第03讲 幂函数与二次函数（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 幂函数与二次函数 目录 01 常考题型过关练 题型01 幂函数的图象 题型02 幂函数的单调性与奇偶性 题型03 利用幂函数单调性进行大小比较 题型04 幂函数的综合应用 题型05 二次函数的综合应用 02 核心突破提升练 01 幂函数的图象 1．已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的大致图像如图所示，则 ． 02 幂函数的单调性与奇偶性 5．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．2 B． C．4 D．2或 6．若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 7．在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（    ） A． B． C． D． 9．已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 10．已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 . 11．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数 ． 12．已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 14．已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 03 利用幂函数单调性进行大小比较 15．已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 17．已知点在幂函数f（x）＝xn的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 18．已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 19．已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 20．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 21．已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 04 幂函数的综合应用 22．已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 23．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．已知幂函数的图象过点，且是函数图象上的任意不同的两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 26．已知幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 27．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 28．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 05 二次函数的综合应用 29．若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．若函数有负值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．已知二次函数的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 33．已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．若函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．设函数，若，则（   ） A． B． C． D． 39．若函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．已知函数，对任意，在区间上存在两个实数，使成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 1．任意两个幂函数图象的交点个数是（    ） A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个 C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个 2．下列幂函数满足：“①，；②当时，为单调递增”的是（   ） A． B． C． D． 3．若，且，则幂函数与角的终边（   ） A．不可能有交点 B．可能有交点 C．有且只有1个交点 D．至少有2个交点 4．已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A､B､C､D四点，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．已知函数，，其中，，，若点，，，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数既是二次函数又是幂函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称.若直线与函数的图象和函数的图象的交点分别为，，则当达到最小时，的值为（    ）. A．1 B． C． D． 9．已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知为奇函数，当时，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 幂函数与二次函数 目录 01 常考题型过关练 题型01 幂函数的图象 题型02 幂函数的单调性与奇偶性 题型03 利用幂函数单调性进行大小比较 题型04 幂函数的综合应用 题型05 二次函数的综合应用 02 核心突破提升练 01 幂函数的图象 1．已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取，结合图象得出，最后由指数函数的性质得出大小关系. 【详解】由图象可知，当时，，则 故选：B 2．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 3．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 4．已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 02 幂函数的单调性与奇偶性 5．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．2 B． C．4 D．2或 【答案】A 【详解】由幂函数定义知，解得或， 当时，，则在上为常数函数，不符合题意； 当时，，则，在上单调递减，符合题意. 故. 故选：A. 6．若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 故选：A. 7．在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据幂函数性质知道， 定义域为，上单调递增，非奇非偶函数，故A错误； 奇函数且在单调递增，故B正确； 为偶函数，且在单调递增，故C错误； 为奇函数，且在单调递减，故D错误. 故选：B． 8．下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：为奇函数，，为偶函数， 但在单调递增，所以在单调递减， 而为偶函数且在单调递增. 故选：A 9．已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 【答案】C 【详解】因为在区间上单调递增，所以，解得， 又因为，所以，且为奇函数，所以， 故选：C. 10．已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 . 【答案】 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 11．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】取，则定义域为R，且， ，，满足. 故答案为：. 12．已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】因为函数幂函数， 所以，解得或， 因为函数在上是增函数， 所以，解得，所以（舍去）， 因为函数是奇函数，当时，幂指数，不合题意； 当时，幂指数，为奇函数，符合题意； 所以满足条件的为. 故选：A 13．已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 因为函数的定义域，关于原点对称，且， 所以为奇函数，不合题意，故A错误； 当时，，因为函数的定义域，不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，不合题意，故B错误； 当时，，定义域为，关于原点对称，且， 所以为偶函数，符合题意，故C正确； 当时，，定义域为，关于原点对称，且， 所以为奇函数，不合题意，故D错误. 故选：C. 14．已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是 故答案为： 03 利用幂函数单调性进行大小比较 15．已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因幂函数的图象过点，则，且， 于是得，，函数，函数是R上的增函数， 而，则有， 所以. 故选：D 16．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，解得，， 故，易知，为偶函数且在上单调递减， 又因为， 所以，解得，或. 故的取值范围为. 故选：C. 17．已知点在幂函数f（x）＝xn的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【答案】C 【解析】先将点代入幂函数即可求出，再利用幂函数的单调性即可判断出大小. 