二次函数与幂函数专项训练-2026届高三数学一轮复习

二次函数与幂函数 一、单项选择题 1．(2024·广州预测)若幂函数f(x)＝(m2－m－1)·x2m－3在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 2．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(1－x)＝f(x)，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)＝(　　) A．－4x2＋4x＋7 B．4x2＋4x＋7 C．－4x2－4x＋7 D．－4x2＋4x－7 3．若a＝，b＝log，c＝3－，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a 4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象不可能是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 5．(2025·江淮十校一联)定义在R上的函数f(x)满足f(2x＋2)＋f(2x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．函数f(x)为偶函数 D．函数f(x)的图象关于直线x＝3对称 二、多项选择题 6．已知函数f(x)＝ax2－2bx－1，则下列结论正确的是(　　) A．若f(x)是偶函数，则b＝0 B．若f(x)＜0的解集是(－1，1)，则ab＝1 C．若a＝1，则f(x)＞0恒成立 D．∀a≤0，b＜0，f(x)在(－∞，0)上单调递增 7．(2024·信阳模拟)若函数f(x)＝|x2－(m－2)x＋1|在上单调，则实数m的值可以为(　　) A．－1 B．－ C． D．3 8．(2024·浙江模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … －1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当x＝时，对应的函数值y＜0．下列说法正确的有(　　) A．abc＞0 B．mn＞ C．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在－和0之间 D．若点P1(t＋2，y1)和P2(t－2，y2)在该二次函数的图象上，则当实数t＜时，y1＞y2 三、填空题 9．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(x)＝__x－__；若f(a＋1)＜f(3－2a)，则实数a的取值范围是____． 10．(2024·珠海模拟)已知函数f(x)＝x2＋mx－2x＋1在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是____． 11．已知函数f(x)＝－x2＋x，若f(x)的定义域为[m，n](m＜1)，值域为[2m，2n]，则m＋n＝___． 四、解答题 12．求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0分别满足下列条件． (1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2) 有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4； (3) 至少有一个正根． 13．已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1． (1) 若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围； (2) 若a＞0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 14．(2025·扬州期初)已知函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x＋2． (1) 若不等式f(x)＜0的解集为(1，2)，求f(x)的表达式； (2) 解关于x的不等式f(x)＜0． 1. A　【解析】 因为幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是增函数，所以解得m＝2. 2. A　【解析】 由f(1－x)＝f(x)，得f(x)的对称轴为x＝，设二次函数为f(x)＝a＋k(a≠0).因为f(x)的最大值是8，所以a<0，当x＝时，f＝k＝8，即二次函数f(x)＝a(x－)2＋8(a<0).由f(2)＝－1，得f(2)＝a＋8＝－1，解得a＝－4，则二次函数f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 3. C　【解析】 b＝log>log＝1，a＝()＝[()4]＝()>()＝()＝c，而a＝()<1，所以a，b，c的大小关系为b>a>c. 4. C　【解析】 若a＝0，则f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A可能；若a＜0，则f(x)的图象开口向下，过点(0，1)，对称轴为x＝－＞0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＜－，B可能；若0＜a＜，则f(x)的图象开口向上，与x轴有两个交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－＜0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＞－，C不可能；若a＞，则f(x)的图象开口向上，与x轴没有交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－＜0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＞－，D可能． 5. C　【解析】 由f(2x＋2)＋f(2x)＝0，可知f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的周期为4，A错误；又f(2－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，也关于点(1，0)对称，则f(x)的图象不关于直线x＝1对称，B错误；若函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，已知图象关于直线x＝2对称，则函数的周期为2，矛盾，D错误；对于C，y＝f(2－x)为偶函数，则f(2－x)＝f(2＋x)，可知f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，C正确． 