数学试题

试卷第 1页，共 4页 良乡附中直升班和 1+3 第二学期期末测试卷 2025 年 7 月 7 日 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题。共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项． 1．命题 30, 1x x   的否定是（ ） A． 30, 1x x   B． 30, 1x x   C． 30, 1x x   D． 30, 1x x   2．下列结论正确的是（ ） A．若 a b ，则 ac bc B．若 a b ，则 1 1 a b  C．若 a b ，则 2 2a b D．若 2 2ac bc ，则 a b 3．将函数 1exy  的图象向左平移 1个单位，再向下平移 1个单位，得到函数  f x 的图象，则  f x （ ） A． e 1x  B． e 1x  C． 2e 1x  D． 2e 1x  4．已知函数     3 1, 1 1 , 1 x x f x a x x       ，满足对任意的实数 1 2x x ，都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    成立，则实数 a的取 值范围为（ ） A．  1,3 B． 1,3 C．  1,3 D． 1,3 5．函数 2( ) 2 logf x x  的定义域为A，函数 2( ) 4g x x  的值域为 B，则“ x A ”是“ x B ”的（ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．一种细胞的分裂速度 v（单位：个/秒）与其年龄 t（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：   2 0.5 , 0 10 2 , 10 log t t av t ttb a         ， ，其中 , Ra b ，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这 种细胞 5岁和 60岁的分裂速度相等，则 a （ ） （参考数据： 2log 3 1.585 ） A． 6.402 B． 6.462 C． 6.502 D． 6.522 7．设 1.6 1.8 1.60.4 , 0.4 , 0.6a b c   ，则（ ） A． a b c  B．b c a  C．b a c  D．a c b  8．如图，函数 ( )f x 的图象为折线段 ABC，则不等式    22f x x  的解集是（ ） A．[ 2,0] [3,4]  B． ( ,0] [3, )   C． (0,3) D． 0,3 试卷第 2页，共 4页 9．已知函数    log 2 3af x ax  在区间  1,2 上单调递增，则 a的取值范围为（ ） A． 1 3 a  且 1a  B． 10 3 a  C． 2 1 3 a  D． 20 3 a  10．已知函数 2 1 1, 0( ) 2 , 0 x xf x ax x x           ，其中 aR ．若 ( )f x 在 ( 1, )t 上的值域为 0,4 ，则实数 t的取值范围 是（ ） A． ( 1, 0] B． (0,2] C． (2, 4] D． (4, ) 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．函数 1( ) 3   f x x 的定义域为 . 12．不等式 2 1 1 1 x x    的解集为 . 13．若关于 x的不等式 2 0x mx n   的解集为{ 1 4}x x ∣ ，则m n 的值为 . 14．已知函数 2 , 0 ( ) 1, 0 x x f x x x       ，则 (1) ( 1)f f   ； ( )f x 的单调递增区间为 ． 15．设函数      2 , 1 4 2 , 1 x a x f x x a x a x        ， ． ①若 1a  ，则  f x 的最小值为 ； ②若  f x 恰有 2个零点，则参数 a的取值范围是 . 三、解答题。共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．已知函数 2 2( ) log (2 ) log (1 )f x x x    ． (1)求 ( )f x 的定义域； (2)求不等式 ( ) 1f x  的解集． 17．已知函数 2 1( ) log 1 axf x x    的图象关于原点对称，其中 a为常数． (1)求 a的值； (2)当 [2, 4]x 时， 2( ) log ( )f x x k  恒成立，求实数 k的取值范围． 试卷第 3页，共 4页 18．已知关于 x的方程  2 1 1 0ax a x    . (1)若该方程的解集中只有一个元素，求 a的值； (2)若 2a  ，且当 0x  时，  2 1 1 9ax a x bx     恒成立，求实数b的取值范围； (3)若 0a  ，解关于 x的不等式  2 1 1 0ax a x    . 19．已知函数 2( ) 2 1x xf x a a   ，其中 0a  且 1a  ． (1)已知 ( )f x 的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若 2a  ，求 ( )f x 的最小值； (3)若 ( )f x 在区间[0,1]上的最大值为 2，求 a的值． 20． ,A B两地相距 520km，货车从 A地匀速行驶到 B地，全程限速 100km/h．已知货车每小时的运输成本 （单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为 400元，可变成本与车速 x的平方成正比，比例系 数为  0k k  ． (1)把货车的全程运输成本 y（单位：元）表示为车速 x（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 试卷第 4页，共 4页 21．已知函数   2 2 1g x ax ax b    （ 0a  ）在区间  2,3 上有最大值 4和最小值 1.设    g xf x x  . (1)求 a，b的值； (2)若不等式  2 2 0x xf k   在  1,1x  上有解，求实数 k的取值范围. 22．已知集合 , , , , ,A B A B A B Z Z 中都至少有3个元素，且A， B满足： ① ,x y A  ，且 x y ，总有 | |x y B  ； ② ,x y B  ，且 x y ，总有 | |x y A  ． (1)若集合 {1,2,3}B  ，直接写出所有满足条件的集合A； (2)已知 1 A  ， （ⅰ）若 ,x y A ，且 0y x  ，求证： y x A  ． （ⅱ）求证： * AN ．