【详解】解：∵点在幂函数f（x）＝xn的图象上， ∴，∴， ∴幂函数，在上单调递减， 又∵， ∴，即a＞c＞b. 故选：C． 18．已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【答案】B 【详解】已知幂函数经过点，可得：，解得：. 即，易知在上为单调递减函数. 由于，可得：，即； 又因为，，可得：，即； 综上所述：. 故选：B 19．已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【详解】由得或， 时，在上是增函数，不合题意， 时，，在上是减函数，满足题意， 所以， ，则，，是奇函数，因此， 所以，即， 故选：B. 20．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或. 当时，；当时，. 因为函数在上是单调递增函数，故. 又，所以，所以，则. 故选：A. 21．已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由为幂函数，得 ∴，所以，所以， 又，所以， 又，所以， 由换底公式得，， 所以， 又，所以，得. 又在区间内单调递减，所以. 综上，. 故选：B. 04 幂函数的综合应用 22．已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意有，可得，其定义域为R， 且，则函数为奇函数， 所以. 故选：A. 23．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 24．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增， 则 为正偶数，则， 则不等式即， 整理得， 此不等式等价于或， 解之得或. 则满足的a的取值范围为或. 故选：D 25．已知幂函数的图象过点，且是函数图象上的任意不同的两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，解得， 所以，则在定义域上单调递增， 因为，所以，故选项A错误； 在定义域上单调递增， 因为，所以，故选项B错误； 在定义域上单调递减， 因为，所以， 即，选项C正确； 在定义域上单调递增， 因为，所以，故选项D错误. 故选：C. 26．已知幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为幂函数，设，其中为常数， 则，可得，则， 所以，，当且仅当时，等号成立， 故函数的值域为. 故选：A. 27．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 【答案】C 【详解】由题意可知，，解得或， 故选：C 28．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 05 二次函数的综合应用 29．若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数图象的对称轴为直线， 由函数在区间内存在最大值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 30．若函数有负值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，要使函数有负值， 则其最小值，解得或． 故选：C 31．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据二次函数性质，命题等价于抛物线的对称轴 ，此即. 故选：D. 32．已知二次函数的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数经过原点，所以，即， 所以，图象开口向下，对称轴为， 所以函数的单调增区间为. 故选：B 33．已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， ∵对于任意且，都有， 即在区间上是单调函数， ∴或， ∴或，即实数a的取值范围为． 故选：C． 34．若函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 因在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 而函数在上单调递减，则， 故，即a的取值范围是. 故选：A. 35．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 36．已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的对称轴为 若函数在上是单调递增函数，则 若函数在上是单调递减函数， 解得或 故的取值范围是 故选：C． 37．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，函数是实数集上的减函数，不符合题意； 当时，二次函数的对称轴为直线， 由题意有，解得. 综上可得. 故选：D 38．设函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为二次函数的对称轴为直线，， 则函数的减区间为，增区间为， 所以的大致图象如图所示． 由，得，所以，所以． 故选：C. 39．若函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以函数为偶函数. 由二次函数知识知函数在上递减，在上递增. 所以由是偶函数，可知在和上递减，在和上递增. ①当时，在上递减，不满足条件； ②当时，在上递增，不满足条件； ③当时，在上递减，在上递增，所以在上不单调，满足条件； ④当时，在上递增，在上递减，所以在上不单调，满足条件； ⑤当时，在上递减，在上递增，所以在上不单调，满足条件. 综上，实数的取值范围为． 故选：A. 40．已知函数，对任意，在区间上存在两个实数，使成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】存在两个实数，使， 当时，，，显然符合； 当时，与的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合． 因为且，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1， 因此取纵坐标之差最小的状态为， 当时，此时，故； 当时，此时，故， 综上，a的取值范围是， 故选：D 1．任意两个幂函数图象的交点个数是（    ） A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个 C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个 【答案】A 【详解】解：因为所有幂函数的图象都过， 所以最少有个交点， 如图所示： 当函数为和时，它们有个交点， 故选：． 2．下列幂函数满足：“①，；②当时，为单调递增”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由①②可得为上的奇函数且在上单调递增. 对于A，的定义域为，不可能为奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为，且， 故为奇函数. 根据幂函数的性质可得在上单调递增，故B正确； 对于C，根据幂函数的性质可得在上单调递减，故C错误； 对于D，的定义域为，且， 故为偶函数，故D错误. 故选:B. 3．若，且，则幂函数与角的终边（   ） A．不可能有交点 B．可能有交点 C．有且只有1个交点 D．至少有2个交点 【答案】A 【详解】因为，故在第三象限或第四象限， 由，可知在第一象限或第四象限， 故在第四象限，又幂函数的图象不经过第四象限， 故幂函数与角的终边（不包含原点）不可能有交点， 故选：A 4．已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A､B､C､D四点，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由得，即， 所以， 故选：B． 5．已知函数，，其中，，，若点，，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，，故.故，则. 故选：D. 6．已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，，的定义域为， 又，是定义在上的奇函数，充分性不成立，A错误； 对于B，，的定义域为， 为非奇非偶函数，充分性不成立，B错误； 对于C，，的定义域为， 又，是定义在上的偶函数，充分性不成立，C错误； 对于D，，的定义域为， 又，是定义在上的奇函数，充分性成立，D正确. 故选：D. 7．若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数. 又，所以，所以. 故选：A. 8．已知函数既是二次函数又是幂函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称.若直线与函数的图象和函数的图象的交点分别为，，则当达到最小时，的值为（    ）. A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】函数既是二次函数又是幂函数，则， 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则， 结合图象得 ，. 由，且，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值. 故选：B 9．已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由是幂函数，知：，又在上， ∴，即，则且， ∴. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m、n的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围. 10．已知为奇函数，当时，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 且，所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 因为，， 则 所以.    故选：A 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$