6. ABD　【解析】 对于A，函数f(x)的定义域为R，若函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，即ax2＋2bx－1＝ax2－2bx－1，即4bx＝0对任意的x∈R恒成立，则b＝0，故A正确；对于B，若不等式f(x)<0的解集为(－1，1)，则a>0且－1，1为方程f(x)＝0的两根，则解得故ab＝1，故B正确；对于C，若a＝1，则f(x)＝x2－2bx－1，Δ＝4b2＋4>0，故f(x)>0不恒成立，故C错误；对于D，当a＝0时，因为b<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，当a<0时，函数f(x)的对称轴为直线x＝，且>0，由二次函数的单调性可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，因此，∀a≤0，b<0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，故D正确． 7. BD　【解析】 ①当Δ＝(m－2)2－4≤0，即0≤m≤4时，f(x)＝|x2－(m－2)x＋1|＝x2－(m－2)x＋1，所以f(x)的对称轴为x＝，则f(x)的图象如图(1)所示，结合图象可知，要使函数f(x)＝|x2－(m－2)x＋1|在[－，]上单调，则≥或≤－，解得m≥3或m≤1，即3≤m≤4或0≤m≤1； 图(1)　图(2) (第6题) ②当Δ＝(m－2)2－4>0，即m<0或m>4时，令h(x)＝x2－(m－2)x＋1，则h(x)的对称轴为x＝，则h(x)的图象如图(2)所示，结合图象可知，要使函数f(x)＝|x2－(m－2)x＋1|在[－，]上单调，则或或或解得4<m≤或－≤m<0.综上，3≤m≤或－≤m≤1. 8. BCD　【解析】 将(0，2)，(1，2)代入y＝ax2＋bx＋c得解得所以二次函数为y＝ax2－ax＋2.因为当x＝时，对应的函数值y<0，即a－a＋2<0，所以a<－，所以b＝－a>，所以a<0，b>0，c>0，所以abc<0，故A错误；当x＝－1时，m＝a＋a＋2＝2a＋2，当x＝2时，n＝4a－2a＋2＝2a＋2，所以mn＝(2a＋2)2＝4(a＋1)2，因为a<－，所以mn>，故B正确；因为二次函数y＝ax2－ax＋2过点(0，2)，(1，2)，所以其对称轴为x＝，又当x＝时，对应的函数值y<0，根据二次函数的对称性知，当x＝－时，对应的函数值y<0，而当x＝0时，y＝2>0，所以二次函数与x轴负半轴的交点横坐标在－和0之间，所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在－和0之间，故C正确；因为点P1(t＋2，y1)和P2(t－2，y2)在该二次函数的图象上，所以y1＝a(t＋2)2－a(t＋2)＋2，y2＝a(t－2)2－a(t－2)＋2，若y1>y2，则a(t＋2)2－a(t＋2)＋2>a(t－2)2－a(t－2)＋2，因为a<0，所以(t＋2)2－(t＋2)<(t－2)2－(t－2)，解得t<，故D正确． 9. x－　　【解析】 设f(x)＝xα，将点代入得α＝－，所以f(x)＝x－，其在(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1>3－2a>0，可得a∈. 10. [－2，＋∞)　【解析】 二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝－.因为函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则－≤2，解得m≥－2.因此，实数m的取值范围是[－2，＋∞). 11. －2　【解析】 因为f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋，对称轴为x＝1，当m<n≤1时，f(x)在[m，n]上单调递增，所以解得当m<1<n时，f(x)在[m，1]上单调递增，在[1，n]上单调递减，此时f(1)＝－＋1＝＝2n⇒n＝，与n>1矛盾，舍去．综上，m＝－2，n＝0，m＋n＝－2. 12. 【解答】 设y＝f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6. (1) 依题意有f(2)<0，即4＋4(m－1)＋2m＋6<0，得m<－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1). (2) 依题意有解得－<m<－，即实数m的取值范围为. (3) 方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得即所以－3<m≤－1；②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<－3；③有一个正根，另一根为0，此时可得所以m＝－3.综上，实数m的取值范围为(－∞，－1]. 13. 【解答】 (1) 当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，若f(x)在[1，2]上单调递减，需满足≥2，所以0<a≤.当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0，故f(x)在[1，2]上单调递减．综上，实数a的取值范围是(－∞，0)∪. (2) ①当0<<1，即a>时，f(x)在[1，2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.②当1≤≤2，即≤a≤时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，此时g(a)＝f＝2a－－1.③当>2，即0<a<时，f(x)在[1，2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.综上，g(a)＝ 14. 【解答】 (1) 因为f(x)<0的解集为(1，2)，所以1，2是方程f(x)＝0的根且k>0，所以所以k＝1，所以f(x)＝x2－3x＋2. (2) 当k＝0时，f(x)＝－x＋2，因为f(x)<0，所以－x＋2<0，所以x>2；当k≠0时，f(x)＝(x－2)(kx－1)，f(x)<0，即(x－2)(kx－1)<0，即k(x－2)(x－)<0，当k<0时，(x－2)(x－)>0，所以x>2或x<；当k>0时，(x－2)(x－)<0，①当k＝时，无解；②当k>时，<x<2；③当0<k<时，2<x<.综上所述，当k<0时，不等式的解集为{x|x>2或x<}；当k＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当0<k<时，不等式的解集为{x|2<x<}；当k＝时，不等式的解集为∅；当k>时，不等式的解集为{x|<x<2}． 学科网（北京）股份有限公司 $